在實際應用中柯西積分公式用途-正文

1、-. z柯西積分公式的應用：武小娜 班級：2014級數(shù)學教育 *：201430626摘要:闡述了柯西積分公式在解析函數(shù)理論中的重要地位,表達了各種不同表示形式的柯西積分公式和高階導數(shù)公式,并舉例說明了這些公式在積分計算中的應用.關鍵詞:解析函數(shù);復積分;柯西積分公式.1 前言實變函數(shù)與泛函分析是綜合性大學理工科的根底課程，其中柯西積分定理和柯西積分公式是根底，是關鍵，也是19實際最獨特的創(chuàng)造，是抽象科學中最和諧的理論之一許多重要的性質(zhì)定理由它們直接或者間接推導出來的柯西積分公式是復變函數(shù)的根本公式，是解析函數(shù)的一種積分表達式，它深刻地反映了解析函數(shù)在解析區(qū)域邊界值與部值的關系柯西積分公式的根本

2、理論和相關性質(zhì)已經(jīng)有了詳細而全面的闡述但柯西積分公式仍然存在一些有待解決和完善的方面有些理論的證明比擬復雜，為初學者帶來了諸多的不便；柯西積分公式只給出了求解光滑周線域的復積分方法；已經(jīng)證明了的理論給出的例題還不夠考慮到柯西積分公式是復變函數(shù)積分的根底，對其進展研究具有較強的理論意義和現(xiàn)實意義 通過閱讀大量的專著，期刊還有網(wǎng)上的資料，本文將對實變函數(shù)中的柯西積分公式和它的幾個重要的推論的意義及其性質(zhì)進展歸納總結，并舉出相應的例子，化抽象為具體；還將對柯西積分公式的使用條件和使用方法進展總結；然后總結歸納參考文獻中得到的結論，并試圖將歸納得到的這些結論做進一步的推廣；在論文的最后，會選取一些經(jīng)典

3、例題做供大家參考！為完本錢文我查閱大量的相關資料，力求把課本上的知識運用到實踐中去2 預備知識2.1 柯西積分定理 設函數(shù)在平面上的單連通區(qū)域解析，為任一條周線，則2.2 推廣的柯西積分定理 設是一條周線，為之部，函數(shù)在閉域上解析，則2.3 復周線柯西積分定理 設是有復周線所圍成的有界連通區(qū)域，函數(shù)在解析，在上連續(xù)，則2.4 柯西積分公式設區(qū)域的邊界是周線(或復周線)，函數(shù)在解析，在上連續(xù)，則有 ()3 柯西積分公式的推論3.1 解析函數(shù)平均值定理如果函數(shù)在解析，在閉圓上連續(xù)，則， 即在圓心的值等于它在圓周上的值的算術平均數(shù) 證：設表示圓周，則， 即 ， 由此 ， 根據(jù)柯西積分公式3.2 高階

4、導數(shù)公式設區(qū)域的邊界是周線(或復周線)，函數(shù)在解析，在上連續(xù)，則函數(shù)在區(qū)域有各階導數(shù)，并且有這是一個用解析函數(shù)的邊界值表示其各階導函數(shù)部值的積分公式 現(xiàn)行教材中，僅應用數(shù)學歸納法證明了它的特殊形式高階導數(shù)公式，而數(shù)學歸納法比擬繁瑣下面首先給出引理，然后利用該結論導出高階導數(shù)公式一種簡單的證明引理 設是一條可求長的曲線，是上的連續(xù)函數(shù)，對于每個自然數(shù)及復平面上的每個點，定義函數(shù)則每個在區(qū)域上解析，且證明：首先證明是區(qū)域上的連續(xù)函數(shù)，即要證明，對于的任意點，不管多么小，總存在，只要在的點，就有因為 (1) 所以 2因為在上連續(xù)，所以存在*個常數(shù)，使得對于上一切點，設與的距離為則對于任意及，有于是有

5、2得，其中為曲線的長令 取 則，當，就有其次證明在區(qū)域上解析，且滿足，在任取一點，設，由1得，因為，所以對于滿足不等式的每個，在上連續(xù)根據(jù)前一局部的證明，上式右邊的每個積分都在上定義了一個變量的連續(xù)函數(shù)，因此，當時的極限存在，即對于的一切均成立下面使用這個引理證明高階導數(shù)公式:證明：由柯西積分公式，對于的任意點，有，記根據(jù)引理，即 3.3 柯西不等式設函數(shù)在區(qū)域解析，為一點，以為心作圓周，只要及其部均含于，則有證：由上面的推導可由柯西積分公式得到高階導數(shù)公式，下面再有高階導數(shù)公式證明柯西不等式應用上面得到的定理，則有注：柯西不等式是對解析函數(shù)各階導數(shù)模的估計式，說明解析函數(shù)在解析點的各階導數(shù)的

6、估計與它的解析區(qū)域的大小密切相關3.4 維爾定理有界整函數(shù)必為常數(shù) 證：設的上界為，則在柯西不等式中，對無論什么樣的，均有于是命時有，上式對一切均成立，讓，即知，而是平面上任一點，故在平面上的導數(shù)為零，所以，必為常數(shù)3.5 摩勒拉定理假設函數(shù)在單連通區(qū)域連續(xù)，且對任一周線，有， 則在解析證：在假設條件下，即知在解析，且但解析函數(shù)的導函數(shù)還是解析的即是說在解析4 奇點在積分路徑上的柯西積分公式我們一般討論的復積分，要就被積函數(shù)在積分路徑上有界，并且奇點不在積分路徑上，這類積分可以直接套用柯西積分公式可求，如果積分路徑上存在奇點，就不滿足條件了，就不能直接用柯西積分公式了，此時一般用復積分概念，利

7、用極限來求解，但比擬復雜，甚至求不出結果下面結合Holder條件和奇異積分相關知識，對被積函數(shù)分析變形，針對奇點在積分路徑上的復積分得出一種新的求解公式定義1 設是復平面的簡單逐段光滑曲線，函數(shù)在上連續(xù)，在附近無界，在上的兩邊各取一點，假設存在，則稱此極限值是沿的奇異積分，記為定義2 設是復平面的簡單逐段光滑曲線，函數(shù)在上連續(xù)，在附近無界，以為心、充分小的正數(shù)為半徑做圓周，使它與的交點恰為，假設極限存在，則稱此極限值是沿的柯西主值積分，記為定理1 設施光滑曲線，取正向，假設滿足Holder條件，即其中都是實常數(shù)，是上任意兩點則稱柯西主值積分存在，且有證：又 其中為上任意連續(xù)分支，為當從沿變動到

8、時的幅角改變量，當即時，它的極限值為又因為滿足Holder條件，即而，則積分存在于是，得定理2 假設是簡單逐段光滑曲線，是以為邊界的有界單連通區(qū)域，在解析，在上連續(xù)，在的鄰域有為常數(shù) 則 證：以為心，充分小的為半徑作圓，在上取下一小段弧，在得到圓弧，取正向，有柯西積分定理 設的參數(shù)方程為 故 定理3 設區(qū)域的邊界是周線或復周線，在解析，在上連續(xù)，且在上滿足Holder條件，則有此式稱為在邊界上的柯西積分公式證：滿足Holder條件，則有則由定理1知：而于是由定理3得故有另外，當是復平面的簡單逐段光滑曲線，函數(shù)在上連續(xù)，在附近無界，以為心、充分小的正數(shù)為半徑做圓周，使它與的交點恰為，假設極限不一

9、定存在因此，此時的柯西積分主值不能確定，故此時在邊界上的柯西積分公式也不能確定5.3 柯西積分公式的方法與技巧 柯西積分公式是復積分根本公式，是解析函數(shù)的一種積分表達式，它深刻地反映了解析函數(shù)在解析區(qū)域邊界值與部值的關系解析函數(shù)的高階導數(shù)給我們一個利用導數(shù)來求積分的公式，是求沿閉曲線的積分更加簡潔而尤其重要的是，高階導數(shù)公式告訴我們：只要函數(shù)在處處可導解析，則它的各階導數(shù)在區(qū)域存在到此為止，我們已經(jīng)掌握了關于復積分計算的根本定理和公式因此，計算復積分不再是應用*一定理或*一公式，而往往是同時應用幾個定理或幾個公式，這就要求我們加強對綜合問題的分析、研究和求解能力的培養(yǎng)當被積函數(shù)為有理函數(shù)或被積

10、函數(shù)可化為分母為多項式的函數(shù)式，如果在封閉曲線含有分母的一個零點而分子在處處解析即對，或，在，而在處處解析，則可直接應用柯西積分公式或高階導數(shù)公式來計算積分而在有理函數(shù)情形，假設含有分母一個以上零點而分子解析，則要先將被積函數(shù)化為局部分式，然后依據(jù)具體問題是用恰當?shù)姆椒ㄈデ蠓e6 舉例應用 例1 計算積分 解：化為，即有奇點，作以和為心的位于的互不相交且互不包含的小圓周和，依復閉合定理與柯西積分公式，有例2 計算積分 1，2分析：1和2的主要區(qū)別在于積分路徑上是否存在奇點，1的結果很好求，符合積分定理的條件，可直接使用柯西積分定理2應為奇點在積分路徑上，所以就不能直接用柯西積分定理來求，但滿足定

11、理3條件，可利用定理3求值解1直接用柯西積分定理得2因為 又有柯西積分公式有 由定理3有 所以 例3 計算積分分析：此題如果用廣義積分來求解，計算繁冗，有一定難度，但通過變形，轉(zhuǎn)化為復數(shù)，利用定理3求解就簡單多了解：其中經(jīng)過定積分的計算可以得到積分 設，滿足Holder條件，且的奇點在積分路徑上，由定理3得其中是連接和的一段弧，則是閉曲線 由約當引理知所以 參考文獻 1 鐘玉泉.復變函數(shù)論M.:高等教育,2009 2 清華,昊.復變函數(shù)容、方法和技巧M.:華中科技大學,2003 3 交大.復變函數(shù)第四版M.:高等教育,2007 4 麗,偉偉.柯西積分公式的應用J.師?？茖W校學報.2006,22 (3):65-67 5易才鳳,恒毅.柯西積分公式及其在積分中的應用J.師大學學報.2010,34 (1):5-7,12 6 邱雙月.復積分的計算J.學院學報.2009,19 (3):57-60 7 朱茱,敏.在積分路徑上的柯西積分公式J.師學院學報.2004,21 (4):60-63 8 完巧玲.周線上復積分的幾種算法J.隴東學院學報.2010,21 (2):7-99 慶.Cauchy積分公式及其應用J.師專學報.2000,22 (2):27-2810 冬玲.復