剛體和流體的運(yùn)動 3-1、2、3

1、3-1 剛體模型及其運(yùn)動3-2 力矩 轉(zhuǎn)動慣量 定軸轉(zhuǎn)動定律3-3 定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系3-4 定軸轉(zhuǎn)動剛體的角動量定律和角動量守恒定律3-5* 進(jìn)動3-6* 理想流體模型 定常流動 伯努利方程3-7* 牛頓力學(xué)的內(nèi)在隨機(jī)性 混沌第三章 剛體和流體的運(yùn)動2022/7/292運(yùn)動員跳水門繞門軸轉(zhuǎn)動地球自轉(zhuǎn)2022/7/2933-1 剛體模型及其運(yùn)動在力作用下，大小和形狀都保持不變的物體稱為剛體。剛體是一個理想模型。剛體運(yùn)動研究的基礎(chǔ)：剛體是由無數(shù)個連續(xù)分布的質(zhì)點組成的質(zhì)點系。剛體的運(yùn)動是這些質(zhì)量元運(yùn)動的總和。一、剛體(rigid body)-物體內(nèi)任意兩點的距離不變2022/7/294二、平動和

2、轉(zhuǎn)動1、平動（translation)：連接剛體中任意兩點的線段在運(yùn)動中始終保持平行，則這種運(yùn)動稱為剛體的平動。剛體平動特點：研究方法：剛體質(zhì)心的運(yùn)動2、轉(zhuǎn)動（1）定軸轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸相對參考系靜止。（2）定點轉(zhuǎn)動：轉(zhuǎn)軸上只有一點相對參考系靜止，轉(zhuǎn)軸方向不斷變化。2022/7/296(3)一般運(yùn)動：可看成平動和轉(zhuǎn)動的疊加。例如，車輪的轉(zhuǎn)動2022/7/2973、剛體的定軸轉(zhuǎn)動Rotation of Rigid Body about a Fixed AxisO1O2m2m1xxv1v2剛體的定軸轉(zhuǎn)動如何描述剛體的定軸轉(zhuǎn)動？2022/7/298O1O2m2m1xxv1v2（3）因剛體內(nèi)各點間的相對位置不

3、變，所以各點的半徑所掃過的角度是相同的。這個轉(zhuǎn)角就是角位移。（4）各點的角量（角位移、角速度、角加速度）相同。（1）剛體在定軸運(yùn)動時，剛體上各點都繞同一直線（轉(zhuǎn)軸）作圓周運(yùn)動，而軸本身的空間位置不變。（2）各點的軌跡是半徑大小不同的圓周。剛體的定軸轉(zhuǎn)動剛體的角速度大?。簞傮w的角加速度大小：線速度和角速度的關(guān)系為：加速度與角加速度和角速度的關(guān)系：2022/7/2992022/7/2910 剛體繞定軸作勻變速轉(zhuǎn)動質(zhì)點勻變速直線運(yùn)動剛體勻變速轉(zhuǎn)動與質(zhì)點勻變速直線運(yùn)動對比三、自由度自由度：確定一個物體在空間的位置所需的獨立坐標(biāo)的數(shù)目。它反映了運(yùn)動的自由程度。火車：被限制在軌道上運(yùn)動，自由度為1飛機(jī)：在

4、空中飛行，自由度為3輪船：在一水平面上運(yùn)動，自由度為2剛體的自由度剛體總自由度 i=6：平動自由度t=3轉(zhuǎn)動自由度r=3剛體繞CA軸轉(zhuǎn)動CA的方位其中兩個是獨立的2022/7/2913飛輪 30 s 內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度例1，一飛輪半徑為0.2m、轉(zhuǎn)速為150rmin-1， 因受制動而均勻減速，經(jīng)30s 停止轉(zhuǎn)動。試求：（1）角加速度和在此時間內(nèi)飛輪所轉(zhuǎn)的圈數(shù)；（2）制動開始后 t = 6 s 時飛輪的角速度；（3）t = 6s 時飛輪邊緣上一點的線速度、切向加速度和法向加速度 。解：（1） t = 30 s 時，設(shè).飛輪做勻減速運(yùn)動時， t = 0 s 2022/7/2914（2）時，飛輪的角速度（

5、3）時，飛輪邊緣上一點的線速度大小該點的切向加速度和法向加速度轉(zhuǎn)過的圈數(shù)2022/7/2915 例2，在高速旋轉(zhuǎn)的微型電機(jī)里，有一圓柱形轉(zhuǎn)子可繞垂直其橫截面通過中心的軸轉(zhuǎn)動。開始時，它的角速度 ，經(jīng)300s 后，其轉(zhuǎn)速達(dá)到 18000rmin-1。 已知轉(zhuǎn)子的角加速度與時間成正比。問在這段時間內(nèi)，轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過多少轉(zhuǎn)？解 由題意，令 ，即 ，積分 得當(dāng)t=300s 時所以2022/7/2916轉(zhuǎn)子的角速度由角速度的定義得有在 300 s 內(nèi)轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)過的轉(zhuǎn)數(shù)轉(zhuǎn)動平面 沿Z 軸分量為 對Z 軸力矩對O 點的力矩：一、力矩3-2 力矩 轉(zhuǎn)動慣量 定軸轉(zhuǎn)動定律 設(shè)一剛體在力 作用下繞OZ軸轉(zhuǎn)動。 若力不在轉(zhuǎn)動

6、平面內(nèi)注（1）在定軸動問題中，如不加說明，所指的力矩是指力在轉(zhuǎn)動平面內(nèi)的分力對轉(zhuǎn)軸的力矩。 只能引起軸的變形, 對轉(zhuǎn)動無貢獻(xiàn)。轉(zhuǎn)動平面 是轉(zhuǎn)軸到力作用線的距離，稱為力臂。（2） （3）在轉(zhuǎn)軸方向確定后，力對轉(zhuǎn)軸的力矩方向可用+、-號表示。轉(zhuǎn)動平面2022/7/2920二、剛體定軸轉(zhuǎn)動定律質(zhì)點系的轉(zhuǎn)動定律剛體定軸轉(zhuǎn)動定律利用力矩定義牛頓第二定律，研究剛體作定軸轉(zhuǎn)動的動力學(xué)規(guī)律。 由牛頓第二定律，有建立自然坐標(biāo)：切向、法向；將力分解切向、法向分量設(shè)： 為定軸，剛體中任一質(zhì)元 ，其質(zhì)量為 。質(zhì)元 受外力 ，內(nèi)力 的作用，均在與 OZ 軸相 垂直的同一平面內(nèi)。OZ2022/7/2921切向分量式為：將

7、切向分量式兩邊乘以ri ,有：外力矩內(nèi)力矩法向分量式為：利用 ，2022/7/2922OZ對所有質(zhì)元求和：一對內(nèi)力的力矩之和為零。剛體的轉(zhuǎn)動慣量合外力矩則定義剛體定軸轉(zhuǎn)動時，剛體的角加速度與它所受的合外力矩成正比，與剛體的轉(zhuǎn)動慣量成反比。剛體的轉(zhuǎn)動定律2022/7/2923O轉(zhuǎn)動慣量的物理意義?2022/7/2924三、轉(zhuǎn)動慣量（rotational inertia)的計算轉(zhuǎn)動慣量的定義剛體的質(zhì)量可以認(rèn)為是連續(xù)分布的，寫成積分形式：是質(zhì)元的質(zhì)量是質(zhì)元到轉(zhuǎn)軸的距離單位: 千克米2（kgm2）2022/7/2925質(zhì)量為線分布質(zhì)量為面分布質(zhì)量為體分布其中、 分別為質(zhì)量的線密度、面密度和體密度。線分

8、布體分布面分布注意只有對于幾何形狀規(guī)則、質(zhì)量連續(xù)且均勻分布的剛體，才能用積分計算出剛體的轉(zhuǎn)動慣量。2022/7/2926哪種握法轉(zhuǎn)動慣量大？2022/7/2927幾種均勻剛體的轉(zhuǎn)動慣量2022/7/2928例題1，求質(zhì)量為m、長為 l 的均勻細(xì)棒對下面三種轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量：（1）轉(zhuǎn)軸通過棒的中心并和棒垂直；（2）轉(zhuǎn)軸通過棒的一端并和棒垂直；（3）轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的一點并和棒垂直。lOxdxl/2l/2OxdxAlxdxAABh2022/7/2929解：如圖所示，在棒上離軸x 處，取一線元dx，若棒的質(zhì)量線密度為，這線元的質(zhì)量為dm=dx。（1）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過中心并和棒垂直時，有l(wèi)/2l/2Ox

9、dxlOxdxAlxdxAABh2022/7/2930因l=m，代入，得（2）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒的一端A并和棒垂直時，有l(wèi)xdxA2022/7/2931（3）當(dāng)轉(zhuǎn)軸通過棒上距中心為h的B點并和棒垂 直時，有結(jié)論：同一剛體對不同位置的轉(zhuǎn)軸，轉(zhuǎn)動慣量并不相同。lOxdxABh2022/7/2932平行軸定理推廣：若有任一軸與過質(zhì)心的軸平行，相距為d，剛體對其轉(zhuǎn)動慣量為I，則有：JJOmd2。轉(zhuǎn)動慣量的平行軸定理llOxdxAlxdxA2022/7/2933轉(zhuǎn)動慣量的可加性 一個具有復(fù)雜形狀的剛體，如果可以分割成若干個簡單部分，則整個剛體對某一軸的轉(zhuǎn)動慣量等于各個組成部分對同一軸轉(zhuǎn)動慣量之和。薄平板的正交

10、軸定理 yx z 圓盤 R C m2022/7/2934例題2，求圓盤對于通過中心并與盤面垂直的轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動慣量。設(shè)圓盤的半徑為R，質(zhì)量為m，密度均勻。rRdr解：設(shè)圓盤的質(zhì)量面密度為，在圓盤上取一半徑為r、寬度為dr的圓環(huán)（如圖），環(huán)的面積為2rdr，環(huán)的質(zhì)量dm= 2rdr ?？傻?022/7/2935例題3，求質(zhì)量m，半徑 R 的球殼對直徑的轉(zhuǎn)動慣量。分析：取離軸線距離相等的點的集合為質(zhì)元dm36例題4，在質(zhì)量為 M ，半徑為 R 的勻質(zhì)圓盤上挖出半徑為 r 的兩個圓孔，圓孔中心在半徑 R 的中點，求剩余部分對通過大圓盤中心且與盤面垂直的軸線的轉(zhuǎn)動慣量。分析：用填補(bǔ)法。2022/7/293

11、7練習(xí)1：右圖所示，剛體對經(jīng)過棒端且與棒垂直的軸的轉(zhuǎn)動慣量如何計算？(棒長為L、球半徑為R）2022/7/2938練習(xí)2：求質(zhì)量 m，半徑 R 的球體對直徑的轉(zhuǎn)動慣量。分析：以距中心 ，厚 的球殼為質(zhì)元dmRo四、剛體轉(zhuǎn)動定律應(yīng)用舉例s1. 確定研究對象。s2. 受力分析，并求外力的力矩。s3. 列方程求解： 平動物體列牛頓定律方程 轉(zhuǎn)動剛體列轉(zhuǎn)動定律方程 角量與線量關(guān)系2022/7/2939例1，長為l、質(zhì)量為m 的細(xì)桿，初始時的角速度為 0，由于細(xì)桿與桌面的摩擦，經(jīng)過時間 t 后桿靜止，求摩擦力矩 M阻。已知細(xì)桿繞一端的轉(zhuǎn)動慣量2022/7/2940解：以細(xì)桿為研究對象，只有摩擦阻力產(chǎn)生力

12、矩。由勻變速轉(zhuǎn)動公式t秒后靜止，有得到因此，由轉(zhuǎn)動定律得2022/7/2941例題3-4，一半徑為R，質(zhì)量為m勻質(zhì)圓盤，平放在粗糙的水平桌面上。設(shè)盤與桌面間摩擦系數(shù)為，令圓盤最初以角速度0繞通過中心且垂直盤面的軸旋轉(zhuǎn)，問它經(jīng)過多少時間才停止轉(zhuǎn)動？rRdrde解：由于摩擦力不是集中作用于一點，而是分布在整個圓盤與桌子的接觸面上。在圖中，把圓盤分成許多環(huán)形質(zhì)元，每個質(zhì)元的質(zhì)量dm=rddre，所受到的阻力矩dM=rgdm 。此處e是盤的厚度。圓盤所受阻力矩就是因m=eR2，代入得根據(jù)定軸轉(zhuǎn)動定律，阻力矩使圓盤減速，即獲得負(fù)的角加速度。設(shè)圓盤經(jīng)過時間t停止轉(zhuǎn)動，則有得例2，質(zhì)量為m1和m2兩個物體，

13、跨在定滑輪上，m2 放在光滑的桌面上，滑輪半徑為R，質(zhì)量為M，求：m1 下落的加速度，和繩子的張力T1、T2。圓盤繞中心軸的轉(zhuǎn)動慣量T1T2m12022/7/2945解：受力分析以為研究對象 （1）以為研究對象 （2）以為研究對象（3）T1T1T2m12022/7/2946（4）聯(lián)立方程（1）-（4）求解，得討論：當(dāng) M=0時2022/7/2947m1m2T2T1T1T2G2G1aaam1m2阿特伍德機(jī)2022/7/2948 例題3-3，一輕繩跨過一定滑輪，滑輪視為圓盤，繩 的兩端分別懸有質(zhì)量為m1和m2的物體1和2，m1m1，物體1向上運(yùn)動，物體2向下運(yùn)動，滑輪以順時針方向旋轉(zhuǎn)，Mr的指向如

14、圖所示。由牛頓定律和轉(zhuǎn)動定律，有其中是滑輪的角加速度，a是物體的加速度?；嗊吘壣系那邢蚣铀俣群臀矬w的加速度相等。即T2T1T1T2G2G1aam1m2而當(dāng)不計滑輪質(zhì)量及摩擦阻力矩，即令m=0、M=0時，有該裝置叫阿特伍德機(jī)，是一種可用來測量重力加速度g的簡單裝置。因為在已知m1、 m2 、r和J的情況下，能通過實驗測出物體1和2的加速度a，再通過加速度把g算出來。在實驗中可使兩物體的m1和m2相近，從而使它們的加速度a和速度v都較小，這樣就能較精確地測出a來。一、力矩的功在力矩作用下，剛體繞Z軸轉(zhuǎn)過角，計算力矩所作的功。3-3 定軸轉(zhuǎn)動中的功能關(guān)系2022/7/2953力對剛體所作的功可用力

15、矩與剛體角位移乘積的積分來表示，叫做力矩的功。力矩的功率為：當(dāng)輸出功率一定時，力矩與角速度成反比。2022/7/29542022/7/2955二、剛體的轉(zhuǎn)動動能因此，整個剛體的動能為剛體的轉(zhuǎn)動動能是組成剛體的各個質(zhì)元的動能之和。設(shè)剛體中第i個質(zhì)元的質(zhì)量為 ，速度為 ,則該質(zhì)元的動能為：剛體做定軸轉(zhuǎn)動時，各質(zhì)元的角速度相同。設(shè)質(zhì)點 離軸的垂直距離為 ，則它的線速度三、定軸轉(zhuǎn)動的動能定理外力矩作的元功是若剛體的角速度由則總外力矩對剛體所作的功為：總外力矩對剛體所作的功等于剛體轉(zhuǎn)動動能的增量。剛體定軸轉(zhuǎn)動的動能定理。2022/7/2956四、剛體的重力勢能剛體的質(zhì)心的高度為：hhihcxOmCmi一

16、個質(zhì)元mi對質(zhì)量為m的整個剛體：一個不太大的剛體的重力勢能相當(dāng)于它的全部質(zhì)量都集中在質(zhì)心時所具有的勢能。2022/7/2957功能原理和機(jī)械能守恒定律對于既有平動物體又有定軸轉(zhuǎn)動物體組成的系統(tǒng)，功能原理仍然成立。系統(tǒng)的功能原理：系統(tǒng)在一個狀態(tài)變化到另一個狀態(tài)的過程中，其機(jī)械能的增量等于外力所作功和系統(tǒng)的非保守內(nèi)力所作功的代數(shù)和。如果在運(yùn)動過程中只有保守內(nèi)力作功,則此系統(tǒng)的機(jī)械能守恒。2022/7/2958例1，一個質(zhì)量為、半徑為的定滑輪（當(dāng)作均勻圓盤）上面繞有細(xì)繩，繩的一端固定在滑輪邊上，另一端掛一質(zhì)量為的物體而下垂。忽略軸處摩擦，求物體由靜止下落高度時的速度和此時滑輪的角速度。分析：系統(tǒng)：滑

17、輪M和物體m。 受力： 據(jù)機(jī)械能守恒定律：2022/7/2959求（1） 桿下擺 角后，角速度（2）軸對桿作用力解：研究對象：桿+地球 只有重力（保守內(nèi)力）作功， E 守恒。例2，均勻直桿質(zhì)量為m，長為l ，初始時水平靜止，AO =l/4 ，軸光滑，可以在豎直平面內(nèi)轉(zhuǎn)動。ABc2022/7/2960 2221wJEk=末態(tài)：qsinlmgEP42-=由平行軸定理，得ABc2022/7/2961()()得：由21(2)要求棒受軸的力，考慮質(zhì)心的運(yùn)動。由質(zhì)心運(yùn)動定理，得方向：l方向：tABcmgNNlNt2022/7/2962ABcmgNNlNt2022/7/2963由剛體轉(zhuǎn)動定律，得由（3）、（4）、（5）和（6）可解出：2022/7/2964例題3-5，沖床上配一個質(zhì)量為5000kg的飛輪，r1=0.3m， r2=0.2m。今用轉(zhuǎn)速為900r/min的電動機(jī)借皮帶傳動 來驅(qū)動飛輪，已知電動機(jī)的傳動軸直徑為d=10cm。 (1)求飛輪的轉(zhuǎn)動動能; (2)若沖床沖斷0.5mm厚的薄鋼片需用沖力9.80104N， 所消耗的能量全部由飛輪提供，問