數學模型分形簡介

1、數學模型 分形(fn xn)簡介北京理工大學 王宏洲共四十七頁大自然的不規(guī)則性：樹木花草、山川河流、煙霧云彩等是不規(guī)則的。晶體(jngt)的生長，分子的運動軌跡等也是不規(guī)則的。如何用幾何來描述它？B. Mandelbrot 觀察到英國海岸線與Van Koch 曲線的關系，提出了一門描述大自然的幾何形態(tài)的學科-分形(Fractal)：英國的海岸線有多長？一、分形(fn xn)簡介1、分形的起源共四十七頁 分形的特性 1、具有無限精細的結構 2、局部與整體的相似性 3、具有非拓撲維數，并且它大于對應的 拓撲維數 4、具有隨機性 5、在大多數情況下，分形可以用非常 簡單的方法確定(qudng)，可能

2、由迭代產生。 共四十七頁 分形的應用領域 1、數學：動力系統 2、物理：布朗運動，流體力學中的湍流 3、化學：酶的構造， 4、生物：細胞的生長(shngzhng) 5、地質：地質構造 6、天文：土星上的光環(huán) 其他：計算機，經濟，社會，藝術等等共四十七頁2、圖形迭代(di di)生成分形給定初始圖形 ，依照某一規(guī)則 對圖形反復(fnf)作用 得到圖形序列 其極限圖形是分形，作用規(guī)則 稱為生成元。 共四十七頁例如，Cantor 集的生成元是Van Koch 雪花(xuhu)曲線的生成元是共四十七頁Minkowski “香腸(xingchng)”共四十七頁Sierpinski地毯(dtn)共四十七頁

3、花草樹木(L系統(xtng)）生物學家Lindenmayer提出。一個L系統可表示為一個有序的三元素集合：其中：V是一些(yxi)運動過程集合， w是初始形狀， P是生成式。例如，F表示向前距離d, +表示左轉彎a, -表示右轉彎，表示壓棧，表示出棧。共四十七頁花草樹木(L 系統(xtng)）共四十七頁共四十七頁共四十七頁3、函數迭代(di di)產生的分形Z表示復數，在復平面上定義函數f(Z)。任意給定初始復數值 ，定義復數序列(xli)對于什么樣的初始值 ，復數序列收斂或有界？共四十七頁 Julia集 考慮復變函數迭代(di di)固定復參數 c，使得迭代序列有界的初值 在復平面上的分布圖

4、形稱為Julia集，亦即 迭代序列 有界共四十七頁 Mandelbrot集 固定初值 ，使得迭代(di di)序列（2）有界的參數 c 在復平面上的分布圖形稱為 Mandelbrot集。即 迭代序列 有界 記 則（2）變?yōu)楣菜氖唔?Julia 集的繪制方法：1、設定初值 p,q, 最大的迭代次數 N, 圖形的大小 a,b, 及使用的顏色數 K.2、設定區(qū)域的界值 3、將區(qū)域 分成 的網格，分別以每個網格點為初值 利用（3）做迭代。如果(rgu)對所有的 都有 ，則將象素(i, j) 置為黑色。如果從某一步 n 開始，則將象素 (i,j)置為顏色 n mod K。共四十七頁Julia 集共四十

5、七頁Mandelbrot集共四十七頁、IFS迭代(di di)產生分形混沌游戲給定(i dn)平面上三點A, B, C。再任意給定初始點 , 做下列迭代當擲出的硬幣呈正面當擲出的硬幣呈反面當擲出的硬幣呈側面按上述方式迭代數百次，呈現極不規(guī)則的圖形。故稱為混沌游戲。共四十七頁 IFS迭代 IFS-Iterated Function System 取定 n 個仿射變換以及 n 個概率 任給初值 ，以概率 選取變換 進行(jnxng)迭代 則點集 的聚點集合稱為一個IFS吸引子。共四十七頁 用IFS繪制分形的方法、設圖形可視區(qū)域為假設采用L 級灰度的圖像繪制，總迭代次數為N。、將 V 分成(fn c

6、hn) 的網格，格點為 用 表示矩形區(qū)域。用表示在N次迭代中落入 中點的個數。記 則象素 (i,j)的灰度為共四十七頁共四十七頁5、一些分形(fn xn)圖片共四十七頁共四十七頁分形(fn xn)并不只是能產生一些毫無意義的怪異曲線！共四十七頁關鍵如何去設計迭代方式和過程，分形就能描繪出與現實世界(shji)驚人相似的圖像！共四十七頁三、分形(fn xn)的應用歐幾里得幾何學它無法描寫大自然中的云彩 、山嶺、海岸線或樹木的形狀。云彩不是球體，山嶺不是錐體，海岸線不是圓周，樹皮并不 光滑，閃電更不是沿著直線傳播的。 自然界的許多圖樣都是如此地不規(guī)則和支離破碎。這些圖樣的存在，使我們去探索那些被歐

7、幾里得認為是“無形狀可言的 ”形狀，去研究“無定形”的形態(tài)學。于是(ysh)就產生了分形幾何學。共四十七頁自然界中的分形(fn xn)幾何分形幾何學它描述了大自然和我們周圍的許多不規(guī)則和支離破碎的形狀.分形理論是一門交叉性的學科，從振動力學到流體力學、天文學和計算機圖形學，從分子生物學到生理學、生物形態(tài)學，從材料科學到地球科學、地理(dl)科學，從經濟學到語言學、 社會學等等，都與分形融合與關聯。分形理論對方法論和自然觀產生了強烈影響，從分形的觀點看世界，我們發(fā)現，這個世界是以分形的方式存在和演化著的.共四十七頁自然界中的分形(fn xn)幾何自然界存在(cnzi)的一些形狀及其結構諸如星系、

8、閃電、泥裂、材料斷口、水系、晶簇、蜂窩石、小麥須根系、樹冠、支氣管、小腸絨毛、大腦皮層等等。盡是分形。共四十七頁自然界中的分形(fn xn)幾何我們周圍見到的最不規(guī)則而復雜的現象：山巒和云團的外形，星系在宇宙中的分布，金融市場價格的起伏等，獲取這種數學描述的一條途徑在于找到“模型”。需構想或發(fā)現一些數學規(guī)則，使之能對實現的某些部分做“數學上的偽造”做成山巒或云團的照片、最深層空間的天體圖、報紙金融版的圖表等。這些現象需要的幾何遠遠不是三角形和圓。它們需要非歐幾里得結構(jigu)特別是需要分形幾何學。分形幾何它與歐幾里得幾何相反，是沒有規(guī)則的。它們處處無規(guī)則。而在各種尺度上都有同樣程度的不規(guī)則

9、性。不論從遠處觀察，還是從近處觀察，分形客體看起來一個模樣自相似。整體中的小塊，從遠處看是不成形的小點，近處看則發(fā)現它變得輪廓分明，其外形大致和以前觀察的整體形狀相似。共四十七頁自然界中的分形(fn xn)幾何自然界提供了許多分形實例。例如，羊齒植物、菜花和硬花甘蘭，以及許多其他植物，它們的每一分支和嫩枝都與其整體非常相似。其生成規(guī)則保證(bozhng)了小尺度上的特征成長后就變成大尺度上的特征。分形能偽造海岸線、山巒和云團。以致用分形制作星際旅行II那樣的影片的一些場景。 “云團不是球形，山巒不是錐形，海岸線不是圓的，樹皮不是光的，閃電不會沿直線行進”。所有這些自然結構都具有不規(guī)則形狀，它們

10、是自相似的。其部分放大便能進一步揭示其深層結構。 共四十七頁自然界中的分形(fn xn)幾何模型所建立的簡單的幾何結構，其與所生成的自然結構特征相同。從山巒的分形模擬方法產生一種理論，以描述地球表面的地勢(dsh)起伏。共四十七頁自然界中的分形(fn xn)英國的海岸線有多長？1967年Mandelbrot提出了“英國的海岸線有多長？”的問題。長度與測量單位有關，以1km為單位測量海岸線，就會將短于1km的迂回曲折長度忽略掉；若以1m為單位測量，則能測出被忽略掉的迂回曲折，長度將變大；若測量單位進一步地變小，測得的長度就會愈來愈大，這些愈來愈大的長度將趨近于一個確定值，這個極限值就是海岸線的長

11、度。Mandelbrot發(fā)現：當測量單位變小時，所得的長度是無限增大的。他認為海岸線的長度是不確定的，或者說，在一定意義上海岸線是無限長的。這就是因為海岸線是極不規(guī)則和極不光滑的。我們知道，經典幾何研究規(guī)則圖形，平面解析幾何研究一次和二次曲線，微分幾何研究光滑的曲線和曲面，傳統上將自然界大量存在的不規(guī)則形體(xngt)規(guī)則化再進行處理，我們將海岸線折線化，得出一個有意義的長度。共四十七頁英國(yn u)的海岸線有多長？Mandelbrot突破了這一點，長度也許已不能正確概括海岸線這類不規(guī)則圖形的特征。海岸線雖然很復雜，卻有一個重要(zhngyo)的性質自相似性。從不同比例尺的地形圖上，我們可以

12、看出海岸線的形狀大體相同，其曲折、復雜程度是相似的。海岸線的任一小部分都包含有與整體相同的相似的細節(jié)。共四十七頁自然界中的分形(fn xn)分形在自然界中普遍存在.大自然豐富多彩的面貌,人類社會中普遍存在的各種不規(guī)則現象，如流體湍動、曲折的海岸線、多變的天氣、動蕩的股市、經濟收入分配關系、棉花的價格波動等等。 Mandelbrot試圖通過分形幾何學統一去描述自然界和社會的一切現象.分形是一個新的數學領域-有時也把它歸為自然界的幾何，因為這些奇異而混沌的形狀，不僅描繪了諸如地震、樹、樹枝、小麥(xiomi)根系、海岸線等自然現象，而且在生物醫(yī)學,天文、經濟、氣象、電影制片等方面也有廣泛應用。共四

13、十七頁自然界的樹并不能沒有限制地分叉，整個樹木也不會是所謂超級樹的一部分。宇宙中星系的分布可能相反。能看到的小尺度的星系可延伸到1500萬到3000萬光年之遙。但仍然存在著尺度超過30000萬光年的大空白區(qū)。應用分形最活躍的領域是在物理學和生命科學.它們已幫助處理了一些非常老的問題(wnt)，也解決了某些嶄新的困難問題(wnt)。自然界中的分形(fn xn)共四十七頁生命作為自然界最復雜的存在方式，必然有分形的參與。生命現象從宏觀到微觀的各個層次，都存在著分形現象。分形還全面體現在生物的生化組成、生理、病理(bngl)、形態(tài)等各個方面。這種現象絕非偶然，而是與生命的本質與特征密切相關。分形在生

14、物醫(yī)學圖像領域里的應用研究異?；钴S。分形(fn xn)與生命共四十七頁分形(fn xn)的應用分形分維的經絡形態(tài)及解剖結構肝臟超聲圖像分形特性的研究分形理論在醫(yī)學(yxu)圖像邊緣增強和檢測中的應用研究分形幾何在醫(yī)學圖像處理中的應用分形與經濟學分形與氣象學分形音樂共四十七頁分形(fn xn)音樂如果我們把一首音樂的音符音階隨時間(shjin)的變化看成一種波動，則音樂可歸入科學中的噪音范疇?？茖W中的噪音的定義是指任何量隨時間(shjin)t的不可預測的變化?，F已發(fā)現每一種噪音的跟蹤軌跡都是一條分形曲線。音樂它的波動既有隨機性又有一定的相關性，音樂往往會給人一種悅耳的感覺。研究發(fā)現：幾乎所有的音

15、樂節(jié)律都模仿一種噪音。共四十七頁分形(fn xn)音樂分形音樂是分形藝術的一個重要部分，分形音樂是由一個算法的多重迭代而產生。利用分形幾何的自相似特性來建構一些帶有自相似小段的合成音樂。主題在帶有小調的多次的返復循環(huán)中重復(chngf)，在節(jié)奏方面加上一些隨機變化，所創(chuàng)造的效果，無論在宏觀上還是在微觀上都能逼真地模仿真正的音樂。有人把著名的曼德勃羅集轉化為音樂，取名為傾聽曼德勃羅集（Hearing the Mandelbrot Set），他們在曼德勃羅集上掃描，將其得到的數據轉換成鋼琴鍵盤上的音調，從而用音樂的方式表現出曼德勃羅集的結構，極具音樂表現力。共四十七頁分形在數字全息(qunx)顯示

16、中的應用數字點陣全息圖 分形(fn xn)圖的編碼共四十七頁數字(shz)點陣全息圖數字點陣全息圖是由計算機控制的激光光束干涉點陣刻蝕而成.它是依賴計算機產生圖形并通過計算機精密地控制(kngzh)干涉激光束在記錄介質上刻蝕點陣衍射光柵來實現。應用混沌和分形的理論，以帶有無限變量重復碼的方式來產生一系列類似于萬花筒中觀察到的隨機花樣的圖案 - 分形圖像和探索應用分形圖像制作數字像元全息圖時逐點的仿射對應關系。共四十七頁光柵(gungshn)點的編碼這種標志的圖案是由一些極小的光柵(gungshn)點（約幾十至一百微米左右）組成的，而每一個光柵點又包含非常微細的光柵（小于一微米），在制作過程中，

17、電腦按制作要求對光柵點逐點進行編碼使每一個點上的光柵的方向或密度發(fā)生變化從而達到預定的視覺效果；對光柵點的編碼方式和方法是根據圖案的具體設計而定，他人極難模仿。譬如以分辨率為300dpi制作的圖案，在一平方厘米的面積內就接近有1.4萬個光柵點，除了圖案的設計，若要仿制出同樣視覺效果的圖案必須要求這1.4萬個光柵點的編碼要與原圖案一致。共四十七頁分形圖案(t n)與點陣全息圖刻蝕分形圖案的設計分形圖案是在所編制的專用電腦程序上輸入有關的數據(shj)通過某一種算法來產生的在自然界并不存在但卻非常奇異和富有裝飾性的圖案。共四十七頁分形(fn xn)圖案分形圖案可以用點陣全息技術(jsh)制作成為全息圖的一部分或整體，也可以疊加在原注冊商標上作為背景圖案，由此而制成的標志具有極好的防偽性能，只要我們保留這些數據不外泄，任何人都不能產生相同或相類似的分形圖案。另外，用點陣分形全息術制作的全息圖案，由于其特性所決定不能通過照相、復印或電腦掃描等手段來復制。 共四十七頁共四十七頁內容摘要數學模型 分形簡介。其他：計算機，