拉普拉斯變換和傳遞函數(shù)

1、拉普拉斯變換和傳遞函數(shù) 拉普拉斯變換簡稱拉氏變換。系統(tǒng)微分方程的求解和傳遞函數(shù)的建立，都要求能較熟練地掌握拉氏變換。拉氏變換是學(xué)習(xí)本門課程最根本的數(shù)學(xué)工具，應(yīng)用拉氏變換將使運算和求解微分方程的過程得到簡化。 用拉氏研究線性定常系統(tǒng)時有以下優(yōu)點：一、拉氏變換的特點 將時域中的微分、積分運算變換成復(fù)域中的代數(shù)運算，且自然考慮初始條件； 拉氏變換和反變換可用查表法，也可以用計算機輔助計算法； 給分析和校正系統(tǒng)的暫態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性帶來了很大的方便； 有利于用圖形方式研究系統(tǒng)； 為實驗法研究系統(tǒng)提供了理論根底。1.復(fù)變數(shù)的各種表達形式二、復(fù)函數(shù)和復(fù)變函數(shù)代數(shù)形式極坐標(biāo)形式指數(shù)形式三角形式歐拉定理： 設(shè)E

2、為復(fù)平面上的點集，對于E內(nèi)的每一個復(fù)數(shù)s=+j按照一定的規(guī)律，有一個復(fù)數(shù)G(s)=U(,)+jV(,)與之對應(yīng)，那么稱G(s)為s的復(fù)變函數(shù)，記作G=G(S)。2.解析函數(shù)的定義 如果Gs在s0E內(nèi)有界，G(s0)存在且有限，那么稱Gs在s0點解析。 如果G(s)在E內(nèi)每個點s=+j都解析，那么稱G(s)是E上的一個解析函數(shù)。 使Gs或G(s)趨于無窮的奇點叫極點。 非解析點叫奇點。 使Gs等于零的點叫做零點可能是奇點，也可能是解析點。 函數(shù)G=G(s)定義在s平面上的某個集合E上，它所取到的全部函數(shù)值G(s)所構(gòu)成的集合稱為值域，記作D。這時可將函數(shù)G=G(s)看作是s平面上的集合E到G(s

3、)平面上D的一個變換或映射。3.復(fù)變函數(shù)的幾何意義平面映射 意義：可以將在比較復(fù)雜區(qū)域上所研究的一些問題轉(zhuǎn)化成比較簡單的區(qū)域上來研究。 注意：映射研究的是定義域集合與值域集合的變換，是屬于整體研究的思路，而不是局限于某些特殊點。三、拉氏變換的定義 該函數(shù)f(t)滿足: t0時，f(t)分段連續(xù) 那么f(t)的拉氏變換存在。 如果有一個以時間t為自變量的函數(shù)f(t)，它的定義域是t0，那么拉氏變換就是如下的運算式：狄利赫萊條件(1)F(s)稱為象函數(shù)，f(t)稱為原函數(shù)。拉氏反變換c為實數(shù)，并且大于F(s)任意奇點的局部。拉氏反變換的簡化記法： 拉氏變換的齊次性是：一個時間函數(shù)乘以常數(shù)時，其拉氏

4、變換為該時間函數(shù)的拉氏變換乘以該常數(shù)，即：四、拉氏變換的性質(zhì)和定理1.線性性質(zhì) 拉氏變換的疊加性是：假設(shè)f1(t)和f2(t)一的拉氏變換分別是F1(s)和F2(s)，那么有：假設(shè)：2.微分定理那么有：同樣，可得出f(t)的各階導(dǎo)數(shù)的拉氏變換：如果上列各式中所有初始值都為零，那么：3.積分定理那么有：假設(shè)：（在 t=0處的值）f(t)多重積分的拉氏變換為： 當(dāng) 時，則有： 4.終值定理證明：令f(t)的導(dǎo)數(shù)的拉氏變換中s趨近于零，即5.初值定理6.位移定理假設(shè)：那么有：證明：令 ，則有：同樣7.卷積積分定理或者表示為：設(shè) ,則證明：同理可以證明：8.相似定理假設(shè)：那么有：求拉氏反變換的運算公式

5、為：五、拉氏反變換及局部分式性質(zhì)一般形式：因式乘積形式：1.只包含不相同極點時的反變換f(t)即：1.解：2.求 的原函數(shù)f(t)。解：把上式作為一個整體，那么有：2.包含共軛復(fù)極點時的反變換f(t)3.已知 求f(t)。由題意得：3.包含r重極點時的反變換f(t)4.求 的拉氏反變換。六、用拉氏變換及其反變換求微分方程步驟： 對微分方程進行拉氏變換，得到以s為變量的代數(shù)方程，方程中的初始值應(yīng)取系統(tǒng)在t=0時刻的對應(yīng)值； 求出系統(tǒng)輸出變量的表達式； 將輸出變量的表達式展開成局部分式； 對局部分式進行反變換，即得微分方程的解。例5.系統(tǒng)的微分方程式為：式中，Y(t)系統(tǒng)的輸入量；r(t)系統(tǒng)的輸

6、出量解：例6.系統(tǒng)的微分方程式為：并且設(shè)： ，試求微分方程的解。解：例6.設(shè)系統(tǒng)輸出量y(t)的拉氏變換Y(s)為：試求Y(s)的拉氏變換y(t)。解：七、傳遞函數(shù) 傳遞函數(shù)是經(jīng)典控制理論中最重要的數(shù)學(xué)模型之一。利用傳遞函數(shù)，可以： 不必求解微分方程就可以研究零初始條件系統(tǒng)在輸入作用下的動態(tài)過程。 了解系統(tǒng)參數(shù)或結(jié)構(gòu)變化時系統(tǒng)動態(tài)過程的影響分析 可以對系統(tǒng)性能的要求轉(zhuǎn)化為對傳遞函數(shù)的要求綜合1.傳遞函數(shù)的定義 線性定常系統(tǒng)的傳遞函數(shù)定義為在零初始條件下，對線性定常系統(tǒng)微分方程進行拉氏變換后系統(tǒng)的輸出量的拉氏變換與輸入量的拉氏變換之比。線性定常系統(tǒng)的微分方程形式：對上式的兩邊進行拉氏變換，可得：

7、或：那么定義：2.傳遞函數(shù)的性質(zhì) 性質(zhì)1 傳遞函數(shù)是復(fù)變量s的有理真分式函數(shù)，mn，且所具有復(fù)變量函數(shù)的所有性質(zhì)。 性質(zhì)2 G(s)取決于系統(tǒng)或元件的結(jié)構(gòu)和參數(shù)，與輸入量的形式幅度與大小無關(guān)。 性質(zhì)3 G(s)雖然描述了輸出與輸入之間的關(guān)系，但它不提供任何該系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)。因為許多不同的物理系統(tǒng)具有完全相同的傳遞函數(shù)。 性質(zhì)4 如果G(s)，那么可以研究系統(tǒng)在各種輸入信號作用下的輸出響應(yīng)。 性質(zhì)5 如果系統(tǒng)的G(s)未知，可以給系統(tǒng)加上的輸入，研究其輸出，從而得出傳遞函數(shù)，一旦建立G(s)可以給出該系統(tǒng)動態(tài)特性的完整描述，與其它物理描述不同。 性質(zhì)6 傳遞函數(shù)與微分方程之間有如下關(guān)系：如果將置換 性質(zhì)7 傳遞函數(shù)G(s)的拉氏反變換是脈沖響應(yīng)g(t)脈沖響應(yīng)脈沖過渡函數(shù)g(t)是系統(tǒng)在單位脈沖輸入時的輸出響應(yīng)。3.傳遞函數(shù)的其它標(biāo)準(zhǔn)形式1零極點形式2典型環(huán)節(jié)形式3局部分式形式4幾何形式零極點分布圖z1z2 為傳遞函數(shù)的零點 為傳遞函數(shù)的極點 極點是微分方程的特征根，因此，