對機械能守恒的理解

1、 對機械能守恒的理解對機械能守恒的理解揚州市寶應縣畫川高級中學隨著學習的深入，機械能守恒定律的內(nèi)容和深度在不斷的拓展，由最初的物體在只有重力做功情況下機械能守恒，拓展到含有彈簧的系統(tǒng)機械能守恒，以及多物體的系統(tǒng)機械能守恒問題。機械能守恒定律在教科版教材（必修2）中是這樣表述的：在只有重力或彈力做功的物體系統(tǒng)內(nèi)，動能與勢能會發(fā)生相互轉化，但機械能的總量保持不變。機械能守恒定律的條件拓展為：系統(tǒng)內(nèi)各物體間發(fā)生動能、重力勢能、彈性勢能的相互轉移或轉化，而沒有轉化為其他形式的能量時，系統(tǒng)的機械能就守恒。它是力學中的一條重要定律，是更普遍的能量守恒定律的一種特殊情況。一、機械能守恒條件的全面理解1、從功

2、和能的關系角度理解從功能關系的角度看，重力（彈簧的彈力）做功不會改變物體的機械能，除重力（彈簧的彈力）之外的其他力做功必然發(fā)生機械能的轉化或轉移。因此，只有重力（彈簧的彈力）做功可具體表現(xiàn)為三種情況：（1）只受重力（彈簧的彈力）而不受其他力的作用。如自由落體和各種拋體運動（不計空氣阻力）。（2）還受其他力作用，但其他力不做功。如物體沿固定的光滑曲面運動，盡管受支持力作用，但它不做功。（3）其他力做功，但做功的代數(shù)和為零。情景1如圖1所示,一固定的楔形木塊,其斜面傾角為30，小另一邊與地面垂直，頂上有一定滑輪。一條柔軟的細線跨過定滑輪，兩少牛端分別與物塊A和B連結，A的質量為4m，B的質量為m，

3、開始時螢將B按在地面上不動，然后放開手，讓A沿斜面下滑而B上升。物塊A與斜面間無摩擦。設當A沿斜面下滑S距離后，細線突然斷了。求物塊B上升離地的最大高度H。分析繩中的拉力TA和TB都做功，這時A和B各自的機械能都不守恒，但WA+WB=0,因此，對A和B構成的系統(tǒng)只有重力做功，總的機械能守恒。4岡銖in日一扣5赫j解得：V=對由A和B構成的系統(tǒng)，由機械能守恒定律得:細線突然斷后，B做豎直上拋運動，由機械能守恒定律得：2從能量轉化的角度理解從能量轉化角度看，機械能守恒定律是普遍的能的轉化與守恒定律的特殊情況，就是指無其他形式的能量（力學中特別是指與摩擦和介質阻力相關的熱能）參與轉化，只發(fā)生動能和勢

4、能相互轉化的過程，機械能的總量保持不變。情景2如圖2所示，小物塊位于光滑斜面上，斜面位于光滑水平地面上，在小物塊沿斜面下滑的過程中，從能量轉化的角度分析：由于地面和斜面都是光滑的，沒有熱能的轉化，只有動能和勢能參與轉化，而斜面的機械能不斷增加。因此，斜面的機械能增加一定來自物塊的機械能減少，但斜面與物塊組成的系統(tǒng)總的機械能守恒。但如果由功能關系出發(fā)，雖然可以分析出由于兩者間的相對運動，斜面受的壓力和物塊受的支持力與位移都不垂直，都各自做了功，各自的機械能一定改變，但是要確定該系統(tǒng)的機械能是否守恒，這時就需要確定是否等于零，這在中學階段是有一定難度的。通過以上分析，筆者認為可以達成如下共識：就守

5、恒條件而言，前者側重于能量轉化的原因，即只有重力（彈簧的彈力）做功，描述更充分，更嚴謹，有利于學生對功和能關系的深刻理解，從而突出過程中各力做功情況的分析，判斷能的轉化情況；而后者側重于能量轉化的現(xiàn)象和結果無其他形式的能參與轉換，只發(fā)生動能和勢能的相互轉化，描述更通俗，更普遍，有利于學生從能量的形式和增減現(xiàn)象入手判斷能量的轉化情況，樹立更廣泛意義上的能量轉化思想和利用能量守恒分析問題的方法。二、機械能守恒定律的表達式隨著機械能守恒定律的拓展，可以從三個角度用方程表達機械能守恒定律。1從守恒的角度在所研究的過程中，任選兩個不同的狀態(tài)，研究對象的機械能必定相等，即。通常我們關心的是一個過程的首、末

6、兩狀態(tài)，此式也可理解成首、末兩狀態(tài)機械能相等，但應注意的是，首、末兩狀態(tài)機械能相等，不能保證研究對象在所研究過程中機械能一定守恒，只有在過程中任選一個狀態(tài)，其機械能都保持恒定值時，研究對象的機械能才是守恒的。選取某一平面為零勢能面，如果含有彈簧則彈簧處于原長時彈性勢能為零，系統(tǒng)末狀態(tài)的機械能和初狀態(tài)的機械能相等。即：Ek末+Ep末=Ek初+Ep初2從能量轉化的角度在所研究的過程中，研究對象（或系統(tǒng)）動能的增加量等于勢能（包括重力勢能和彈性勢能）的減少量；反之，研究對象（或系統(tǒng)）動能的減少量等于勢能的增加量，即。系統(tǒng)的動能和勢能發(fā)生相互轉化時，若系統(tǒng)勢能的減少量等于系統(tǒng)動能的增加量，系統(tǒng)機械能守

7、恒。即：AE減4E增K分析B球重力勢能減少了，A球重力勢能增加了枕童應,則系統(tǒng)重力勢能共減少了情景3如圖是一個半徑為R的光滑固定圓柱體的橫截面，一根輕繩兩端各系一個質量均為m的小球A、B而處于靜止狀態(tài)，兩球與圓心在同一個水平線上。在受到輕微的擾動后，B球下落，A球上升，求A球到達圓柱體的最高點時對柱面的壓力。3從能量轉移的角度系統(tǒng)某一部分機械能減少了多少，其它部分的機械能就增加了多少；反之亦然，可用表示，這種表述形式適用于某一系統(tǒng)機械能守恒的表述。也可理解為系統(tǒng)內(nèi)某一物體動能（或勢能）減少了多少，該物體的勢能（或動能）以及系統(tǒng)內(nèi)其它物體的機械能就要增加多少。簡單地說，在所研究的系統(tǒng)內(nèi)，機械能有

8、減就有增，減少的量值應與增加的量值相等。系統(tǒng)中有A、B兩個物體或更多物體，若A機械能的減少量等于B機械能的增加量，系統(tǒng)機械能守恒。E減也E增情景8如圖所示，半徑為R、圓心為0的大圓環(huán)固定在豎直平面內(nèi)，兩個輕質小圓環(huán)套在大圓環(huán)上。一根輕質長繩穿過兩個小圓環(huán)，它的兩端都系上質量為m的重物，忽略小圓環(huán)的大小。將兩個小圓環(huán)固定在大圓環(huán)豎直對稱軸的兩側8=30。的位置上。在兩個小圓環(huán)間繩子的中點C處，掛上一個質量M=的重物，使兩個小圓環(huán)間的繩子水平，然后無初速釋放重物M。設繩子與大、小圓環(huán)間的摩擦均可忽略，求重物M下降的最大距離。Mgh=2mg+(&in分析重物先向下加速，然后向下減速，當重物速度為零時

9、，下降的距離最大。此時質量為m的重物速度也為零，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒，M機械能的減少量等于m機械能的增加量，設下降的最大距離為h。h=R（另解h=0舍去）本題如果規(guī)定零勢能面從守恒角度列式，就顯得很不方便，也沒有必要以上三種表達式各有特點，在不同的情況下應選取合適的表達式靈活運用，不要拘泥于某一種，這樣問題才能變得簡單快捷。下面我們就具體問題來談談如何巧用機械能守恒定律解題。三、應用機械能守恒定律的三種類型1、單個物體與地球組成的系統(tǒng)研究單個物體與地球組成的系統(tǒng)機械能是否守恒，首先應對物體進行受力分析，分析各力的做功情況，若只有重力做功，其他力不做功或做功的代數(shù)和為零，則此系統(tǒng)機械能守恒。情景6

10、質量相等的兩個小球A、B分別用懸線掛在等高的兩點，A球的懸線比B球的懸線長，如圖1所示。把兩球的懸：線均拉到水平后將小球無初速釋放，則經(jīng)最低點時（以懸點為零勢能丨點），A球動能與B球動能相比如何，兩者機械能相比如何？丨：1分析A球、B球在向下運動時，雖然受重力和繩子拉力，但拉力不做功，只有重力做功，因而機械能守恒。由于初始狀態(tài)時兩者機械能相等，因此到達最低點時，兩球機械能仍相等。但A球在最低點時重力勢能較小，所以A球的動能大。2、物體、彈簧與地球組成的系統(tǒng)物體、彈簧與地球組成的系統(tǒng)中，若只有物體的重力和彈簧的彈力做功，其他力不做功或做功的代數(shù)和為零，彈簧的彈性勢能與物體機械能之間發(fā)生轉化，則系

11、統(tǒng)的機械能守恒。情景6如圖2,輕彈簧一端與墻相連，質量為4kg的木塊沿光滑的水平面以5m/s的速度運動并壓縮彈簧k，求彈簧在被壓縮過程中最大的彈性勢能及木塊速度減為3m/s時彈簧的彈性勢能。分析當木塊的速度減為零時，彈簧的壓縮量最大，彈性勢能最大，設彈簧的最大彈性勢能為超踏，木塊和彈簧組成的系統(tǒng)（包括地球）機械能守恒E=二507則有rp+Evl=-0當木塊速度為張兀時，彈簧的彈性勢能為%,則有所以情景6如圖所示，質量為m的物體A經(jīng)一輕質彈簧與下方地面上的質量為m的物體B相連，彈簧的勁度系數(shù)為k，A、B都處于靜止狀態(tài)。一條不2可伸長的輕繩繞過輕滑輪，一端連物體A，另一端連一輕掛鉤。開始時各段繩都

12、處于伸直狀態(tài)，A上方的一段繩沿豎直方向?，F(xiàn)在掛鉤上掛一質量為m的物體C并從靜止狀態(tài)釋放，已知它恰好能使B離開地面但不繼續(xù)上升。若將C換成另一個質量為（m+m）的物體D，仍從上述初始位置由靜止狀態(tài)釋放，則這次B剛離地時D的速度大小是多少？已知重力加速度為go分析m經(jīng)過向上加速然后再減速的過程，當彈簧對B產(chǎn)生向上的拉力T，且T=mg時,此時A的速度也剛好減為零，B就剛好離開地面，此時C的速度也為零。彈簧由最初的被壓縮到最后的被拉長，A上升的高度和C下降的高度為：設在此過程中彈簧彈性勢能的變化量為AE，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒，C重力勢能的減少量等于A重力勢能的增加量和彈性勢能的變化量芝和。gZ?=+AE

13、p將C換成D后,A上升同樣的高度，B剛離地，彈性勢能的變化量和前一種情況一樣，根據(jù)系統(tǒng)機械能守恒，D重力勢能的減少量等于A重力勢能的增加量、A、D動能的增加量和彈性勢能的變化量之和。腳1+（陀i+欣1+蝕）護+A坷2蝕（阻+由以上三式解得：卩本題的關鍵是兩次B剛離開地面，彈簧長度變化相同，彈性勢能變化量相同，因此巧妙的用AE來表示這個變化量，而不糾纏于初、末狀態(tài)彈性勢能的多少，這樣就抓住了問題的要點，而不至于走向歧途。其實在高中彈性勢能的表達式是不要求的，因此凡是遇到彈性勢能的問題均可象本題一樣去處理。3、兩個或多個物體與地球組成的系統(tǒng)在此類問題中，用做功的方式不好判斷系統(tǒng)的機械能是否守恒，但

14、系統(tǒng)內(nèi)的物體在相互作用的過程中，只有動能和勢能之間的相互轉化，無其他能量參與，則系統(tǒng)的機械能守恒。情景3如圖3所示，A和B兩個小球固定在一根輕桿的兩端，此桿可繞穿過其中心的水平軸O無摩擦轉動?，F(xiàn)使輕桿從水平狀態(tài)無初速度釋放，發(fā)現(xiàn)桿繞O沿順時針方向轉動，則桿從釋放起轉動90的過程中：B球的重力勢能減少，動能增加；A球的重力勢能增加，動能減少；A球的重力勢能和動能都增加了；A球和B球及地球組成的系統(tǒng)機械能守恒。分析A、B球及地球組成的系統(tǒng)，由于不計摩擦，在運動過程中只有動能和重力勢能之間相互轉化，無其他能量參與，系統(tǒng)總機械能守恒。桿從釋放起轉動90的過程中，A球的動能增加，重力勢能增加，即A球的機

15、械能增加，因此B球的機械能減少，減少量等于A球機械能的增加量。B球的重力勢能減少，動能增加，所以答案為A、C、D。情景3如圖所示，質量均為m的小球A、B、C，用兩根長為1的輕繩相連，置于高為h的光滑水平面上，lh，A球剛跨過桌邊，若A球、B球相繼下落著地后均不再反彈，求C球剛離開桌邊時的速度大小。分析思路1：取地面為零勢能面，設A球落地時速率為v，從A球開始運動到落地的過程1中,A、B、C三球組成的系統(tǒng)機械能守恒，有：設B球落地時速率為v,從A球落地后到B球落地的過程中，B、C兩球組成的系統(tǒng)機械21212能守恒，有：（2聊）卩+2mgh=+mgh此速度就是C球離開桌邊時的速度。這是從守恒的角度

16、列式，分別寫出系統(tǒng)的初末狀態(tài)的動能和勢能，再列方程求解，這種思路清晰明了，簡單易行，需要注意的是能量要一一弄清，不能丟三落四。思路2在A球落地的過程中，系統(tǒng)減少的勢能為Ep減=嘟，系統(tǒng)增加的動能為Ek增m或=（恥，由機械能守恒定律得：八八在B球落地的過程中，系統(tǒng)減少的勢能為E減=mgh，系統(tǒng)增加的動能為AE增p減k增_扣険）寸-扣咖f由機械能守恒定律得辭二扣嘰2_扣檢2一上2，由機械能守恒定律得：22這是從勢能和動能轉化的角度列式，思路也很清晰，需要注意的是勢能的減少或動能的增加是系統(tǒng)的，而不是某個物體的。象液柱、鏈條等不能被看做質點的物體，應考慮其重心相對于零勢能面的高度差。情景4如圖所示，

17、粗細均勻，兩端開口的U型管內(nèi)裝有同種液體。開始時兩邊液面高度差為h，管中液體總長度為4h,打開閥門讓液體自由流動，不計任何摩擦。求當兩側液面高度相等時，左側液面下降的速度。分析思路1聊=學x扌曲+（4聊）/取開始時右側液面所在的水平面為零勢能面，設長度為h的液體質量為m,由系統(tǒng)機械能守恒定律得：思路2：可以用填補的等效方法，最終兩側液面等高，可以看成把高出右側一半高度的液柱填補到右側，如圖所示。則系統(tǒng)重力勢能的減少量為22,研究對象是整個液柱，勢能的減少是局部的，動能的增加是整個液柱，整個液柱每一小部分的速率都是相等的。mg=（Am）v則從能量轉化的角度來列式，有：222情景5如圖，AB為光滑

18、的水平面BC是傾角為0的足夠長的固定光滑斜面，AB、BC間用一小段光滑的圓弧軌道相連。一根長為L的均勻柔軟鏈條開始時靜止的放在ABC面上，其一端D到B的距離為La，現(xiàn)自由釋放鏈條，求鏈條的D端滑到B點時，鏈條的速率是多大？分析可以采用填補法巧妙的解題，將水平面上長（La）的鏈條填補到斜面上鏈條的下端，由系統(tǒng)勢能的減少量等于動能的增加量得：LaLa1+-）sin&1=mv情景7如圖所示，半徑為r，質量不計的圓盤盤面與地面垂直,圓心處有一個垂直盤面的光滑水平定軸0,在盤的有邊緣固定一個質量為m的小球A,在0點正下方離0點r/2處固定一個質量也為m的小球B，放開盤讓其自由轉動。問：（1）當A轉動到最低點時，兩小球的重力勢能之和減少了多少？（2）A球轉到最低點時的線速度是多大？3）在轉動過程中半徑0A向左偏離豎直方向的最大角度是多大？K分析（1）當A轉動到最低點時，A球重力勢能減少了欣b，B球重力勢能增加了，所以，兩小球的重力勢能之和減少了mgr2）由于圓盤轉動過程中，只有兩球重力做功，系統(tǒng)機械能守恒，兩球重力勢能之和的減少等于兩球動能的增加，設A球轉到最低點時，A、B的線速度分別為v、v,則:AB因兩球固定在同一個圓盤上，轉動過程中角速度相等，所以v=2vABB的機械能增加了bEp=mg(1+sin&)（3）設半徑OA向左偏離