2022年ls絕對(duì)值重難知識(shí)點(diǎn)

1、蕭然書院教學(xué)講義老師姓名李老師同學(xué)姓名上課時(shí)間檢查簽名教學(xué)目標(biāo)確定值的概念及相關(guān)應(yīng)用；重點(diǎn),難點(diǎn)|a| ,|a b| 的幾何意義；確定值的相關(guān)應(yīng)用；考點(diǎn)及考試|a| ,|a b| 的幾何意義；確定值的相關(guān)應(yīng)用；要求學(xué)問(wèn)要點(diǎn)解析 一. 確定值的實(shí)質(zhì)：正實(shí)數(shù)與零的確定值是其自身,負(fù)實(shí)數(shù)的確定值是它的相反數(shù),即也就是說(shuō),|x| 表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；總之,任何實(shí)數(shù)的確定值是一個(gè)非負(fù)數(shù),即 |x| 0,請(qǐng)牢牢記住這一點(diǎn)；【案例1】化簡(jiǎn) 1-a +2a+1+aa-2. 解：a0,2a+10. 1-a +2a+1+a=1-a+-2a-1+-a=-4a 二. 確定值的幾何意義：一個(gè)數(shù)的確定值

2、就是數(shù)軸上表示這個(gè)數(shù)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；【案例2】有理數(shù)a,b,c 在數(shù)軸上的位置如以下圖,就式子|a|+|b|+|a+b|+|b-c| 化簡(jiǎn)結(jié)果為 A2a+3b-c B 3b-c Cb+c Dc-b 其次屆“期望杯”數(shù)學(xué)邀請(qǐng)賽初一試題 解：由圖形可知a0,cb0,且|c| |b| |a| ,就a+b0,b-c 0所以原式-a+b+a+b-b+c b+c,故應(yīng)選C 三. 1. 2. 3. 4. 確定值的性質(zhì)：有理數(shù)的確定值是一個(gè)非負(fù)數(shù),即|x| 0,確定值最小的數(shù)是零；任何有理數(shù)都有唯獨(dú)的確定值,并且任何一個(gè)有理數(shù)都不大于它的確定值,即x|x| ；已知一個(gè)數(shù)的確定值,那么它所對(duì)應(yīng)的是兩個(gè)互為相反

3、數(shù)的數(shù)；如兩個(gè)數(shù)的確定值相等,就這兩個(gè)數(shù)不愿定相等 明顯如|6| |-6| ,但6-6 ,只有這兩個(gè)數(shù)同號(hào),且這兩個(gè)數(shù)的確定值相等時(shí),這兩個(gè)數(shù)才相等；【案例3】已知 a-3 +-b+5 +c-2 =0, 運(yùn)算2a+b+c 的值；第 1 頁(yè),共 10 頁(yè)解：a-3 +-b+5 +c-.2 =0, 又 a-3 0, -b+5 0, c-2 0. a-3=0,-b+5=0,c-2=0, 即a=3,b=.5,c=2, 2a+b+c=13 【案例4】已知 x=2022, y=2022, 且x0,y0,求x+y 的值；【案例5】已知 x+y+3 =0, 求 x+y的值；四. 用確定值的幾何意義解題：a 的

4、點(diǎn)到原點(diǎn)的距離；|a b| 的幾何意義是：數(shù)軸上表示數(shù)a,b |a| 的幾何意義是：數(shù)軸上表示的兩點(diǎn)的距離對(duì)于某些問(wèn)題用確定值的幾何意義來(lái)解,直觀簡(jiǎn)捷,事半功倍求字母的取值范疇【案例6】如|x+1|+|2 x| 3,就x 的取值范疇是解：由確定值的幾何意義知,|x+1|+|x 2| 的最小值為3,此時(shí)x 在12 之間（包括兩端點(diǎn)）取 值（如圖4 所示）,故x 的取值范疇是1x 2【案例7】對(duì)于任意數(shù)x,如不等式|x 2|+|x 4| a 恒成立,就a 的取值范疇是解：由確定值的幾何意義知,|x 2|+|x 4| 的最小值為6,而對(duì)于任意數(shù) x,|x 2|+|x 4| a 恒成立,所以a 的最值

5、范疇是a6求代數(shù)式的最值【案例8】已知a 是有理數(shù),| a 2022|+| a 2022| 的最小值是. 解：由確定值的幾何意義知,| a 2022|+| a 2022| 表示數(shù)軸上的一點(diǎn)到表示數(shù)2022 和2022 兩點(diǎn)的距離的和,要使和最小,就這點(diǎn)必在20222022 之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）取值（如圖1 所示）,故| a 2022|+| a 2022| 的最小值為1. 【案例9】|x 2| | x 5| 的最大值是,最小值是解：把數(shù)軸上表示x 的點(diǎn)記為P由確定值的幾何意義知,|x 2| | x 5| 表示數(shù)軸上的一點(diǎn)到 表示數(shù)2 和5 兩點(diǎn)的距離的差,當(dāng)P 點(diǎn)在2 的左邊時(shí),其差恒為3；當(dāng)

6、P 點(diǎn)在5 的右邊時(shí),其差恒為3；當(dāng)P 點(diǎn)在25 之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）時(shí),其差在33 之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）（如圖第 2 頁(yè),共 10 頁(yè)2 所示）,因此,|x 2| | x 5| 的最大值和最小值分別為 3 和3解確定值方程【案例10】方程|x 1|+|x 2| 4 的解為解：把數(shù)軸上表示x 的點(diǎn)記為P,由確定值的幾何意義知,當(dāng)2x1 時(shí),|x 1|+|x 2| 恒有最小值3,所以要使|x 1|+|x 2| 4 成立,就點(diǎn)P 必在2 的左邊或1 的右邊,且到表示數(shù)2 或1 的點(diǎn)的距離均為1 個(gè)單位（如圖3 所示）,故方程|x 1|+|x 2| 4 的解為：x1 2 1, x2 1 1 32

7、2 2 2解不等式【案例11】不等式|x 2|+|x 3| 5 的解集是解：由確定值的幾何意義知,|x 2|+|x 3| 的最小值為5,此時(shí)x 在23 之間（包括兩端點(diǎn)）取值,如|x 2|+|x 3| 5 成立,就x 必在2 的左邊或3 的右邊取值（如圖5 所示）,故原不等式的解集為x2 或x3判定方程根的個(gè)數(shù)【案例12】方程|x+1|+|x+99|+|x 2| 1996 共有（）個(gè)解A.4；B3 ；C2 ；D1 解：當(dāng)x 在991 之間（包括這兩個(gè)端點(diǎn)）取值時(shí),由確定值的幾何意義知,|x+1|+|x+99| 98,|x 2| 98此時(shí),|x+1|+|x+99|+|x 2| 1996,故|x+

8、1|+|x+99|+|x 2| 1996 時(shí),x 必在991 之外取值,故方程有2個(gè)解,選（C）五. 1. 含確定值問(wèn)題的有效處理方法 運(yùn)用確定值概念；即依據(jù)題設(shè)條件或隱含條件,確定確定值里代數(shù)式的正負(fù),再利用確定值定義去掉確定值的符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算；【案例13】已知：|x-2|+x-2 0,求：1x+2 的最大值；26-x 的最小值；解：|x-2|+x-2 0,|x-2| -x-2 依據(jù)確定值的概念,一個(gè)數(shù)的確定值等于它的相反數(shù)時(shí),這個(gè)數(shù)為負(fù)數(shù)或零,x-2 0,即x2,這表示x 的最大值為2 1 當(dāng)x2 時(shí),x+2 得最大值2+24；2 當(dāng)x2 時(shí),6-x 得最小值6-2 4 2. 用確定值為零時(shí)

9、的值分段爭(zhēng)辯即對(duì)于含確定值代數(shù)式的字母沒(méi)有條件限制或限制不精確的,第 3 頁(yè),共 10 頁(yè)就需先求零點(diǎn),再分區(qū)間定性質(zhì),最終去掉確定值符號(hào)；【案例14】已知|x-2|+x 與x-2+|x| 互為相反數(shù),求x 的最大值解：由題意得|x-2|+x+x-2+|x| 0,整理得|x-2|+|x|+2x-2 0 令|x-2| 0,得x2,令|x| 0,得x0 以0,2 為分界點(diǎn),分為三段爭(zhēng)辯：1x 20 3x 2 時(shí),原方程化為x-2+x+2x-2 0,解得x1,因不在x2 的范疇內(nèi),舍去；x2 時(shí),原方程化為2-x+x+2x-2 0,解得x0 0 時(shí),原方程化為2-x-x+2x-2 0,從而得x0 綜

10、合1 ,2 ,3 知x 0,所以x 的最大值為0 3. 整體參與運(yùn)算過(guò)程即整體配湊,借用已知條件確定確定值里代數(shù)式的正負(fù),再用確定值定義 去掉確定值符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算；【案例15】如|a-2| 2-a ,求a 的取值范疇；解：依據(jù)已知條件等式的結(jié)構(gòu)特點(diǎn),我們把a(bǔ)-2 看作一個(gè)整體,那么原式變形為|a-2| -a-2 ,又由確定值概念知a-2 0,故a 的取值范疇是 a 2 4. 運(yùn)用確定值的幾何意義即通過(guò)觀看圖形確定確定值里代數(shù)式的正負(fù),再用確定值定義去掉絕對(duì)值的符號(hào)進(jìn)行運(yùn)算【案例16】求中意關(guān)系式|x-3|-|x+1| 解：原式可化為|x-3|-|x-1| 4 4 的x 的取值范疇它表示在數(shù)軸上點(diǎn)

11、x 到點(diǎn)3 的距離與到點(diǎn)-1 的距離的差為4 由圖可知,小于等于-1 的范疇內(nèi)的x 的全部值都中意這一要求；所以原式的解為x-1 六. 有關(guān)確定值學(xué)問(wèn)的應(yīng)用1. 假如依據(jù)已知條件或題目中的隱含條件可以確定確定值符號(hào)內(nèi)的數(shù)2 或代數(shù)式 為“負(fù)”值或“非負(fù)”值,就由確定值的定義可直接寫出其結(jié)果. ,試求x y a 2 1 的值等于【案例17】設(shè)x,y,a 是實(shí)數(shù),并且|x| 1-a, y 1a a 1a解：明顯|x| 0,|y| 0,由|x| 0 得1-a 0,由|y| 0 得1-a 0,1-a 0,從而x0,y0,a1 原式|0|+0+12+1 2 第 4 頁(yè),共 10 頁(yè)2. 假如依據(jù)已知或題

12、目自身不能確定確定值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式為“負(fù)”或“非負(fù)” 情形進(jìn)行爭(zhēng)辯；爭(zhēng)辯的方法有：,就應(yīng)分別對(duì)各種1 直接利用確定值的性質(zhì),去掉確定值符號(hào),把式子轉(zhuǎn)化為不含確定值的式子進(jìn)行爭(zhēng)辯；【案例18】已知|a| 3,|b| 2,求a+b 的值；解：|a| 3,|b| 2,a 3 或-3 ,b2 或-2 因此a,b 的取值應(yīng)分四種情形：a3,b2 或a3,b-2 或a-3 ,b2 或a-3 ,b-2 ,從而易求a+b 的值分別為5,1,-1 ,-5解這類問(wèn)題,要正確組合,全面摸索,謹(jǐn)防漏解；2 接受零點(diǎn)分區(qū)間法,求出確定值的零點(diǎn),把數(shù)軸分成相應(yīng)的幾個(gè)區(qū)間進(jìn)行爭(zhēng)辯 所謂確定值的零點(diǎn)就是使確定值符號(hào)內(nèi)的代數(shù)式

13、等于零的字母所取值在數(shù)軸上所對(duì)應(yīng)的點(diǎn) ；【案例19】化簡(jiǎn)：|1-3x|+|1+2x| 解：由1 3x 0 和 2x 0 得兩個(gè)零點(diǎn)：x 1和,x 1 這兩個(gè)點(diǎn)把數(shù)軸分成三部分：1 3 2（1）當(dāng)x 1 時(shí),1 3x 0 ,1 2x 0 2原式 1 3 x 1 2 x 5x; （2）當(dāng) 1 x 1時(shí),1 3x 0 ,1 2x 02 3原式 1 3x 1 2x 2 x ；1（3）當(dāng) x 時(shí),13x 0 ,1 2x 0 ,3原式-1-3x+1+2x 5x3. 利用確定值的幾何意義解含確定值的方程,這樣既直觀,又簡(jiǎn)便；由于|x| 的幾何意義是表示數(shù)軸上點(diǎn) x 到原點(diǎn)的距離,因此|x-a| 的幾何意義是

14、表示點(diǎn)x 到點(diǎn)a 的距離由此可知,方程|x-a| k 的解是xa+k 或x a-kk 0 【案例20】|x-2|+|x-1|+|x-3| 的最小值是 的最小值,即是在數(shù)軸上求一A1 B 2 C3 D4 解：設(shè)A1 ,B2 ,C3 ,Px ,如以下圖,求|x-1|+|x-2|+|x-3| 點(diǎn)P,使AP+BP+PC為最小,明顯,當(dāng)P 與B 重合,即x2 時(shí),其和有最小值2,故應(yīng)選B 4. 利用“一個(gè)實(shí)數(shù)的確定值是一個(gè)非負(fù)數(shù)”這一性質(zhì)解題,可使問(wèn)題化難為易；在運(yùn)用這一性質(zhì)時(shí),常與非負(fù)數(shù)的性質(zhì)： “有限個(gè)非負(fù)數(shù)的和為零時(shí),就每一個(gè)非負(fù)數(shù)必為零”聯(lián)用；第 5 頁(yè),共 10 頁(yè)【案例21】如|m+1|+|

15、2n+1| 0,那么m 2022 n 4 七,確定值化簡(jiǎn)與求值的基本方法【案例22】如a,b 互為相反數(shù),cd 互為負(fù)倒數(shù)就|a+b+cd| 中數(shù)學(xué)競(jìng)賽 96 年泰州市初解：由題設(shè)知a+b0,cd-1 ,就|a+b+cd| |0-1| 1 【案例23】如|x-y+2| 與|x+y-1| 互為相反數(shù),就xy 的負(fù)倒數(shù)是95 年期望杯邀請(qǐng)賽初一培訓(xùn)題 解：由題設(shè)知|x-y+2| 0,|x+y-1| 0,但二者互為相反數(shù),故只能x-y+2 0,x+y-1 0 2 倍,解得x 1y 3xy 32 ,2 ,4其負(fù)倒數(shù)是4 3【案例24】已知a,b 是互為相反數(shù),c,d 是互為負(fù)倒數(shù),x 的確定值等于它的

16、相反數(shù)的就x3+abcdx+a-bcd 的值是94 年期望杯邀請(qǐng)賽初一試題解：由題設(shè)知a+b0,cd-1 又x 的確定值等于它的相反數(shù)的2 倍,x0,原式03+0+a-b-1 a+b0 【案例25】化簡(jiǎn)|x+1|+|x-2|; 解：令x +1 0,x-2 0,得x-1 與x2,故可分段定正負(fù)再去符號(hào)1 當(dāng)x-1 時(shí),-2x+1 ；3；原式-x+1-x-2 2 當(dāng)-1 x2 時(shí),原式x+1-x-2 3 當(dāng)x2 時(shí),原式x+1+x-2 2x-1 說(shuō)明：例14 中沒(méi)有給定字母任何條件,這種問(wèn)題應(yīng)先求零點(diǎn),然后分區(qū)間定正負(fù)再去確定值符號(hào),這種方法可歸納為：“求零點(diǎn),分區(qū)間,定性質(zhì),去符號(hào)” ；第 6

17、頁(yè),共 10 頁(yè)八,確定值與非負(fù)數(shù)我們稱不是負(fù)數(shù)的有理數(shù)為非負(fù)有理數(shù),簡(jiǎn)稱非負(fù)數(shù)；當(dāng)我們說(shuō)x 是一個(gè)非負(fù)數(shù)時(shí),用數(shù)學(xué)符號(hào)表示就是x0. 留意：有的同學(xué)們往往用x0 表示任意一個(gè)非負(fù)數(shù),而忘掉等號(hào)！這是由于他們錯(cuò)將非負(fù)數(shù)懂得為負(fù)數(shù)的相反數(shù)了！盡管只是丟掉一個(gè)零,在數(shù)軸上只差一個(gè)點(diǎn),但就全體有理數(shù)而言,卻是丟掉了三類有理數(shù)中的一類；也就是說(shuō),|x| 表示數(shù)軸上坐標(biāo)為x 的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離；我們看到,任何有理數(shù)的確定值都是一個(gè)非負(fù)數(shù),而任何一個(gè)非負(fù)數(shù)都可表示為某數(shù)的確定值；即對(duì)任意有理數(shù) x 有|x| 0,這一點(diǎn)至關(guān)重要；【案例26】如a 為任意實(shí)數(shù),就以下式子中確定成立的是 A|a| 0 B |a|

18、 a C. a 1D. a10a解：對(duì)這個(gè)問(wèn)題的分析第一要留意到確定值都是非負(fù)數(shù),而非負(fù)數(shù)包括零；如此就很簡(jiǎn)潔剔除掉A,1B,而C 需從a 的取值范疇來(lái)爭(zhēng)辯,a ,就C 不對(duì),至于D 有非負(fù)數(shù)的性質(zhì)：“一個(gè)非負(fù)數(shù)加如 2上一個(gè)正數(shù),得正數(shù)” ,即可知其正確；【案例27】已知a0c,ab0,|b| |c| |a| ,化簡(jiǎn)|a+c|+|b+c|-|a-b| 解：分析這個(gè)題目的關(guān)鍵是確定 a+c,b+c,a-b 的符號(hào),依據(jù)已知可在數(shù)軸上標(biāo)出 a,b,c 的大致位置,如以下圖：很簡(jiǎn)潔確定a+c0,b+c0,a-b 0,由確定值的概念,原式a+c-b+c-a-b a+c-b-c-a+b 0 用數(shù)軸上的

19、點(diǎn)來(lái)表示有理數(shù),用這樣的點(diǎn)與原點(diǎn)的距離來(lái)表示有理數(shù)的確定值,這里運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想；鞏固練習(xí)1. 已知m0,就化簡(jiǎn)m+|m-|m| 2. 已知實(shí)數(shù)a,b 在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)位置如以下圖,化簡(jiǎn)|a|-|b|+|a-b|-|b-a| 3. 已知|m| 1,|n| 2求m+n4. x 為何值時(shí),-4|1-x|-5 有最大值,最大值是多少？第 7 頁(yè),共 10 頁(yè)5. 已知a-2 0b2,去掉以下三式的確定值符號(hào)：6. 試去掉|x2-x-2| 的確定值符號(hào)7. 化簡(jiǎn)|3x+1|-|x|+|1-x| 8. 化簡(jiǎn)|x+3|+|x-2|+|x-5| 9. 五個(gè)有理數(shù)a,b,c,d,e 中意|abcde| -a

20、bcde ,試求S abc de的最大值；abc de第 8 頁(yè),共 10 頁(yè)答案：1. 解原式m+|m-m| m+|2m|m-2m-m“看圖形,定性質(zhì),去符號(hào)” ；2. 解由圖可知a0,b0,故a-b 0,b-a 0 原式a-b+a-b-b-a a+b+a-b+b-a a+b 說(shuō)明：此題是依據(jù)圖形定正負(fù)去符號(hào),這種方法可歸納為：3. 解m 1,n 2,當(dāng)m1,n2 時(shí),m+n3；當(dāng)m1,n-2 時(shí),m+n-1 ；當(dāng)m-1 ,n2 時(shí),m+n1；當(dāng)m-1 ,n -2 時(shí),m+n-3 4. 解當(dāng)x1 時(shí),|1-x| 取最小值0,-4|1-x|-5 有最大值-5 2b0 , a b a b 5. 解：a20 ,（1）20 , 2aaa（2）a2 0b2 , a （3）a20b2b1b0 , 21a 2b0abb2b2abab6. 解：由于x2-x-2 是變量,可以是非負(fù)數(shù)也可以是負(fù)數(shù),所以應(yīng)當(dāng)分兩種情形去掉確定值符號(hào)：由 由7. x2-x-2 0,得x2 或x-1 ,x2-x-2 0,得-1 x2 當(dāng)x 2 或x-1 時(shí),|x2-x-2|=x2-x-2 ,