概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)

1、概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷(1)一、選擇題(6X3分):設(shè)0 v P(A) 1,0 P(B) 1,尸(A | B) + P(A | B) = 1,貝()(A) P(A|B) = P(A) (B) B = A (C) ABw )P(A3)wP(A)P(3).設(shè) X N(2,/)且尸(0 x4) = 0.5,那么 P(X0)=()(A) 0.65(B) 0.45(C) 0.95(D) 0.25.設(shè)X的分布函數(shù)為尸，那么Y = 3X + 1的分布函數(shù)G(y)為()F -y-/、(A)(3 3j(B) F(3y + 1)(C) 3F(y) +1(D) 一4,設(shè)X N(0,l),令y = x 2,那么 丫 (

2、)(A) N(21)(B) N(0,l)(C) N(2,1)(D) N(2,l).假如x,y滿(mǎn)意0(x+ y)= d(x-y),那么必有()(A)x 與 y獨(dú)立 (B)x 與 y不相關(guān) (o dy = o (D)dx=o.設(shè)隨機(jī)變量X*(% = 1，2)相互獨(dú)立，具有同一分布，EXk=0, DXk =/,且成；存在，女= i,2,對(duì)任意0,正確地為()1 lim( -cr2 ,)1n k=x盤(pán)2.1 lim(-/ ve) = l (B) Ilim( (y2 )= 0(D) * I二、填空題(9X3分):.設(shè) P(A) = 0.7 P(B) = 0.5 .那么 P(AB)的最小值為19.三次獨(dú)立

3、的試驗(yàn)中，勝利的概率相同，至少勝利一次的概率為27 ,那么每次試驗(yàn)勝利 的概率為 ；設(shè) P(A) = 0.5 P(B) = 0.4 P(A | B) = 0.6 那么 P(A | A u 月)二。.設(shè)XN(l,2),yN(3,4),Z = 2X y + 3 ,那么Z的概率密度函數(shù) f(z)=。. x,y相互獨(dú)立 x,y不相關(guān)。(肯定有或未必有).假設(shè)XU(L5),方程V+2Xx+5X4 =。有實(shí)根的概率。.假設(shè)X石(，那么EX=, DX=z 0/z(z) = Fz(z) =l 6一X 6、解： 易知:EX =1.1,3分(0.3 0.3EK = 1.3A-z -z e - eV7分2 )0.4

4、J0.30.1 0.6JEX2 =1.9 EY2 =2.5DX =EX2 -(EX)2 =0.69 同理 DY = 0.81COV(4 77) = E 刻=E(X Y)(X + Y)-E(X 0Y)E(X + Y) =E(X2-y2)-(EX-EY)(EX + EY) = EX2 - EY2 - (EX)2-(EY)2= DX-DE = 0.69-0.81 = -0.127分7 解,X(即) 3(100,0.05)分EX = np = 5, DX = np(l p) = 4.753分由中心極限定理，得P(x-5|1) = P(4X6) = P( 4 fp X-np 6-npJnpQ - p)

5、Jnp( p) Jnp( - p)八 /1X up1 、 . . 1 . _ z 1 、1 fP(一= 10,那么必有(A)P(A)0(B) P(B) =尸(A)(C)尸(聞3) = 0(D) P(AB) = P(A)P(B)(2)某人花錢(qián)買(mǎi)了 4、B、C三種不同的獎(jiǎng)券各一張.各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的，中獎(jiǎng) 的概率分別為=0。3,尸=。.。1, P(C) = 0.02,假如只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)此人就肯 定賺錢(qián)，那么此人賺錢(qián)的概率約為(A) 0.05(B) 0.06(C) 0.07(D) 0.08 X N(,42), 丫 N(,52),月=PX 2 (4)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為了(%),且/(%

6、)= /(X)，/是X的分布函數(shù), 那么對(duì)任意實(shí)數(shù)。成立的是(5)二維隨機(jī)變量(X,Y)聽(tīng)從二維正態(tài)分布，那么X+Y與X-Y不相關(guān)的充要條件為(A) EX = EY(B) EX2-EX2 = EY2-EYf(O EX2 = EY2(D) EX2EX2 = EY2+EY2二、填空題(本大題5小題，每題4分，共20分)(1) P(A) = 0.4 P(B) = 0.3 P(A u B) = 0.4 那么 P(AB) =j 4x3, 0 x 。)= P(X a)的常數(shù)。二設(shè)隨機(jī)變量 XN(2,02),假設(shè) p0X4 = 0.3,那么 PX)(4)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y均聽(tīng)從 5，假如隨機(jī)變量

7、X-aY+2滿(mǎn)意條件D(X-aY + 2) = E(X-aY + 2yf 那么。=(5) X 即,P),且石(X) = 8,D(X) = 4.8,那么*.三、解答題(共65分)(10分)某工廠由甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個(gè)車(chē)間的產(chǎn)量分別占全廠的 25%,35%,40%,各車(chē)間產(chǎn)品的次品率分別為5%,4%,2%,求：(1)全廠產(chǎn)品的次品率(2)假設(shè)任取一件產(chǎn)品覺(jué)察是次品，此次品是甲車(chē)間生產(chǎn)的概率是多少？(10分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為 k(6-x-y),Qx2 ,0 y 4fy) = 0,其它求：常數(shù)左(2) P(X + YW4)(10分)設(shè)X與Y兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變

8、量，其概率密度分別為仆=:0%o；y wo.求:隨機(jī)變量z = x+y的概率密度函數(shù).(8分)設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù) fx/8, 0 x 4;/x(x) = o,其他，求：隨機(jī)變量丫=-1的概率密度函數(shù).(8分)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為:_| J/(x)-e H -oo % /（羽z x）公，又由于x與Y相互獨(dú)立，所以p+oofz(z)= fx (x)fY(z-x)dx J-00P+8當(dāng) ZWO 時(shí)，/z(Z)= L/x(X)/y(Z-%) =。； 分當(dāng) Ovzvl 時(shí)，加 z) = 口x(M(zr)&f 分吆 c =rx(z - dx=r當(dāng) z 之 1 H、J,J-8jo所0z0r+o

9、o/z(z)= fx(x)fY(z-x)dx= -ez0z 、4、解：y = e1的分布函數(shù)入(y)6(y) = P(Yy) = P(ex -y) = P(X ln( +1) =2分0,y 0； ln2(y + l), 0 y e4 -1; 16_1,e4 - y. 分 fln(y + l) 九(y) = 7 工(y) = 8(y + i)于是y的概率密度函數(shù)10分3分5e-(z-x)dx = -ez;7e-(z-x)dx = ez(e-);以10分My+Dfx(X)公X)60 y e4 1;其他OO鏟 FM = I /力5、角牛：J-8當(dāng)1 1%1x33分fix1+ e 1 dt = 1 e

10、 1J。28PX=k= 0.20.85a = 0,1,5 3*6分5EY = Eg(X) = g(k)PX=kk=0= 10 xPX=0 + 5xPX = 1 + 0 xPX =2-2xPX = 3 + PX =4 + PX =5二10 x 0.328 + 5x 0.410-2x 0.057 = 5.216(萬(wàn)元)9分7、解：（1）由于XN（oj）,yN（O,1）,且相互獨(dú)立，所以u(píng) = x + y+LV = x_y + i 都聽(tīng)從正態(tài)分布，所以同理所以 分EU = E(X + Y +1) = EX + EY + El = 1DU = D(X + Y + ) = DX + DY = 23分1

11、-fu ()= -, C 4N(l,2),所以幾一歷EV = E(X-Y + 1) = EX-EY+E1 = 1DU = D(X-Y + l) = DX-i-DY = 2ify ()= I e 4V N(1,2),所以ylAjr(2)euv = e(x + y +1)( x y +1)= e(x 2 丫？ + 2X +1)= EX2 -EY2 +2EX +1 = DX +(EX)2 -(DK+ (EK)2) + 2EX+ 1=1 EUV EUEV 八Puv -1。分概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷（4）一、填空題（本大題共有5小題，每題3分，總分值15分）（1）設(shè)A、B互不相容，且P（A）0, P（B）0

12、,那么必有（）尸（同 A）0（b）P（3） =尸（A）（C）P（AB） = P（A）P（B） （D）尸（婀=0（2）某人花錢(qián)買(mǎi)了 A、B、c三種不同的獎(jiǎng)券各一張.各種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)是相互獨(dú)立的，中獎(jiǎng) 的概率分別為= 0.0,尸（約= 0.01, p（C） = 0.02,假如只要有一種獎(jiǎng)券中獎(jiǎng)此人就肯 定賺錢(qián)，那么此人賺錢(qián)的概率約為（）(A) 0.05(B) 0.06(C) 0.07(D) 0.08(3)設(shè)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為了(X),且/(X)= /(X)，/(X)是X的分布函數(shù), 那么對(duì)任意實(shí)數(shù)。成立的是()(A)(C)(A)(C)/(_q) = 1_Jo f(x)dxF(-a)=尸(B)(D)

13、1 iF(-a)=2Lf(x)dxF。)= 2 /一1(4)X N(,42),y N(4,52),p1=PX4_4,p2 = Py、4 + 5,那么(A)對(duì)任意實(shí)數(shù)Pi =2(B)對(duì)任意實(shí)數(shù)，Pi 2 (D)只對(duì)4的個(gè)別值，才有P1=2(5)二維隨機(jī)變量(X,Y)聽(tīng)從二維正態(tài)分布，那么X+Y與X-Y不相關(guān)的充要條件為()(A) EX = EY(B) EX2+EX2=EY2+EYf(C) EX2 = EY2(D) EX2-EX2=EY2-EY2二、填空題(本大題5小題，每題4分，共20分)(1) P(A) = 0.4 P(B) = 0.3 P(A uB) = 0.4 那么 P(AB) =4I,

14、0 xl設(shè)隨機(jī)變量X有密度 V縣匕，那么使P(X。)= P(X a)的常數(shù)=設(shè)隨機(jī)變量 X N(2,),假設(shè) p0 V X 4 = 0.3，那么 PX 0 =(4) x 即”),且E(X) = 8,D(X) = 4.8,那么*.N(l，)設(shè)兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量X和Y均聽(tīng)從 5 ,假如隨機(jī)變量X-aY+2滿(mǎn)意條件 D(XF + 2) =a(X_qF + 2)2,那么。=三、解答題(共65分)(10分)某工廠由甲、乙、丙三個(gè)車(chē)間生產(chǎn)同一種產(chǎn)品，每個(gè)車(chē)間的產(chǎn)量分別占全廠的 25%,35%,40%,各車(chē)間產(chǎn)品的次品率分別為5%,4%,2%,求：(1)全廠產(chǎn)品的次品率(2)假設(shè)任取一件產(chǎn)品覺(jué)察是次品，

15、此次品是乙車(chē)間生產(chǎn)的概率是多少？(10分)設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合概率密度為k(6 -x-y),0 x2,0y4|0 ，其它求：（1）常數(shù)攵（2） P（X + y4）（8分）設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為:1 _ij/（x） = e -oo x oo2,求:X的分布函數(shù).（8分）設(shè)隨機(jī)變量X具有概率密度函數(shù)0 x 4;其他，求：隨機(jī)變量y = e-1的概率密度函數(shù).（10分）設(shè)X與Y兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，其概率密度分別為小(%)=小(%)=0%1; 其它.力（y） =y0; y WO.求:隨機(jī)變量z = X + Y的概率密度函數(shù).（10 分）設(shè) X N（0,l）,y N（0,l）,且相互獨(dú)立

16、U = X-Y + 1,V = X + Y + 1求：（1）分別求u,v的概率密度函數(shù)；（2）U,V的相關(guān)系數(shù)奴；（9分）假設(shè)一部機(jī)器在一天內(nèi)發(fā)生故障的概率為0.2,機(jī)器發(fā)生故障時(shí)全天停止工作，假設(shè)一 周5個(gè)工作日里無(wú)故障，可獲利潤(rùn)10萬(wàn)元；發(fā)生一次故障可獲利潤(rùn)5萬(wàn)元；發(fā)生二次故障所獲利潤(rùn)。元；發(fā)生三次或三次以上故障就要虧損2萬(wàn)元，求一周內(nèi)期望利潤(rùn)是多少？概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷（4）標(biāo)準(zhǔn)答案和評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)一、選擇題（5X3分）題號(hào)12345答案DBBAD二填空題（5X4分）11、0.12、啦 3、0.354、205、3三、計(jì)算題（65分）1、解：A為大事“生產(chǎn)的產(chǎn)品是次品”，Bi為大事“產(chǎn)品是甲廠生

17、產(chǎn)的，B2為大事“產(chǎn)品 是乙廠生產(chǎn)的”，B3為大事“產(chǎn)品是丙廠生產(chǎn)的”易見(jiàn)g,2,區(qū)是。的一個(gè)劃分_（1）由全概率公式，得P(A) = p(AB) =) = 25%x5% + 35%x4% + 40%x2% = 0.0345.Z=1 分(2)P(B2A) =由P(AB2)P(B2)Bayes 35% x 4%83方尸（胭）尸（瓦）0,03451=1231。分2、解:（1）由于分X, y)dxdy = 1,所以Wk(6-x- y)dy = 1,可得k=i10J tirj (6一=(|x2-6x + 16)tk = 1分3、解:x0,F(X)= 當(dāng)f.V1F(x) = efdt = elL2 當(dāng)F

18、(x) = j e!dt + eldt = l- - el4.解：丫= i的分布函數(shù)片(y)FY(y) = P(Y y) = P(ex -ly) = P(X ln(y+ 1) = f 皿)fx (x)dxJ-82分4.解：丫= i的分布函數(shù)片(y)FY(y) = P(Y y) = P(ex -ly) = P(X ln(y+ 1) = f 皿)fx (x)dxJ-82分0,-ln2(y + l),loLy 0;0 j -1;e4 y.ln(y+ 1)力(y) = Jy(y) = 8(y+ 1)于是y的概率密度函數(shù)1，8分-6分0 ye4 -1;其他.5解：由卷積公式得+8fz(z)= fx,z-

19、x)dxJ-oo/4-00又由于X與Y相互獨(dú)立，所以心=LfY（z-x）dx當(dāng) Z V 0 時(shí) fz (z)=匚/x (x)/y (z-x)dx = 0;分當(dāng)0zl時(shí)，勿2）=匚4（3代%）小-% = 1-e：fz (z)=匚/x MfY(z-x)dx =( e(zA)dx = ez(e-l);/z(z)=f fx(x)fY(z-x)dx=J-8/z(z)=f fx(x)fY(z-x)dx=J-80l-e-ze-z(e-l)z 00 z l10分6、解：(1)由于x N(o,i),y n(o,i),且相互獨(dú)立，所以u(píng) = x y+i,v = x + y+i 都聽(tīng)從正態(tài)分布，EU = E(X-Y

20、 + ) = EX-EY + E = DU = D(X -Y + 1) = DX + DY = 23分fu () , e 4 TOC o 1-5 h z 所以。N(l,2),所以歷同理 EV = E(X + Y + 1) = EX +EY + E1 = 1ou = o(x + y + i)= ox + oy=21 -fy (w) = e 4所 以VN(l,2), 所 以歷5分(2)ec/v = E(x-y+ i)(x + r + i)= e(x2-y2 + 2X + 1)= EX2 -EY2 +2EX+1 = DX +(EX)2-(DY+ (EY)2) + 2EX+ 1=18分EUV - EU

21、EV 八Puv =/ i= 0所以y/DUy/DV10分PX=k=O.2%O.850 = O,L,57、解由條件知X3(5，。2),即讓)分10,5, y = g(x)=u，-2,X =0; x=l;X = 2; X3 分9.隨機(jī)變量序列,X，依概率收斂于常數(shù)。是指對(duì)任意 o, 有 =1成立三、計(jì)算題（3X6分+4X7分+1X9分）：.設(shè)一批混合麥種中一、二、三、四等品分別占94%、3%、2%、1%,四個(gè)等級(jí)的發(fā)芽率 依次為,0.98, 0.95, 0.9, 0.85求這批麥種的發(fā)芽率。假設(shè)取一粒能發(fā)芽，它是二等品的概率 是多少？.離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)0 x -10.4-1 x 1F（x

22、） =0.7lx3、1x-3,求X的分布列.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：/（x） = /I -oo x +oo求：1）X的概率分布函數(shù)，2） X落在（-10,15）內(nèi)的概率;4.設(shè)隨機(jī)變量（x，y）的概率密度為0 xl,0yx其他求：1）A；(1P X -,Y-2) I42 J3)鳳x-y).設(shè)隨機(jī)變量x與y的密度函數(shù)如下，且它們相互獨(dú)立1,0 x 0fxM = L 甘人（）=八 /八0,其匕0,y TOC o 1-5 h z 1 nmP-YXi-a = l8、229、1三、計(jì)算題（3x6分+4x7分+1x9分）1、解:3 = 能發(fā)芽/=取的是第i等品 i = 1,234易見(jiàn)4,4,4,A是

23、c的一個(gè)劃分2分P(A1) = 0.94, P(A2) = 0.03,尸(4) = 0.02, P(A4) = 0.01P(B I A) = 0.98, P(B I A?) = 0.95, P(B | 4)=0.9, P(B | AJ = 0.854分4P（B） = ZP（A）P（B |4）= 0.9754 TOC o 1-5 h z 由全概率公式，得 i6分2、解：由題意知：離散型隨機(jī)變量X的可能取值是：-1, 1, 3, 2分/=Z Pi由于離散型隨機(jī)變量的分布函數(shù)，得4分(0.4 0.3 0.3 J3、解:x 0,當(dāng)I rOpx .1.F(x) = J e 力+ 工 e dt = 1 -

24、 2分4分圖(1)圖(2)P(-10 X 15) = F(15)- F(-10) = 1 -,022分(見(jiàn)圖(D)(見(jiàn)圖(D)1 = J二匚/(%，y)dxdy = AMMy = *. A = 31 1 c-d 1P(X,Y)= 4 3xdxdy =(2)42 J。J。詢(xún)(見(jiàn)圖)分Qx0其它E(X-Y) = U 匚( - y)f(x, y)dxdy = x-yxdxdy = |f。，y) = fxMfy(y) =5、解：由X和Y獨(dú)立，得分尸Z(z) = P(z z) = P(X + y z) = j j /(x, y)dxdyx+yzz-xnz-x _ ,)ey dxdy-z-l + e-z

25、eydxdy = 1 - ez + ez分1-2-Zz 00z 1z 050zl2 )( 012 y6、解： 3 U.易EX =1.1, EY = .33分0.4J(0.3 0.1 0.6J知：EX2 =1.9 EY2 =2.5DX =EX2 -(EX)2 =0.69 同理 DY = 0.SCOV(J力)=Erj - E&E = E(aX - )3Y)(aX + /?/) - E(aX - /3Y)E(aX + /?/)=E(a2X2 - 2y2) - aEX - /3EY)aEX + J3EY) = a2EX2 -儼 EY? 2(EX)2-J32(EY)2二 a2DX-/32DY = 0.6

26、9 6r2-0.81 仍7分7 解.X(即/)區(qū)(100,0.05)1分EX = np = 5, DX = np(l -p) = 4.753分由中心極限定理，得P(X-5 1) = P(4 X 6) = P(， J - 6Tlpynp(l p) Ynp(l - p) YnpQ - p) TOC o 1-5 h z 1X np1、不/1、不/ 1、 r 不/ 1、 iP(一一/= /= !) = P( /) 一 (1)(一= 20( ) -17分8、解:7分8、解:V455 版(”) V455V4775V4775V477555口工看=P，=， (1 - p) ，=155口工看=P，=， (1 -

27、 p) ，=1(1) Xj Ml,p), 123,4,5 樣本的聯(lián)合分布列：P(X =%,X2 =%2，X5 =%5)= fjP(X,=為)=立，%(1 ，尸, z=li=xi = 0,1 = 1 53分(2)樣本均值:樣本方差:521一 121 53 26宜(X, 一幻=二區(qū)-工)= z=l- i=lJ6 TOC o 1-5 h z 55之七一方七7(3)由 得：似然函數(shù)以)= (1一055In L(p) = Z 匕 ln( )+ 5 Z X,)1n(1 一 P) 對(duì)數(shù)似然函數(shù)I對(duì)求導(dǎo)并令其為0：對(duì)求導(dǎo)并令其為0：din L(p)dp七1 一5(_匕)=0/=1得9分得9分即為P的極大似然估

28、量概率論和數(shù)理統(tǒng)計(jì)試卷(2)一、選擇題(6X3分):設(shè)X N(22)/(0 xv4) = O5,那么 P(X0)=()(A) 0.65(B) 0.45(C) 0.95(D) 0.252,設(shè)0P(A)l,0P(B)l,P(A|8) + P(才 | 豆) = 1,那么()(A)尸(A3)wP(A)P(B)(b# = X(c)P(AB) = P(A)P(B) (D)3.設(shè)X的分布函數(shù)為M%),那么y = 3X + l的分布函數(shù)G(y)為()Ji _ nz(A) 13y 3)(B) F(3y + 1)(C)3/)+ 1)與一54,設(shè) X N(0,l),令 y = x-2,那么 丫 ()(A) N(2,

29、l)； 7V( 2,1) (C) N(2,l)； MO)；.假如X，y滿(mǎn)意D(X + Y) = D(X -y),那么必有()(A)x 與y獨(dú)立(B)dy = o(C)x 與y不相關(guān) (D)dx=o.設(shè)隨機(jī)變量X%a= 1，2)相互獨(dú)立，具有同一分布, %=6DXk =，,且成；存在，攵=1,2,對(duì)任意0,正確地為()1工lim( -a2 ,)1(A)“ k=l1工lim( -a2 ,)1(A)“ k=llimj oo(C)(C)limjX； / 8 n 77lim( -cr2 0,有=0成立三、計(jì)算題（3X6分+4X7分+1*9分）：1.設(shè)一批混合麥種中一、二、三、四等品分別占94%、3%、2

30、%、1%,四個(gè)等級(jí)的發(fā)芽率 依次為,0.98, 0.95, 0.9, 0.85求這批麥種的發(fā)芽率。假設(shè)取一粒能發(fā)芽，它是二等品的概率 是多少？2.離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)X 1-1 X 11 W x 3x-3 ，求X的分布列3.設(shè)隨機(jī)變量（x）的概率密度為0.40.80 x 1,0 y x其他求A；（3）鳳x y）4.設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度函數(shù)為：/（%） = -oo x +oo求：（1）X的概率分布函數(shù)，（2） X落在（-10,15）內(nèi)的概率;6.設(shè)隨機(jī)變量x與y的密度函數(shù)如下，且它們相互獨(dú)立1,0 x 0其它加打寸。，4。求隨機(jī)變量Z = X + Y的概率密度函數(shù)。7.設(shè)隨機(jī)變量（XI）的概率分布列為求4 = 乂_匕 =乂 +匕求4和77的協(xié)方差YX01200.100.2100.10.220.200.28.設(shè)一批產(chǎn)品的次品率為0.05,從中有放回