2022年新高考數(shù)學二輪提升數(shù)列專題第24講《數(shù)列的文化類問題》（解析版）

1、第24講 數(shù)列的文化類問題 一、單選題1（2021內(nèi)蒙古包頭一模（文）在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學文化是其中的一朵絢麗的奇葩張丘建算經(jīng)是我國古代有標志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“今有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹4丈，1丈10尺，若這個月有30天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，對于數(shù)列，則（ ）ABCD【答案】C【分析】根據(jù)等

2、差數(shù)列前項和公式可求得每天織布數(shù)所成等差數(shù)列的公差，由等差數(shù)列通項公式得到和，作比即可得到結(jié)果.【詳解】由題意知：一個月共織了尺布，且每天的織布數(shù)成等差數(shù)列，設(shè)公差為，解得：，.故選：C.2（2021全國高三專題練習）十二平均律是我國明代音樂理論家和數(shù)學家朱載堉發(fā)明的.明萬歷十二年(公元1584年)，他寫成律學新說，提出了十二平均律的理論.十二平均律的數(shù)學意義是：在1和2之間插入11個正數(shù)，使包含1和2的這13個數(shù)依次成遞增的等比數(shù)列.依此規(guī)則，插入的第四個數(shù)應(yīng)為（ ）ABCD【答案】C【分析】先求出等比數(shù)列的公比，再由等比數(shù)列的通項公式即可求解.【詳解】用表示這個數(shù)列，依題意，則，第四個數(shù)即

3、.故選：C.3（2021河北高三月考）高斯，德國著名數(shù)學家、物理學家、天文學家、大地測量學家，近代數(shù)學奠基者之一高斯被認為是歷史上最重要的數(shù)學家之一，并享有“數(shù)學王子”之稱，高斯在幼年時首先使用了倒序相加法，人們因此受到啟發(fā)，創(chuàng)造了等差數(shù)列前n項和公式，已知等差數(shù)列的前n項和為，則n的值為（ ）A8B11C13D17【答案】D【分析】由題意可得，兩式相加可得，然后代入中可得答案.【詳解】根據(jù)題意，即，兩式相加得到所以，故選：D4（2021福建寧德市第九中學高二月考）“楊輝三角”是中國古代重要的數(shù)學成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早了300多年，如圖是由“楊輝三角”拓展而成的三角形數(shù)陣，記為圖中

4、虛線上的數(shù)1，3，6，10，構(gòu)成的數(shù)列的第項，則的值為（ ）A208B105C120D210【答案】C【分析】通過觀察法可得，再利用累加法求出通項公式即可計算的值.【詳解】依題意，于是有，則當時，而滿足上式，因此，所以.故選：C5（2021寧夏六盤山高級中學高二月考（理）算法統(tǒng)宗是我國中國古代數(shù)學名著，由明代數(shù)學家程大位編著，它對中國民間普及珠算和數(shù)學知識起到了很大的作用.在這部著作中，許多數(shù)學問題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，如“九兒問甲歌”就是其中一首：一個公公九個兒，若問生年總不知，自長排來差三歲，共年二百又零七，借問長兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推.在這個問題中，記這位公公的第個兒子的年齡為則（ ）

5、ABCD【答案】C【分析】由題意，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，然后結(jié)合等差數(shù)列的求和公式，求得的值，進而求得的值，得到答案.【詳解】由題意，數(shù)列是以為公差的等差數(shù)列，因為，解得，所以.故選：C.6（2021全國高三專題練習）我國古代數(shù)學名著算法統(tǒng)宗是明代數(shù)學家程大位（1533-1606年）所著程少年時，讀書極為廣博，對書法和數(shù)學頗感興趣20歲起便在長江中下游一帶經(jīng)商，因商業(yè)計算的需要，他隨時留心數(shù)學，遍訪名師，搜集很多數(shù)學書籍，刻苦鉆研，時有心得，終于在他60歲時，完成了算法統(tǒng)宗這本著作該書中有如下問題：“遠望巍巍塔七層，紅光點點倍加增，共燈三百八十一，請問尖頭幾盞燈？根據(jù)詩詞的意思，可得塔的最

6、底層共有燈（ ）A192盞B128盞C3盞D1盞【答案】A【分析】設(shè)這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，再結(jié)合等比數(shù)列前項和公式計算即可.【詳解】設(shè)這個塔頂層有盞燈，則問題等價于一個首項為，公比為2的等比數(shù)列的前7項和為381，所以，解得，所以這個塔的最底層有盞燈故選：A7（2021河南洛陽高二月考（文）十九世紀下半葉集合論的創(chuàng)立，莫定了現(xiàn)代數(shù)學的基礎(chǔ)著名的“康托三分集”是數(shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典型的分形特征，其操作過程如下：將閉區(qū)間均分為三段，去掉中間的區(qū)間段，記為第一次操作；再將剩下的兩個區(qū)間，分別均分為三段，并各自去掉中間的區(qū)間段，記為第

7、二次操作；，如此這樣，每次在上一次操作的基礎(chǔ)上，將剩下的各個區(qū)間分別均分為三段，同樣各自去掉中間的區(qū)間段操作過程不斷地進行下去，以至無窮，剩下的區(qū)間集合即是“康托三分集”若使去掉的各區(qū)間長度之和不小于8，則需要操作的次數(shù)的最小值為（ ）參考數(shù)據(jù)：A4B5C6D7【答案】C【分析】由題意，先求出前幾次操作去掉的區(qū)間長度，然后總結(jié)出第次操作去掉的區(qū)間的長度為，把次操作去掉的區(qū)間的長度之和轉(zhuǎn)化為求等比數(shù)列的前項和，再求解不等式即可.【詳解】解：記為第次去掉的長度，剩下兩條長度為的線段，第二次去掉的線段長為，第次操作后有條線段，每條線段長度為，因此第次去掉的線段長度為，所以，不等式兩邊同取常用對數(shù)有：

8、，則，所以的最小值為6故選：C8（2021全國高二課時練習）“手指推大廈”是科技館中常見的一個游戲，只需用很小的力就能推倒巨大的骨牌，體現(xiàn)了“多米諾骨牌效應(yīng)”的科學原理.已知“手指推大廈”所用骨牌滿足的數(shù)學表達式是，其中為第塊骨牌的體積（或質(zhì)量），為第1塊骨牌的體積（或質(zhì)量），為后一塊骨牌與其前一塊骨牌的體積（或質(zhì)量）的比值.現(xiàn)在有，兩副質(zhì)地不同的骨牌，它們第一塊骨牌的體積不相同，但值相同，記，分別是，兩副骨牌第塊的體積，已知，則的值是（ ）A5B4C3D2【答案】D【分析】由題意可得，解方程組，結(jié)合題設(shè)即可求解【詳解】由題可知，和組成的數(shù)列都是以為公比的等比數(shù)列.由題意可列出如下的方程：，由

9、可得，由可得，由可得，由得，所以，即.因為，和都是整數(shù)，所以符合條件的解只有，這一組.綜上所述，故選：D.9（2021江蘇高二專題練習）九章算術(shù)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著，書中有如下問題：“今有女子善織，日益功，疾，初日織五尺，今一月織七匹三丈(1匹=40尺，一丈=10尺)，問日益幾何？”其意思為：“有一女子擅長織布，每天比前一天更加用功，織布的速度也越來越快，從第二天起，每天比前一天多織相同量的布，第一天織5尺，一月織了七匹三丈，問每天增加多少尺布？”若這一個月有31天，記該女子一個月中的第n天所織布的尺數(shù)為，則的值為（ ）ABCD15【答案】A【分析】由題意可得：每天織布的量組成了等

10、差數(shù)列，設(shè)公差為（尺，運用等差數(shù)列的通項公式和的求和公式即可得出【詳解】解：由題意可得：每天織布的量組成了等差數(shù)列，（尺，（尺，設(shè)公差為（尺，則故選：A二、多選題10（2021江蘇高二專題練習）在悠久燦爛的中國古代文化中，數(shù)學文化是其中的一朵絢麗的奇葩.張丘建算經(jīng)是我國古代有標志性的內(nèi)容豐富的眾多數(shù)學名著之一，大約創(chuàng)作于公元五世紀.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月織九匹三丈，問日益幾何？”.其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了九匹三丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”.已知

11、1匹丈，1丈尺，若這一個月有30天，記該女子這一個月中的第天所織布的尺數(shù)為，對于數(shù)列、，下列選項中正確的為（ ）AB是等比數(shù)列CD【答案】BD【分析】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，通過分析條件得到，可得到數(shù)列是等比數(shù)列故B正確；根據(jù)數(shù)列的通項公式可推導出AC是錯誤的；根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)以及數(shù)列通項公式得到D是正確的.【詳解】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，由題意可得，解得，（非零常數(shù)），則數(shù)列是等比數(shù)列，B選項正確；，A選項錯誤；，C選項錯誤；，所以，D選項正確；故選：BD.11（2021江蘇高二單元測試）我國天文學和數(shù)學著作周髀算經(jīng)中記載：一年有二十四個節(jié)氣，每個節(jié)氣的晷長損益相同（

12、晷是按照日影測定時刻的儀器，晷長即為所測量影子的長度）.二十四節(jié)氣及晷長變化如圖所示，相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量相同，周而復始.已知每年冬至的晷長為一丈三尺五寸，夏至的晷長為一尺五寸（一丈等于十尺，一尺等于十寸），則下列說法正確的是（ ）A相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為一尺B春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同C小雪的晷長為一丈五寸D立春的晷長比立秋的晷長短【答案】AB【分析】根據(jù)題意得到由夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，由冬至到夏至的晷長也構(gòu)成等差數(shù)列，進而所處首項和公差，利用等差數(shù)列的基本量運算進而判斷每個答案.【詳解】現(xiàn)以寸為單位，由題意可知，由夏至到冬至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中，公差.同理

13、可得，由冬至到夏至的晷長構(gòu)成等差數(shù)列，其中，公差，故相鄰兩個節(jié)氣晷長減少或增加的量為十寸，即一尺，故選項A正確；因為春分的晷長為，所以，因為秋分的晷長為，所以，故春分和秋分兩個節(jié)氣的晷長相同，故選項B正確；因為小雪的晷長為，所以，即一丈一尺五寸，故小雪的晷長為一丈一尺五寸，故選項C錯誤；因為立春的晷長和立秋的晷長分別為，所以，故立春的晷長比立秋的晷長長，故選項D錯誤.故選：AB.12（2021全國高二課時練習）張丘建算經(jīng)是中國古代眾多數(shù)學名著之一.書中有如下問題：“今有女善織，日益功疾，初日織五尺，今一月日織九匹三丈，問日益幾何？”其大意為：“有一女子擅長織布，織布的速度一天比一天快，從第二天

14、起，每天比前一天多織相同數(shù)量的布，第一天織5尺，一個月共織了9匹3丈，問從第二天起，每天比前一天多織多少尺布？”已知1匹丈，1丈尺，若這個月有30天，記該女子這個月中第天所織布的尺數(shù)為，則（ ）AB數(shù)列是等比數(shù)列CD【答案】BD【分析】利用等差數(shù)列前項和公式列方程，由此求得，進而求得.由此對選項逐一分析從而確定正確選項.【詳解】由題意可知，數(shù)列為等差數(shù)列，設(shè)數(shù)列的公差為，首項，則，解得，.，數(shù)列是等比數(shù)列，B選項正確；，A選項錯誤；，C選項錯誤；，D選項正確.故選：BD.13（2021江蘇海安高級中學高二期中）根據(jù)中國古代重要的數(shù)學著作孫子算經(jīng)記載，我國古代諸侯的等級自低到高分為：男、子、伯、

15、侯、公五個等級，現(xiàn)有每個級別的諸侯各一人，君王要把50處領(lǐng)地全部分給5位諸侯，要求每位諸侯都分到領(lǐng)地且級別每高一級就多分處（為正整數(shù)），按這種分法，下列結(jié)論正確的是（ ）A為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是B為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是C為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是1D為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是【答案】ACD【分析】由題意可知，五位諸侯分得的領(lǐng)地成等差數(shù)列，利用等差數(shù)列前項和公式得到的首項和公差，再分類討論分別求出每種情況中男、子、伯、侯、公五個等級分到的領(lǐng)地數(shù)，再利用概率對四個選項逐一分析，即可得正確選項.【詳解】由題意可知，五位諸侯分得的

16、領(lǐng)地成等差數(shù)列，設(shè)其前項和為，則，得因為，均為正整數(shù)，所以有如下幾種情況：，共4種情況，每種情況各位諸侯分到領(lǐng)地的處數(shù)如下表所列：男子伯侯公， 89101112，68101214，47101316，26101418由表中數(shù)據(jù)可知：為“男”的諸侯分到的領(lǐng)地不大于6處的概率是；故選項A正確；為“子”的諸侯分到的領(lǐng)地不小于6處的概率是；故選項B不正確；為“伯”的諸侯分到的領(lǐng)地恰好為10處的概率是；故選項C正確；為“公”的諸侯恰好分到16處領(lǐng)地的概率是，故選項D正確；故選：ACD14（2021重慶西南大學附中高三開學考試）“內(nèi)卷”是指一類文化模式達到最終的形態(tài)以后，既沒有辦法穩(wěn)定下來，也沒有辦法轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

17、新的形態(tài)，而只能不斷地在內(nèi)部變得更加復雜的現(xiàn)象，熱愛數(shù)學的小明由此想到了數(shù)學中的螺旋線連接嵌套的各個正方形的頂點就得到了近似于螺旋線的美麗圖案，具體作法是：在邊長為1的正方形ABCD中，作它的內(nèi)接正方形EFGH，且使得BEF=15；再作正方形EFGH的內(nèi)接正方形MNPQ，且使得FMN=15；依次進行下去，就形成了陰影部分的圖案，如圖所示設(shè)第n個正方形的邊長為（其中第1個正方形ABCD的邊長為，第2個正方形EFGH的邊長為，），第n個直角三角形（陰影部分）的面積為（其中第1個直角三角形AEH的面積為，第2個直角三角形EQM的面積為，），則（ ）A數(shù)列是公比為的等比數(shù)列BC數(shù)列是公比為的等比數(shù)列D

18、數(shù)列的前n項和【答案】BD【分析】應(yīng)用勾股定理、三角函數(shù)得到此過程中前后兩個正方形的邊長關(guān)系，即可知A、C正誤，并寫出的通項公式，進而求通項公式，即知B、D正誤.【詳解】由題設(shè)，若，則，即，即，故，B正確；，以此類推可得， 是公比為的等比數(shù)列且，A、C錯誤；由圖知：，而，故，D正確.故選：BD15（2021廣東珠海二模）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的，一個數(shù)學意義上的分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng).下面我們用分形的方法得到一系列圖形，如圖1，在長度為的線段上取兩個點、，使得，以為邊在線段的上方

19、做一個正方形，然后擦掉，就得到圖形2；對圖形2中的最上方的線段作同樣的操作，得到圖形3；依次類推，我們就得到以下的一系列圖形設(shè)圖1，圖2，圖3，圖，各圖中的線段長度和為，數(shù)列的前項和為，則（ ）A數(shù)列是等比數(shù)列BC恒成立D存在正數(shù)，使得恒成立【答案】BC【分析】推導出，利用累加法求出數(shù)列的通項公式，可判斷AC選項正誤，利用分組求和法可判斷B選項的正誤，利用數(shù)列的單調(diào)性可判斷D選項的正誤.【詳解】由題意可得，以此類推可得，則，所以，所以，數(shù)列不是等比數(shù)列，A選項錯誤；對于B選項，B選項正確；對于C選項，恒成立，C選項正確；對于D選項，恒成立，則數(shù)列單調(diào)遞增，所以，數(shù)列無最大值，因此，不存在正數(shù)，

20、使得，D選項錯誤.故選：BC.【點睛】方法點睛：已知數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式的典型方法：（1）當出現(xiàn)時，構(gòu)造等差數(shù)列；（2）當出現(xiàn)時，構(gòu)造等比數(shù)列；（3）當出現(xiàn)時，用累加法求解；（4）當出現(xiàn)時，用累乘法求解.16（2021全國模擬預(yù)測）斐波那契數(shù)列，又稱黃金分割數(shù)列，它在很多方面與大自然神奇地契合，小到地球上的動植物，如向日葵、松果、海螺的成長過程，大到海浪、颶風、宇宙星系演變，都遵循著這個規(guī)律，人們親切地稱斐波那契數(shù)列為自然界的“數(shù)學之美”，在數(shù)學上斐波那契數(shù)列一般以遞推的方式被定義：，則（ ）ABC是等比數(shù)列D設(shè)，則【答案】ABC【分析】對A，根據(jù)遞推關(guān)系直接計算即可；對B，利用數(shù)學歸納法

21、證明；對C，根據(jù)等比數(shù)列的定義直接化簡計算可得；對C，得出，根據(jù)可判斷.【詳解】對A，故A正確；對B，假設(shè)成立，當時，成立，設(shè)時成立，即，則當時，假設(shè)成立，故B正確；對C，是等比數(shù)列，故C正確；對D，同理，因為斐波那契數(shù)列滿足，即，故D錯誤.故選：ABC.【點睛】關(guān)鍵點睛：本題考查斐波那契數(shù)列，解題的關(guān)鍵是根據(jù)遞推關(guān)系正確化簡.三、填空題17（2021全國高三專題練習）數(shù)學中有各式各樣富含詩意的曲線，螺旋線就是其中比較特別的一類螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”小明對螺旋線有著濃厚的興趣，用以下方法畫出了如圖所示的螺旋線具體作法是：先作邊長為1的正三角形ABC，分別記射線

22、AC，BA，CB為，以C為圓心、CB為半徑作劣弧交于點；以A為圓心、為半徑作劣弧交于點；以B為圓心、為半徑作劣弧交于點，依此規(guī)律，就得到了一系列圓弧形成的螺旋線記劣弧的長，劣弧的長，劣弧的長，依次為，則_【答案】【分析】根據(jù)給定條件，確定這些劣弧的半徑從小到大排成一列得等差數(shù)列，再利用前n項和公式計算即得.【詳解】依題意，這些劣弧的半徑從小到大排成一列得等差數(shù)列，首項為1，公差為1，則第n個劣弧的半徑長為n， 因每個劣弧的圓心角均為，于是得第n個劣弧的弧長，所以故答案為：18（2021江蘇南通模擬預(yù)測）孫子算經(jīng)是我國南北朝時期（公元5世紀）的數(shù)學著作在孫子算經(jīng)中有“物不知數(shù)”問題：一個整數(shù)除以

23、三余二，除以五余三，求這個整數(shù)設(shè)這個整數(shù)為a，當時，則符合條件的所有a的和為_【答案】8184【分析】由題設(shè)a=3m+2=5n+3, m, nN*，則3m=5n+1，對m分類分析，可知m=5k十2，得到a=15k+8，kZ，由a1,500求得a的取值，再由等差數(shù)列的前n項和求得答案.【詳解】由題意知，a=3m+2=5n+3, m, nN*，則時，不存在；當時，不存在，當時，滿足題意；當時，不存在當時，不存在，故，則共33個數(shù)，且這些數(shù)構(gòu)成以8為首項，15為公差的等差數(shù)列， 這33個數(shù)的和為.故答案為：818419（2021貴州貴陽高三開學考試（文）“康托爾塵?！笔菙?shù)學理性思維的構(gòu)造產(chǎn)物，具有典

24、型的分形特征，其操作過程如下：在一個單位正方形中，首先，將正方形等分成個邊長為的小正方形，保留靠角的個小正方形，記個小正方形的面積和為；然后，將剩余的個小正方形分別繼續(xù)等分，分別保留靠角的個小正方形，記所得的個小正方形的面積和為；操作過程不斷地進行下去，以至無窮，保留的圖形稱為康托爾塵埃若，則需要操作的次數(shù)的最小值為_【答案】【分析】分別求出，進而可得，可得是等比數(shù)列，再利用等邊數(shù)列求和公式求，利用單調(diào)性解不等式即可得答案.【詳解】是個邊長為的小正方形面積之和，所以 ，是個邊長為的小正方形面積之和，所以；是個邊長為的小正方形面積之和，所以；所以，所以是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以，所以即，所

25、以，因為在上單調(diào)遞減，而不成立，即，所以需要操作的次數(shù)的最小值為次，故答案為：.20（2021全國高二專題練習）任取一個正整數(shù)，若是奇數(shù)，就將該數(shù)乘3再加上1；若是偶數(shù)，就將該數(shù)除以2反復進行上述兩種運算，經(jīng)過有限次步驟后，必進入循環(huán)圖1-4-2-1，這就是數(shù)學史上著名的“冰雹猜想”例如：正整數(shù)，根據(jù)上述運算法則得出63105168421，共經(jīng)過8個步驟變成1（簡稱為8步“雹程”）“冰雹猜想”可表示為數(shù)列（為正整數(shù)），若，則的所有可能取值之和為_【答案】83【分析】利用“冰雹猜想”可表示為數(shù)列的遞推公式，結(jié)合，逆推、的可能值，最后加總所有可能情況值即可.【詳解】由題意，可能情況有：1、，則；2

26、、，則；3、，則；4、，則；的所有可能取值之和.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：根據(jù)，結(jié)合遞推公式逆推各步驟的可能值，確定各情況下的.21（2021湖北蘄春高三月考）孫子算經(jīng)是我國南北朝時期（公元世紀）的數(shù)學著作.在孫子算經(jīng)中有“物不知數(shù)”問題，原文如下：有物不知數(shù)，三三數(shù)之剩二，五五數(shù)之剩三，問物幾何？即一個整數(shù)除以三余二，除以五余三，求這個整數(shù).設(shè)這個整數(shù)為，當時，則符合條件的所有的和為_.【答案】【分析】分析可知整數(shù)的取值形成以為首項，以為公差的等差數(shù)列，求出這個數(shù)列的項數(shù)，利用等差數(shù)列的求和公式可求得結(jié)果.【詳解】由題設(shè)，、，則.當，不存在；當，不存在；當，滿足題意；當，不存在；當，不

27、存在.故，所以，共個數(shù).且這些數(shù)組成以為首項，為公差的等差數(shù)列，所以這個數(shù)的和為.故答案為：.【點睛】方法點睛：數(shù)列求和的常用方法：（1）對于等差等比數(shù)列，利用公式法直接求和；（2）對于型數(shù)列，其中是等差數(shù)列，是等比數(shù)列，利用錯位相減法求和；（3）對于型數(shù)列，利用分組求和法；（4）對于型數(shù)列，其中是公差為的等差數(shù)列，利用裂項相消法求和.22（2021全國高三專題練習（文）分形幾何學是一門以不規(guī)則幾何形態(tài)為研究對象的幾何學，分形的外表結(jié)構(gòu)極為復雜，但其內(nèi)部卻是有規(guī)律可尋的一個數(shù)學意義上分形的生成是基于一個不斷迭代的方程式，即一種基于遞歸的反饋系統(tǒng)下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段

28、的長度為a，在線段上取兩個點C、D，使得，以為一邊在線段的上方做一個正六邊形，然后去掉線段，得到圖2中的圖形；對圖二中的最上方的線段作相同的操作，得到圖3中的圖形；依次類推，我們就得到了以下一系列圖形；記第n個圖形（圖1為第1個圖形）中的所有線段長的和為，若對任意的正整數(shù)n，都有則正數(shù)a的最大值為_【答案】【分析】由題意歸納可得()，利用累加法可得，進而可得，即，即可得解.【詳解】由題意，得圖1中的線段為a，圖2中的正六邊形邊長為，；圖3中的最小正六邊形的邊長為，；圖4中的最小正六邊形的邊長為，；由此類推，可知，()，故當時，當時，滿足上式，所以，從而，即，所以存在最大的正數(shù)滿足題意故答案為：

29、.【點睛】本題考查了歸納推理的應(yīng)用，考查了利用累加法求數(shù)列的通項公式，屬于中檔題.23（2021全國高二課時練習（理）兩千多年前，古希臘畢達哥拉斯學派的數(shù)學家曾經(jīng)在沙灘上研究數(shù)學問題，他們在沙灘上畫點或用小石子來表示數(shù)，按照點或小石子能排列的形狀對數(shù)進行分類，如圖實心點個數(shù)1，5，12，22，被稱為五角形數(shù)，其中第1個五角形數(shù)記作，第2個五角形數(shù)記作，第3個五角形數(shù)記作，第4個五角形數(shù)記作，第個五角形數(shù)記作，已知，則前個五角形數(shù)中，實心點的總數(shù)為_.參考公式：【答案】【分析】由題意得再累加求得即可得出第個五角形數(shù).再進行求和即可.【詳解】由題得.故前個五角形數(shù)中,實心點的總數(shù)故答案為：【點睛】

30、本題主要考查了累加法求數(shù)列的通項公式方法以及數(shù)列求和的內(nèi)容,屬于中等題型.24（2021全國高二專題練習）1967年，法國數(shù)學家蒙德爾布羅的文章英國的海岸線有多長？標志著幾何概念從整數(shù)維到分數(shù)維的飛躍.1977年他正式將具有分數(shù)維的圖形成為“分形”，并建立了以這類圖形為對象的數(shù)學分支分形幾何.分形幾何不只是扮演著計算機藝術(shù)家的角色，事實表明它們是描述和探索自然界大量存在的不規(guī)則現(xiàn)象的工具.下面我們用分形的方法來得到一系列圖形，如圖1，線段AB的長度為a，在線段AB上取兩個點C，D，使得，以CD為一邊在線段AB的上方做一個正三角形，然后去掉線段CD，得到圖2中的圖形；對圖2中的線段ECED作相同的操作，得到圖3中的圖形；依此類推，我們就得到了以下一系列圖形：記第n個圖形(圖1為第一個圖形)中的所有線段長的和為，若存在最大的正整數(shù)a，使得對任意的正整數(shù)n，都有，則a的值為_.【答案】1010【分