運(yùn)籌學(xué)課件目標(biāo)規(guī)劃

1、目 標(biāo) 規(guī) 劃(Goal programming)目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型目標(biāo)規(guī)劃的圖解法目標(biāo)規(guī)劃的單純形法目標(biāo)規(guī)劃概述 目標(biāo)規(guī)劃是在線性規(guī)劃的基礎(chǔ)上，為適應(yīng)經(jīng)濟(jì)管理中多目標(biāo)決策的需要而逐步發(fā)展起來(lái)的一個(gè)分支。 2、線性規(guī)劃求最優(yōu)解；目標(biāo)規(guī)劃是找到一個(gè)滿意解。 1、線性規(guī)劃只討論一個(gè)線性目標(biāo)函數(shù)在一組線性約束條件下的極值問(wèn)題；而目標(biāo)規(guī)劃是多個(gè)目標(biāo)決策，可求得更切合實(shí)際的解。一、目標(biāo)規(guī)劃概述（一）、目標(biāo)規(guī)劃與線性規(guī)劃的比較 4、線性規(guī)劃的最優(yōu)解是絕對(duì)意義下的最優(yōu)，但需花去大量的人力、物力、財(cái)力才能得到；實(shí)際過(guò)程中，只要求得滿意解，就能滿足需要（或更能滿足需要）。 3、線性規(guī)劃中的約束條件是同等重要的，

2、是硬約束；而目標(biāo)規(guī)劃中有輕重緩急和主次之分，即有優(yōu)先權(quán)。目前，已經(jīng)在經(jīng)濟(jì)計(jì)劃、生產(chǎn)管理、經(jīng)營(yíng)管理、市場(chǎng)分析、財(cái)務(wù)管理等方面得到了廣泛的應(yīng)用。 例一、某廠計(jì)劃在下一個(gè)生產(chǎn)周期內(nèi)生產(chǎn)甲、乙兩種產(chǎn)品，已知資料如表所示。試制定生產(chǎn)計(jì)劃，使獲得的利潤(rùn)最大？同時(shí)，根據(jù)市場(chǎng)預(yù)測(cè)，甲的銷路不是太好，應(yīng)盡可能少生產(chǎn)；乙的銷路較好，可以擴(kuò)大生產(chǎn)。試建立此問(wèn)題的數(shù)學(xué)模型。12070單件利潤(rùn)3000103設(shè)備臺(tái)時(shí)200054煤炭360049鋼材資源限制乙甲 單位 產(chǎn)品資源 消耗（二）、目標(biāo)規(guī)劃的基本概念設(shè)：甲產(chǎn)品 x1 ，乙產(chǎn)品 x2 一般有：maxZ=70 x1 + 120 x2 9 x1 +4 x2 3600 4

3、 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0同時(shí)：maxZ1=70 x1 + 120 x2 maxZ2= x1 maxZ3= x2 9 x1 +4 x2 3600 4 x1 +5 x2 2000 3 x1 +10 x2 3000 x1 ， x2 0 顯然，這是一個(gè)多目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，用線性規(guī)劃方法很難找到最優(yōu)解。 目標(biāo)規(guī)劃通過(guò)引入目標(biāo)值和偏差變量，可以將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。 目標(biāo)值：是指預(yù)先給定的某個(gè)目標(biāo)的一個(gè)期望值。 實(shí)現(xiàn)值或決策值：是指當(dāng)決策變量xj 選定以后，目標(biāo)函數(shù)的對(duì)應(yīng)值。 偏差變量（事先無(wú)法確定的未知數(shù)）：是指實(shí)現(xiàn)值和目標(biāo)值之間的差異,記為 d

4、 。 正偏差變量：表示實(shí)現(xiàn)值超過(guò)目標(biāo)值的部分，記為 d。 負(fù)偏差變量：表示實(shí)現(xiàn)值未達(dá)到目標(biāo)值的部分，記為 d。1、目標(biāo)值和偏差變量 當(dāng)完成或超額完成規(guī)定的指標(biāo)則表示：d0, d0 當(dāng)未完成規(guī)定的指標(biāo)則表示： d0, d0 當(dāng)恰好完成指標(biāo)時(shí)則表示： d0, d0 d d 0 成立。 引入了目標(biāo)值和正、負(fù)偏差變量后，就對(duì)某一問(wèn)題有了新的限制，既目標(biāo)約束。 目標(biāo)約束即可對(duì)原目標(biāo)函數(shù)起作用，也可對(duì)原約束起作用。目標(biāo)約束是目標(biāo)規(guī)劃中特有的，是軟約束。在一次決策中，實(shí)現(xiàn)值不可能既超過(guò)目標(biāo)值又未達(dá)到目標(biāo)值，故有 d d 0,并規(guī)定d0, d02、目標(biāo)約束和絕對(duì)約束 絕對(duì)約束（系統(tǒng)約束）是指必須嚴(yán)格滿足的等式

5、或不等式約束。如線性規(guī)劃中的所有約束條件都是絕對(duì)約束，否則無(wú)可行解。所以，絕對(duì)約束是硬約束。 例如：在例一中，規(guī)定Z1 的目標(biāo)值為 50000,正、負(fù)偏差為d、d ,則目標(biāo)函數(shù)可以轉(zhuǎn)換為目標(biāo)約束，既70 x1 + 120 x2 50000， 同樣，若規(guī)定 Z2200， Z3250 則有 若規(guī)定3600的鋼材必須用完，原式9 x1 +4 x2 3600則變?yōu)?達(dá)成函數(shù)是一個(gè)使總偏差量為最小的目標(biāo)函數(shù)，記為 minZ = f（d、d）。 一般說(shuō)來(lái)，有以下三種情況，但只能出現(xiàn)其中之一： .要求恰好達(dá)到規(guī)定的目標(biāo)值，即正、負(fù)偏差變量要盡可能小，則minZ = f（d d）。 .要求不超過(guò)目標(biāo)值，即允許

6、達(dá)不到目標(biāo)值，也就是正偏差變量盡可能小，則minZ = f（d）。 .要求超過(guò)目標(biāo)值，即超過(guò)量不限，但不低于目標(biāo)值，也就是負(fù)偏差變量盡可能小，則minZ = f（d）。 對(duì)于由絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化而來(lái)的目標(biāo)函數(shù)，也照上述處理即可。3、達(dá)成函數(shù)（即目標(biāo)規(guī)劃中的目標(biāo)函數(shù)） 優(yōu)先因子Pk 是將決策目標(biāo)按其重要程度排序并表示出來(lái)。P1P2PkPk+1PK ，k=1.2K。 權(quán)系數(shù)k 區(qū)別具有相同優(yōu)先因子的兩個(gè)目標(biāo)的差別，決策者可視具體情況而定。 對(duì)于這種解來(lái)說(shuō)，前面的目標(biāo)可以保證實(shí)現(xiàn)或部分實(shí)現(xiàn)，而后面的目標(biāo)就不一定能保證實(shí)現(xiàn)或部分實(shí)現(xiàn)，有些可能就不能實(shí)現(xiàn)。4、優(yōu)先因子（優(yōu)先等級(jí)）與優(yōu)先權(quán)系數(shù) 5、滿意解（具有

7、層次意義的解） 若在例一中提出下列要求： 1、完成或超額完成利潤(rùn)指標(biāo) 50000元； 2、產(chǎn)品甲不超過(guò) 200件，產(chǎn)品乙不低于 250件； 3、現(xiàn)有鋼材 3600噸必須用完。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。 分析：題目有三個(gè)目標(biāo)層次，包含四個(gè)目標(biāo)值。 第一目標(biāo)： 第二目標(biāo)：有兩個(gè)要求即甲 ，乙 ，但兩個(gè)具有相同的優(yōu)先因子，因此需要確定權(quán)系數(shù)。本題可用單件利潤(rùn)比作為權(quán)系數(shù)即 70 :120，化簡(jiǎn)為7:12。例二、第三目標(biāo)：目標(biāo)規(guī)劃模型為： 某廠生產(chǎn)、兩種產(chǎn)品，有關(guān)數(shù)據(jù)如表所示。試求獲利最大的生產(chǎn)方案？ 在此基礎(chǔ)上考慮： 1、產(chǎn)品的產(chǎn)量不低于產(chǎn)品的產(chǎn)量； 2、充分利用設(shè)備有效臺(tái)時(shí)，不加班； 3、利潤(rùn)不小于 5

8、6 元。解: 分析 第一目標(biāo)： 即產(chǎn)品的產(chǎn)量不大于的產(chǎn)量。 第二目標(biāo)：例三：第三目標(biāo)：規(guī)劃模型：（一）、模型的一般形式二、目標(biāo)規(guī)劃的數(shù)學(xué)模型（二）、建模的步驟 1、根據(jù)要研究的問(wèn)題所提出的各目標(biāo)與條件，確定目標(biāo)值，列出目標(biāo)約束與絕對(duì)約束； 4、對(duì)同一優(yōu)先等級(jí)中的各偏差變量，若需要可按其重要程度的不同，賦予相應(yīng)的權(quán)系數(shù) 。 3、給各目標(biāo)賦予相應(yīng)的優(yōu)先因子 Pk（k=1.2K）。 2、可根據(jù)決策者的需要，將某些或全部絕對(duì)約束轉(zhuǎn)化為目標(biāo)約束。這時(shí)只需要給絕對(duì)約束加上負(fù)偏差變量和減去正偏差變量即可。 5、根據(jù)決策者的要求，按下列情況之一構(gòu)造一個(gè)由 優(yōu)先因子和權(quán)系數(shù)相對(duì)應(yīng)的偏差變量組成的，要求實(shí)現(xiàn)極小化

9、的目標(biāo)函數(shù)，即達(dá)成函數(shù)。.恰好達(dá)到目標(biāo)值，取 。.允許超過(guò)目標(biāo)值，取 。.不允許超過(guò)目標(biāo)值，取 。（三）、小結(jié) 圖解法同樣適用兩個(gè)變量的目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題，但其操作簡(jiǎn)單，原理一目了然。同時(shí)，也有助于理解一般目標(biāo)規(guī)劃的求解原理和過(guò)程。 圖解法解題步驟如下： 1、確定各約束條件的可行域，即將所有約束條件（包括目標(biāo)約束和絕對(duì)約束，暫不考慮正負(fù)偏差變量）在坐標(biāo)平面上表示出來(lái)； 2、在目標(biāo)約束所代表的邊界線上，用箭頭標(biāo)出正、負(fù)偏差變量值增大的方向；三、目標(biāo)規(guī)劃的圖解法 3、求滿足最高優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的解； 4、轉(zhuǎn)到下一個(gè)優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)，再不破壞所有較高優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的前提下，求出該優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)的解； 5、重復(fù)4，直

10、到所有優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)都已審查完畢為止； 6、確定最優(yōu)解和滿意解。例一、用圖解法求解目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題01 2 3 4 5 6 7 8 1 2 3 4 5 6 Ax2 x1BC B (0.6250 , 4.6875) C (0 , 5.2083) ， B、C 線段上的所有點(diǎn)均是該問(wèn)題的解（無(wú)窮多最優(yōu)解）。 例二、已知一個(gè)生產(chǎn)計(jì)劃的線性規(guī)劃模型為 其中目標(biāo)函數(shù)為總利潤(rùn)，x1,x2 為產(chǎn)品A、B產(chǎn)量。現(xiàn)有下列目標(biāo)： 1、要求總利潤(rùn)必須超過(guò) 2500 元； 2、考慮產(chǎn)品受市場(chǎng)影響，為避免積壓，A、B的生產(chǎn)量不超過(guò) 60 件和 100 件； 3、由于甲資源供應(yīng)比較緊張，不要超過(guò)現(xiàn)有量140。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型

11、，并用圖解法求解。 解：以產(chǎn)品 A、B 的單件利潤(rùn)比 2.5 ：1 為權(quán)系數(shù)，模型如下：0 x2 0 x11401201008060402020 40 60 80 100ABCD 結(jié)論：C(60 ,58.3)為所求的滿意解。作圖： 檢驗(yàn)：將上述結(jié)果帶入模型，因 0； 0； 0， 存在； 0， 存在。所以，有下式： minZ=P3 將 x160， x2 58.3 帶入約束條件，得30601258.32499.62500；260+58.3=178.3 140；16060158.358.3 0。說(shuō)明第k個(gè)優(yōu)先等級(jí)的目標(biāo)尚未達(dá)到,必須檢查Pk這一的檢驗(yàn)數(shù)kj(j=1.2n+2m).若Pk這一行某些負(fù)檢

12、驗(yàn)數(shù)的同列上面（較高優(yōu)先等級(jí)）沒(méi)有正檢驗(yàn)數(shù)，說(shuō)明未得到滿意解，應(yīng)繼續(xù)改進(jìn)，轉(zhuǎn)到第3步；若Pk這一行全部負(fù)檢驗(yàn)數(shù)的同列上面（較高優(yōu)先等級(jí)）都有正檢驗(yàn)數(shù)，說(shuō)明目標(biāo)雖沒(méi)達(dá)到，但已不能改進(jìn)，故得滿意解，轉(zhuǎn)到第6步。 3、確定進(jìn)基變量。 在Pk行，從那些上面沒(méi)有正檢驗(yàn)數(shù)的負(fù)檢驗(yàn)數(shù)中，選絕對(duì)值最大者，對(duì)應(yīng)的變量xs就是進(jìn)基變量。若Pk行中有幾個(gè)相同的絕對(duì)值最大者，則依次比較它們各列下部的檢驗(yàn)數(shù)，取其絕對(duì)值最大的負(fù)檢驗(yàn)數(shù)的所在列的xs為進(jìn)基變量。假如仍無(wú)法確定，則選最左邊的變量（變量下標(biāo)小者）為進(jìn)基變量。 4、確定出基變量 其方法同線性規(guī)劃，即依據(jù)最小比值法則故確定xr為出基變量，ers為主元素。若有幾個(gè)相

13、同的行可供選擇時(shí)，選最上面那一行所對(duì)應(yīng)得變量為xr 。 5、旋轉(zhuǎn)變換（變量迭代）。 以為主元素進(jìn)行變換，得到新的單純形表，獲得一組新解，返回到第2步。 6、對(duì)求得的解進(jìn)行分析 若計(jì)算結(jié)果滿意，停止運(yùn)算；若不滿意，需修改模型，即調(diào)整目標(biāo)優(yōu)先等級(jí)和權(quán)系數(shù)，或者改變目標(biāo)值，重新進(jìn)行第1步。例一、用單純形法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題= min2500/30,140/2,60/1=60 ,故 為換出變量。= min700/30,20/2, =10 ,故 為換出變量。= min400/15, =10 ,故 為換出變量。= min,350/6,1250/6,100/1=75 ,故 為換出變量。表中3115/30，

14、說(shuō)明P3 優(yōu)先等級(jí)目標(biāo)沒(méi)有實(shí)現(xiàn)，但已無(wú)法改進(jìn)，得到滿意解 x1 60， x2 175/3， 115/3， 125/3。 結(jié)果分析：計(jì)算結(jié)果表明，工廠應(yīng)生產(chǎn)A產(chǎn)品60件，B產(chǎn)品175/3件，2500元的利潤(rùn)目標(biāo)剛好達(dá)到。 125/3，表明產(chǎn)品比最高限額少125/3件，滿足要求。 115/3 表明甲資源超過(guò)庫(kù)存115/3公斤，該目標(biāo)沒(méi)有達(dá)到。 從表中還可以看到，P3 的檢驗(yàn)數(shù)還有負(fù)數(shù)，但其高等級(jí)的檢驗(yàn)數(shù)卻是正數(shù)，要保證 P1目標(biāo)實(shí)現(xiàn)，P3等級(jí)目標(biāo)則無(wú)法實(shí)現(xiàn)。所以，按現(xiàn)有消耗水平和資源庫(kù)存量，無(wú)法實(shí)現(xiàn)2500元的利潤(rùn)目標(biāo)。 可考慮如下措施：降低A、B產(chǎn)品對(duì)甲資源的消耗量，以滿足現(xiàn)有甲資源庫(kù)存量的目標(biāo)

15、；或改變P3等級(jí)目標(biāo)的指標(biāo)值，增加甲資源115/3公斤。 若很難實(shí)現(xiàn)上述措施，則需改變現(xiàn)有目標(biāo)的優(yōu)先等級(jí)，以取得可行的滿意解果。練習(xí)：用單純形法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題= min,10/2,56/10,11/1= 5,故 為換出變量。= min10/3,10,6/3,12/3= 2,故 為換出變量。 最優(yōu)解為x12， x2 4。 但非基變量 的檢驗(yàn)數(shù)為零，故此題有無(wú)窮多最優(yōu)解。= min4 , 24 , 6= 4,故 為換出變量。 最優(yōu)解為x110/3,，x2 =10/3。 1、某廠生產(chǎn)A、B、C三種產(chǎn)品，裝配工作在同一生產(chǎn)線上完成，三種產(chǎn)品時(shí)的工時(shí)消耗分別為6、8、10小時(shí)，生產(chǎn)線每月正常工作時(shí)

16、間為200小時(shí)；三種產(chǎn)品銷售后，每臺(tái)可獲利分別為500、650和800元；每月銷售量預(yù)計(jì)為12、10和6臺(tái)。 該廠經(jīng)營(yíng)目標(biāo)如下：1、利潤(rùn)指標(biāo)為每月16000元，爭(zhēng)取超額完成；2、充分利用現(xiàn)有生產(chǎn)能力；3、可以適當(dāng)加班，但加班時(shí)間不得超過(guò)24小時(shí)；4、產(chǎn)量以預(yù)計(jì)銷售量為準(zhǔn)。試建立目標(biāo)規(guī)劃模型。 作業(yè)：2、用圖解法求解下列目標(biāo)規(guī)劃問(wèn)題：滿意解為由x1 =（3， 3）, x2 =（3.5，1.5） 所連線段。 3、用圖解法解下列目標(biāo)規(guī)劃模型。 x1=400, x2=0, Z=80p30 100 200 300 400 500 100 200 300 400 x2 x144、用單純形法求解下列目標(biāo)規(guī)劃

17、問(wèn)題：x =（10，20，10） 5、用目標(biāo)規(guī)劃的單純形方法解以下目標(biāo)規(guī)劃模型。 5、x1=12, x2=10, =14, Z=14p4 答案：習(xí) 題1.已知條件如表所示如果工廠經(jīng)營(yíng)目標(biāo)的期望值和優(yōu)先等級(jí)如下：p1: 每周總利潤(rùn)不得低于10000元；p2: 因合同要求，A型機(jī)每周至少生產(chǎn)10臺(tái)，B型機(jī)每周至少 生產(chǎn)15臺(tái)；p3: 希望工序的每周生產(chǎn)時(shí)間正好為150小時(shí)，工序的生產(chǎn)時(shí)間最好用足，甚至可適當(dāng)加班。試建立這個(gè)問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型。 2.在上題中，如果工序在加班時(shí)間內(nèi)生產(chǎn)出來(lái)的產(chǎn)品，每臺(tái)A型機(jī)減少利潤(rùn)10元，每臺(tái)B型機(jī)減少利潤(rùn)25元，并且工序的加班時(shí)間每周最多不超過(guò)30小時(shí)，這是p4級(jí)目標(biāo)，試建立這個(gè)問(wèn)題的目標(biāo)規(guī)劃模型。 設(shè)x1,x2分別為在正常時(shí)間和加班時(shí)間生產(chǎn)A型機(jī)臺(tái)數(shù)，x3,x4分別為在正常時(shí)間和加班時(shí)間生產(chǎn)B型機(jī)臺(tái)數(shù)，目標(biāo)規(guī)劃數(shù)學(xué)模型為：