數(shù)字通信技術(shù)043

1、014.4 卷積編碼 (續(xù))2五、軟判決譯碼和硬判決譯碼1、信道模型從數(shù)學上看，信道實際上是從發(fā)空間X到收空間Y一個概率映射函數(shù)3五、軟判決譯碼和硬判決譯碼離散無記憶信道 (DMC)Discrete Memoryless Channel 用一個離散輸入碼元集、一個離散輸出碼元集，以及一組條件概率來描述。其中i代表調(diào)制器M 進制輸入碼元， j 代表解調(diào)器Q 進制輸出碼元，P(j|i)代表發(fā)送 I 時收到j的概率。 x1x2xMy1y2yQ:P1|1P2|1P1|2P2|2PQ|M4五、軟判決譯碼和硬判決譯碼離散無記憶信號在時刻 i 的輸出僅與時刻 i 的輸入有關(guān)輸出與輸入的數(shù)目有限5五、軟判決譯

2、碼和硬判決譯碼二進制對稱信道(BSC) Binary Symmetric ChannelDMC 的一個特例， 輸入和輸出字符集只包含二進制元素0和1，條件概率是對稱的： 1-p0 0 p 1 1-p6對于BSC信道，解調(diào)器的輸出包含離散元素0和1，因此說解調(diào)器對每個碼元有一個硬判決(hard decision)。譯碼器是在解調(diào)器硬判決基礎(chǔ)上譯碼的，因此BSC信道的譯碼稱為硬判決譯碼(hard-decision decoding)。 五、軟判決譯碼和硬判決譯碼7五、軟判決譯碼和硬判決譯碼高斯信道 (Gaussian Channel)具有離散的輸入字符和連續(xù)的輸出字符。信道給碼元加上均值為 0 、

3、方差為2的高斯分布的噪聲， 對所有的接收隨機變量z，其在輸入碼元為uk 條件下的概率密度函數(shù)為： 8五、軟判決譯碼和硬判決譯碼當解調(diào)器的輸出包括連續(xù)字符或者該字符的量化值（超過兩個電平）時，則稱解調(diào)器進行軟判決(soft decision)。解調(diào)器將這些量化后的編碼碼元輸入譯碼器，因為譯碼器的操作是在解調(diào)器軟判決基礎(chǔ)上的，所以這種高斯信道的譯碼稱為軟判決譯碼 (soft-decision decoding)。9五、軟判決譯碼和硬判決譯碼2、硬判決譯碼與軟判決譯碼的定義對于輸入為二進制碼元的信道，在傳輸過程中受到噪聲的污染，成為取值連續(xù)的信號。當解調(diào)器的判決輸出為二電平信號時，則對應于每一個二進

4、制的輸入碼元，解調(diào)器輸出一個相應的二進制碼元0或1，此時我們說解調(diào)器對每個碼元進行硬判決。當解調(diào)器判決時所設(shè)置的量化電平數(shù)為L(L2)時，則對應于每一個二進制的輸入碼元，解調(diào)器輸出一組n比特的二進制序列，并且L2n，即L個量化電平被編為n比特的二進制序列。這種多電平的判決被稱為軟判決。10事實上，譯碼器的輸入就是解調(diào)器的輸出。當譯碼器對解調(diào)器的硬判決輸出進行譯碼時，稱為硬判決譯碼(hard-decision decoding)；當譯碼器對解調(diào)器的軟判決輸出進行譯碼時，稱為軟判決譯碼(soft-decision decoding)。通常，我們將信道考慮成對稱信道。典型的硬判決信道就是二進制對稱信

5、道。典型的軟判決對稱信道是2電平輸入，8電平輸出的信道，即1比特輸入，3比特輸出。五、軟判決譯碼和硬判決譯碼11s1/s2的似然函數(shù)與硬判決/軟判決輸出的對應關(guān)系s1和 s2分別對應于信道輸入為“1”和“0”，z為信道輸出。五、軟判決譯碼和硬判決譯碼12五、軟判決譯碼和硬判決譯碼可信度在最大似然譯碼中，每個碼元的似然函數(shù)p(z/si) 越大，說明接收到的z是si的可能性越大。因此 反映了接收信號是si的可信程度（以下簡稱可信度）。對于軟判決譯碼，可以用編碼來表示可信度。130 1 10 1 00 0 10 0 01 0 01 0 11 1 01 1 1判決位可信度可信度取的是補碼五、軟判決譯碼

6、和硬判決譯碼143、軟判決viterbi譯碼硬判決和軟判決維特比譯碼的主要區(qū)別是，軟判決算法不使用漢明距里，而采用歐氏距離作為距離量度。譯碼時取歐氏距離小的分支，舍棄歐氏距離大的分支。五、軟判決譯碼和硬判決譯碼15硬判決譯碼與軟判決譯碼五、軟判決譯碼和硬判決譯碼16六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能1、譯碼約束度考察viterbi譯碼的特點在viterbi譯碼過程中，“加比選”的結(jié)果是得到了一條漢明距離累加值小的幸存路徑，丟棄了其它漢明距離累加值大的路徑。17A丟棄路徑幸存路徑六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能18六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能19六 卷積碼viterbi譯碼算

7、法的性能經(jīng)過了初始狀態(tài)后，網(wǎng)格圖中每個時刻需保留的 幸存路徑數(shù)等于網(wǎng)格圖的狀態(tài)數(shù)2k(N1)。路徑收斂：網(wǎng)格圖中共有2k(N-1) 條幸存路徑，當對某些路徑的考慮長到一定程度時，不正確的路徑不斷地淘汰，并在幸存路徑的末端出現(xiàn)了收斂現(xiàn)象。討論：當差錯模式超出卷積碼的糾錯能力時，是否能出現(xiàn)收斂現(xiàn)象？20四條幸存路徑收斂區(qū)六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能21六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能譯碼深度：顯然，在收斂現(xiàn)象出現(xiàn)前的幸存路徑都需要存儲。由于收斂的時間不確定，譯碼時通常設(shè)置一固定觀察路徑的長度M ，稱譯碼約束度或譯碼深度。譯碼深度M和狀態(tài)數(shù)2k(N-1)決定了需要存儲的內(nèi)容。譯碼深度

8、M取得太大，需要存儲的內(nèi)容太多；如果取得太小，則在判決時路徑還可能還沒有收斂，造成判決出錯。譯碼約束度M一般通過計算機模擬確定。226.3106.46.7*7.2*56.56.87.2546.77.27.43765Eb/n0譯碼約束度編碼約束度硬判決Viterbi譯碼所需要的Eb/n0值（pe=10-5，(2,1,6)碼） 六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能234.4274.54.95.254.75.05.345.15.25.73765Eb/n0譯碼約束度編碼約束度軟判決Viterbi譯碼所需要的Eb/n0值（pe=10-5，(2,1,6)碼） 六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能24六

9、 卷積碼viterbi譯碼算法的性能2、編碼增益編碼增益是衡量整個差錯控制系統(tǒng)的性能指標。編碼增益與許多因素有關(guān)卷積碼編碼增益在不同的誤比特率條件下是不相同的，誤比特率越低時，編碼增益越大；編碼約束長度越大，編碼增益越高；編碼效率越低，編碼增益越大；譯碼約束長度越大，編碼增益越高；軟判決電平數(shù)越高，編碼增益越高。 25卷積碼(n,k,N)編碼增益（dB）Pe=10-3Pe=10-5Pe=10-73，1，74.25.76.22，1，73.85.15.82，1，63.54.65.32，1，53.34.34.93，2，43.14.65.23，2，32.94.24.74，3，32.64.24.84，3

10、，22.63.63.9BPSK或QPSK調(diào)制，加性高斯白噪聲信道，3-bit軟判決Viterbi譯碼 六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能26量化比特數(shù)Eb/n0（dB）編碼增益34.94.744.84.854.74.9編碼增益與量化比特數(shù)的關(guān)系 （pe=10-5，(2,1,6)碼） 六 卷積碼viterbi譯碼算法的性能274.5 RS碼28一、數(shù)學基礎(chǔ)1、有限域（加羅瓦域，Galois Field，GF）對于任何質(zhì)數(shù)q ，存在一個有限域，表示為GF(q)，其中包含q個元素?？梢詫F(q)延伸為一個含有qm個元素的域，稱為GF(q)的擴展域，表示為GF(qm)，m是一個非零的正整數(shù)。 G

11、F(q)是GF(qm)的一個子域。例如， GF(2)是GF(2m)的一個子域，類似于實數(shù)域是復數(shù)域的一個子域。在GF(2m)中，除了數(shù)字0和1，還有一個特殊的元素，用一個新的符號表示， GF(2m)中的任何非零元素都可以由的冪次表示。29元素的無限集F，就是根據(jù)元素0,1,形成的，后一個元素通過前一項乘以而得到。為了從F中得到有限元素的集合GF(2m)，必須對F域施加一個條件，使它只能含有2m個元素并且對乘法封閉。元素集對乘法封閉的條件可由下面的不可約多項式表示：根據(jù)這個限制條件，任何冪次2m-1的域元素都可降階為如下所示的冪次小于2m-1的元素。一、數(shù)學基礎(chǔ)30因此，從無限序列F中形成的有限

12、序列如下：因此，有限域GF(2m)的元素由下式給出：一、數(shù)學基礎(chǔ)312、自然基底（基底元素）展域GF(qm)中的每一個元素都可以用次數(shù)低于m的的多項式表示。即GF(qm)中m個元素集合1, 2, ,m-1是線性無關(guān)的。因此稱這組元素為自然基底或基底元素，也稱為本原基底。例如， 在GF(23)中， 1, 2就是它的自然基底。這可以在后面通過求本原多項式f(x)=1+x+x3的根來說明。一、數(shù)學基礎(chǔ)323、有限域元素的多項式表示在有限域GF(2m)中，2m個元素中的任意一個都可以由階數(shù)小于或等于m-1的一個多項式表示。多項式的階數(shù)是它的最高冪指數(shù)，多項式的變量x在GF(2)上。將GF(2m)中的每

13、個非0元素用多項式i(x)表示，其系數(shù)至少有一個不為0。對于i=0,1,2, ,2m-2,有：一、數(shù)學基礎(chǔ)334、有限域GF(2m)中的加法有限域中兩個元素的加法定義為兩個元素的多項式中同冪次項系數(shù)進行模2加，即：5、有限域的本原多項式GF(q )上的一個m階的不可約多項式f(x)，如果f(x)能整除xn+1的最小正整數(shù)n滿足n=2m-1，則該多項式是本原的。一、數(shù)學基礎(chǔ)34一、數(shù)學基礎(chǔ)6、有限域本原多項式的根代數(shù)基本定理證明，對于GF(q )上冪次為m的多項式f(x)，必然有m個根。然而， GF(q )中的元素，例如 GF(2)中的元素0和1，不能滿足多項式f(x)有m個根的要求，即f(x)

14、 m個根不在GF(q )中，而在其它域中。例如， GF(2)上的本原多項式f(x)=1+x+x3有三個根，這三個根位于擴展域GF(23)中。一個本原多項式的根必須有至少一個本原元素。所謂本原元素，即該元素所在域中的所有元素都可以通過該元素冪次的不斷升高來得到。 35例：求f(x)=1+x+x3的根。解：用來定義f(x)的根，然后通過枚舉找到所有的根。 令 f()=0，即1+3=0，則3=1+ 4= 3= (1+)= +2 同理： 5=1+2 6=1+2 7=0=1 枚舉：（1） f(0)=1，所以 0=1不是根， （2） f()=0，所以是根 （3） f(2)=0，所以2是根 （4） f(4)

15、=0，所以4是根 其余元素均不是根。一、數(shù)學基礎(chǔ)36根據(jù)上例的計算，結(jié)合基底元素的定義，可以得到多項式為f(x)=1+x+x3的GF(23)中，基本元素x0,x1,x2與GF(23)中8個元素的影射關(guān)系。見下表。一、數(shù)學基礎(chǔ)37GF(23)中8個元素與基本元素x0,x1,x2 的影射關(guān)系一、數(shù)學基礎(chǔ)38二、RS碼1、RS碼的定義在有限域GF(2m)(m1)中，以該域元素為根的，且碼長 為n=2m-1的本原BCH碼稱為RS碼。（比較：BCH碼的碼字取自GF(q)域，而其生成多項式的根則取自GF(qm)域）2、RS碼的生成多項式RS碼中，碼字取值的域與其生成多項式的根的域完全相同，均取自GF(2m

16、)(m1)域 。因此，RS碼生成多項式可以由一次多項式的乘積構(gòu)成。即：39 3、RS碼的距離特性 RS碼最有價值的特點是：其最小距離dmin比監(jiān)督位個數(shù)多1，即：如果可糾正的錯誤碼元數(shù)為t，則有n-k=2t。由線性碼理論可知，有n-k個校驗位的線性分組碼所能得到的最大的最小距離是n-k+1?？梢?，RS碼是一個有最大的最小距離的線性分組碼。因此，RS碼常表示為（n，k，dmin），RS碼也常常表示為（2m-1， 2m-1-2t）。二、RS碼40例：設(shè)GF(23),構(gòu)造一個t=2的RS碼解：因為GF(23),所以m=3，n=23-1=7 又因為t=2，所以n-k=4，k=3 因此，這是一個八進制的

17、（7,3,5）RS碼，生成多項式為： 在上式中，加法按照二進制域計算，即+1= -1，并且按照mod2的規(guī)則運算。二、RS碼41二、RS碼4、RS碼的編碼原理與BCH碼相同，用信息多項式乘以生成多項式就可以得到碼字多項式。編碼電路BCH碼的結(jié)構(gòu)相似，所不同的是：反饋支路所乘的系數(shù)不再是二進制的1或0，而是m進制的元素，或者說是m個二進制比特。42二、RS碼（7，3，5）RS碼的編碼器框圖43二、RS碼5、RS碼的譯碼RS碼的譯碼原理也與前面所述的循環(huán)碼的相同，但是具體實現(xiàn)則要復雜得多。而且隨著m和t的增加，復雜度增加。因為對于二進制碼，只要找到錯誤的位置，就可以通過取反實現(xiàn)糾錯。而對于非二進制的RS碼，不但要找到錯誤的位置，還要知道這些位置上的正確取值。 44二、RS碼6、 RS碼的糾錯能力糾正t個符號錯誤的RS碼參數(shù)如下碼長n = 2m-1符號,或m(2m-1)比特信息