幾何圖形變化過程

1、探究幾何圖形變化過程中性質(zhì)的變化規(guī)律數(shù)學(xué)不僅是思維科學(xué)，也是實驗科學(xué)，要求通過實驗操作、觀察猜想等推理，得到數(shù)學(xué)結(jié)論近年來，河北省常以此來考查學(xué)生的數(shù)學(xué)實踐能力和創(chuàng)新能力，這種實驗操作形式也成為進(jìn)行科學(xué)研究的最基本形式所以在中考中會一直占據(jù)重要位置我們知道，圖形的“軸對稱”、“平移”、“旋轉(zhuǎn)”這些變化，是圖形運動及延伸的重要途徑，研究這些變換中的圖形的“不變性”或“變化規(guī)律”，主要思考方向有：1化歸到基本圖形的“變換性質(zhì)”；2沿“變換”考查圖形變化中所體現(xiàn)的統(tǒng)一性和差異性；3善于在一般中構(gòu)造“特殊”和運用“特殊”；4善于在情景比較中把握知識或方法的共同點專題精講題型一化歸到基本圖形的變換性質(zhì)例

2、1（2011湖南岳陽）如圖將菱形紙片AB（E）CD（F）沿對角線BD（EF）剪開，得到ABD和厶ECF.固定ABD,并把AABD與厶ECF疊放在一起.（1）操作：如圖，將ECF的頂點F固定在ABD的BD邊上的中點處，AECF繞點F在BD邊上方左右旋轉(zhuǎn)，設(shè)旋轉(zhuǎn)時FC交BA于點H（H點不與B點重合），F(xiàn)E交DA于點G（G點不與D點重合）.求證：BH-GD=BF2（2）操作：如圖，AECF的頂點F在AABD的BD邊上滑動（F點不與B、D點重合）,且CF始終經(jīng)過點A，過點A作AGCE。交FE于點G，連接DG。探究：FD+DG=請予證明.分析：此題的背景雖然是由菱形產(chǎn)生，但歸結(jié)到底只是相似基本圖形的其中

3、一種。如圖，只要圖中為卜的三個角相等，那么就會出現(xiàn)相似三角形。解：（1）當(dāng)點A在ACEF內(nèi)部時如圖.ABD和厶CEF是菱形紙片沿對角線剪開得到的.ABD竺ACEFAZB=ZD=ZCFE=ZEVZDFC=ZCFE+ZGFD=ZB+ZBHFZCFE=ZBAZBHF=ZDFG.ZBHFsZDFG即BDDG=BFDFVBF=DF.BHDG=BF（當(dāng)點A在ACEF外部時，同理可證，只證明一種情況給滿分）2)FD+DG=DB或FD+DG=EF證明：.AGCEAZFAG=ZCZFGA=ZE又VZBAD=ZC.ZBADZFAD=ZFAGZFAD即ZBAF=ZDAG又VZFGA=ZEZE=ZCFE；.ZFGA=

4、ZCFEAF=AG*AB=AD所以ABF竺AADG.BF=DGBD=BF+FD=DG+FD即FD+DG=DB或FD+DG=EF對應(yīng)訓(xùn)練（10山東臨沂）如圖1,已知矩形ABED，點C是邊DE的中點，且AB=2AD.（1）判斷AABC的形狀，并說明理由；（3）保持圖2中ABC固定不變，繼續(xù)繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖3中的位置（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的異側(cè)）試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系？并給予證明.C333圖2M圖12C/（2）保持圖1中ABC固定不變，繞點C旋轉(zhuǎn)DE所在的直線MN到圖2中（當(dāng)垂線段AD、BE在直線MN的同側(cè)），試探究線段AD、BE、DE長度之間有什么關(guān)系

5、？并給予證明；答案（1）ABC為等腰直角三角形。如圖1，在矩形ABED中，：點C是邊DE的中點，且AB=2AD，.AD=DC=CE=EB,ZD=ZE=90，；.RtADC=RtABECoAAC=BC，Z1=Z2=45，AZACB=90，AABC為等腰直角三角形。DE=AD+BE；女口圖2，在RtAADC和RtCEB中，TZ1+ZCAD=90，Z1+Z2=90，AZCAD=Z2。又*AC=CB，ZADC=ZCEB=90，ARtADC=RtCEBoADC=BE，CE=AD，.DC+CE=BE+AD，即DE=AD+BE。DE=BEAD。女口圖3，RtADC和RtCEB中，TZ1+ZCAD=90，Z1

6、+Z2=90，AZCAD=Z2，又TZADC=ZCEB=90,AC=CB，.RtMDCzRtMEB,.DC=BE,CE=AD,：.DCCE=BEAD,即DE=BEAD。題型二借助于考察圖形變換過程中各種形態(tài)（情況）的統(tǒng)一性和差異性來獲得解法例2（2011浙江嘉興）以四邊形ABCD的邊AB、BC、CD、DA為斜邊分別向外側(cè)作等腰直角三角形，直角頂點分別為E、F、G、H,順次連結(jié)這四個點，得四邊形EFGH.（1）如圖1,當(dāng)四邊形ABCD為正方形時，我們發(fā)現(xiàn)四邊形EFGH是正方形；如圖2,當(dāng)四邊形ABCD為矩形時，請判斷：四邊形EFGH的形狀（不要求證明）；（2）如圖3,當(dāng)四邊形ABCD為一般平行四

7、邊形時，設(shè)ZADC=（0。a90）,試用含a的代數(shù)式表示ZHAE；求證：HE=HG；四邊形EFGH是什么四邊形？并說明理由.圖1)圖2)圖3)分析考察三個圖形的統(tǒng)一性：向外作等腰直角三角形，從而得到邊等角互余等條件，因此結(jié)論仍然成立【答案】(1)四邊形EFGH是正方形(2)ZHAE=90。+a.在ABCD中，ABCD,.ZBAD=180ZADC=180a；HAD和厶EAB都是等腰直角三角形,.ZHAD=ZEAB=45,.ZHAE=360ZHADZEABZBAD=3604545(180a)=90+a.AEB和厶DGC都是等腰直角三角形,:.AE=AB,DG=-CD,在BCD中，AB=CD,：.A

8、E=DG,TAHAD和厶GDC都是等腰直角三角形，:.ZDHA=ZCDG=45,.ZHDG=ZHAD+ZADC+ZCDG=90+a=ZHAE.HAD是等腰直角三角形，：.HA=HD,：.AHAE竺HDG,：.HE=HG.四邊形EFGH是正方形.由同理可得：GH=GF,FG=FE,VHE=HG(已證)，：.GH=GF=FG=FE,：四邊形EFGH是菱形.HAE9AHDG(已證)，：.ZDHG=ZAHE,又*ZAHD=ZAHG+ZDHG=90,：.ZEHG=ZAHG+ZAHE=90,：四邊形EFGH是正方形.對應(yīng)訓(xùn)練(09河北)在圖14-1至圖14-3中，點B是線段AC的中點，點D是線段CE的中點

9、四邊形BCGF和CDHN都是正方形.AE的中點是M.如圖14-1，點E在AC的延長線上，點N與點G重合時，點M與點C重合，求證：FM=MH，F(xiàn)M丄MH；將圖14-1中的CE繞點C順時針旋轉(zhuǎn)一個銳角，得到圖14-2,求證：AEMH是等腰直角三角形；(3)將圖14-2中的CE縮短到圖14-3的情況，MMH還是等腰直角三角形嗎？(不必說明理由)答案(1)證明：.四邊形BCGF和CDHN都是正方形，又點N與點G重合，點M與點C重合，：.FB=BM=MG=MD=DH，ZFBM=ZMDH=90.FBM竺MDH.：.FM=MH.VZFMB=ZDMH=45,：.ZFMH=90.：.FM丄HM.(2)證明：連接

10、MB、MD,如圖2,設(shè)FM與AC交于點P.B、D、M分別是AC、CE、AE的中點，：.MDBC，且MD=BC=BF；MB#CD,且MB=CD=DH：四邊形BCDM是平行四邊形：ZCBM=ZCDM.又*ZFBP=/HDC,：./FBM=/MDH.：.FBM竺MDH.：.FM=MH,且ZMFB=/HMD.:.ZFMH=ZFMDZHMD=ZAPMZMFB=ZFBP=90。.FMH是等腰直角三角形.（3）是.題型三善于在一般中構(gòu)造“特殊”和運用“特殊”例3（09牡丹江）已知RtAABC中，AC=BC,/C=90。，D為AB邊的中點，ZEDF=90ZEDF繞D點旋轉(zhuǎn)，它的兩邊分別交AC、CB（或它們的延

11、長線）于E、F.當(dāng)ZEDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DE丄AC于E時（如圖1），易證S+S=-S.DEFCEF2ABC當(dāng)/EDF繞D點旋轉(zhuǎn)到DEAC不垂直時，在圖2和圖3這兩種情況下，上述結(jié)論是否成立？若成立,S、SAABC又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，不需證明.CEFABC圖1圖3可借助與圖1的關(guān)系來獲得結(jié)圖論，也就是善于在一般中構(gòu)造“特殊”和運用“特殊”分別分析圖2、過點D作DM丄AC交AC于M,DN丄BC交BC于N，得圖4和圖5,在圖4和圖5中，易得AMDE竺ANDG.解：圖2成立；圖3不成立.證明圖2：過點D作DM丄AC，DN丄BC則ZDME=ZDNF=ZMDN=90再證ZMDE=ZNDF,D

12、M=DN有ADMEADNF.S=S.S=SDMEDNF四邊形DMCN1由信息可知S=S四邊形DMCN2ABC=S四邊形DECFDEFS+SDEFCEF圖3不成立，Sadef、Smef、Saabc的關(guān)系是：S+SCEF=-S2ABC1S=SDEFCEF2ABC對應(yīng)訓(xùn)練（09山東）已知正方形ABCD中，E為對角線BD上一點，過E點作EF丄BD交BC于F,連接DF,DF中點，連接EG，CG.（1）求證：EG=CG；（2）將圖中ABEF繞B點逆時針旋轉(zhuǎn)45，如圖所示，取DF中點G，連接EG，CG.問（1）結(jié)論是否仍然成立？若成立，請給出證明；若不成立，請說明理由.（3）將圖中BEF繞B點旋轉(zhuǎn)任意角度，

13、如圖所示，再連接相應(yīng)的線段，問（1）中的結(jié)論是否仍然成立？通過觀察你還能得出什么結(jié)論？（均不要求證明）中的解：:.CG=B2FD.同理，在RtADEF中，BEG=FD.第23題圖第23題圖.CG=EG（2）（1）中結(jié)論仍然成立，即EG=CG.連接AG，過G點作MN丄AD于M，與EF的延長線交于N點.在46與厶DCG中，丁AD=CD，ZADG=ZCDG，DG=DG，:.DAGDCG.AG=CG.在與FNG中，ZDGM=ZFGN,FG=DG,/MDG=/NFG,：.HDMG竺FNG.：.MG=NG在矩形AENM中，AM=EN.在RtAMG與RtENG中，TAM=EN,MG=NG,：.AMGENG.

14、AG=EG:.EG=CG.（3）（1）中的結(jié)論仍然成立,即EG=CG.其他的結(jié)論還有:EG丄CG.題型四善于在情景比較中把握知識或方法的共同點例4（2011山東）如圖1,將三角板放在正方形ABCD上，使三角板的直角頂點E與正方形ABCD的頂點A重合三角板的一邊交CD于點F，另一邊交CB的延長線于點G.（1）求證：EF=EG；（2）如圖2,移動三角板，使頂點E始終在正方形ABCD的對角線AC上，其他條件不變，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立,請給予證明；若不成立,請說明理由；（3）如圖3,將（2）中的“正方形ABCD”改為“矩形ABCD”，且使三角板的一邊經(jīng)過點B，其EF他條件不變，若AB=a

15、,BC=b，求的值.EG圖2，兩三角形始終相似。=90分析：在變換的過程中，由于直角頂點不變，所以互余的角始終存在答案(D證明：/GEB+ZBEF=90ZDEF+ZBEF/DEF二/GEB.又ED二BE,RtAFED空RtAGEB.EF二EG.(2)成立.證明：如圖，過點E分別作BC、CD的垂線，垂足分別為H、I,則EH二EI,/HEI二90./GEH+ZHEF=90/IEF+ZHEF二90/IEF二/GEH.TOC o 1-5 h zRtAFEI空RtAGEH. HYPERLINK l bookmark76 EF二EG. HYPERLINK l bookmark70 解：如圖，過點E分別作B

16、e、CD的垂線，垂足分別為M、N，則/MEN=90EMAB,ENAD.EMCEEN.ABCAADEMADaENABb/GME+/MEF二90/FEN+/MEF二90TOC o 1-5 h z/MEN=/GEM. HYPERLINK l bookmark92 RtAFENsRtAGEM. HYPERLINK l bookmark94 EFENb.EGEMa對應(yīng)訓(xùn)練：(2011浙江義烏)如圖1,在等邊ABC中，點D是邊AC的中點，點P是線段DC上的動點(點P與點C不重合)，連結(jié)BP.將ABP繞點P按順時針方向旋轉(zhuǎn)a角(0a180)，得到ABP，連結(jié)AA，射111線AA分別交射線PB、射線BB于點E

17、、F.11(1)如圖1，當(dāng)0a60。時，在a角變化過程中，ABEF與AAEP始終存在關(guān)系(填“相似”或“全等”)，并說明理由；如圖2，設(shè)/ABP=.當(dāng)60a180時，在a角變化過程中，是否存在ABEF與AAEP全等？若存在，求出a與”之間的數(shù)量關(guān)系；若不存在，請說明理由；如圖3，當(dāng)a=60。時，點E、F與點B重合.已知AB=4，設(shè)DP=x，ABB的面11積為S，求S關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式.解:1ADPC圖1B1圖31)相似由題意得則ZPAA1ZAPA=ZBPB=a11180a=ZPBB=1AP=A1PBP=B1P=90a222)=ZEBFTZPBB1又.ZBEF=ZAEP:.ZPAE=ZEBF存在

18、，理由如下：易得：ABEFsAEP若要使得BEF9AAEP，只需要滿足BE=AE即可B1：.ZBAE=ZABEVZBAC=60:.ZBAE=60一f90耳I2丿a“=302a:ZABE=/3ZBAE=ZABE:.一30=P即a=2+603)連結(jié)BD，交AB于點G，11過點A作AHLAC于點H.11:上BAP=ZAPA=60:.AB/AC11111由題意得：AP=APZA=601.PAA是等邊三角形：AH二(2+x)12:SAABB2考前1大1閱兵在RtAABD中，BD=23：.BG=2*32(2+X)=*32x32丿=2*3v3x(0Wx2)1(10玉溪)平面內(nèi)的兩條直線有相交和平行兩種位置關(guān)

19、系.(1)如圖a，若AB/CD，點P在AB、CD外部，則有ZB=ZBOD，又因ZBOD是2POD的外角，故ZBOD=ZBPD+ZD，得ZBPD=ZB-ZD.將點P移到AB、CD內(nèi)部，如圖b,以上結(jié)論是否成立？若成立，說明理由；若不成立，則ZBPD.ZB.ZD之間有何數(shù)量關(guān)系？請證答案解：（1）不成立，結(jié)論是ZBPD=ZB+ZD.延長BP交CD于點E,:AB#CD.：.ZB=ZBED.又ZBPD=ZBED+ZD，：ZBPD=ZB+ZD.(2)結(jié)論：ZBPD=ZBQD+ZB+ZD.(3)由(2)的結(jié)論得：ZAGB=ZA+ZB+ZE.又:ZAGB=ZCGF.ZCGF+ZC+ZD+ZF=360.：ZA

20、+ZB+ZC+ZDZE+ZF=360.2.（2011山東濰坊）已知正方形ABCD的邊長為a，兩條對角線AC、BD相交于點O,P是射線AB上任意一點，（1）過P點分別做直線AC、BD的垂線PE、PF，垂足為E、F.如圖1，當(dāng)P點在線段AB上時，求PE+PF的值；2)如圖2，當(dāng)P點在線段AB的延長線上時，求PE-PF的值.（2）在圖b中，將直線AB繞點B逆時針方向旋轉(zhuǎn)一定角度交直線CD于點Q，如圖c，則ZBPD、ZB、ZD、ZBQD之間有何數(shù)量關(guān)系？（不需證明）；3)根據(jù)（2）的結(jié)論求圖d中ZA+ZB+ZC+ZD+ZE+ZF的度數(shù).【解】（1）丁四邊形ABCD為正方形，.AC1BD.:PFIBD，

21、：.PF/AC，同理PE/BD.:.四邊形PFOE為矩形，故PE=OF.又：ZPBF=45，.：PF=BF.：PE+PF=OF+FB=OB=acos45=a.2（2）V四邊形ABCD為正方形，：.AC丄BD.：PF丄BD，：.PF/AC，同理PE/BD.:.四邊形PFOE為矩形，故PE=OF.又:ZPBF=45，.：PF=BF.:.PEPF=OFBF=OB=acos45=a.4.（2010嵊州市）已知：在四邊形ABCD中，ADBC,ZBAC=ZD,點E、F分別在BC、CD上，且ZAEF=ZACD，試探究AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系.（1）如圖1,若AB=BC=AC，則AE與EF之間的數(shù)量關(guān)系是什么

22、；（2）如圖2,若AB=BC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想，并加以證明;（3）如圖3,若AB=kBC，你在（1）中得到的結(jié)論是否發(fā)生變化？寫出猜想不用證明.答案（1）AE=EF（2）猜想：（1）中結(jié)論沒有發(fā)生變化，即仍然為AE=EF（過點E作EHAB，可證AEHFEC）（3）猜想：（1）中的結(jié)論發(fā)生變化，為AE=kEF鞏固提高1.（10河北）在圖1至圖3中，直線MN與線段AB相交于點O,Z1=Z2=45，（1）如圖1，若AO=OB,請寫出AO與BD的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系；2)(3)將圖1中的MN繞點O順時針旋轉(zhuǎn)得到圖2，其中AO=OB，求證：AC=BD，AC丄BD；將圖2中的OB拉長為AO的K倍得到圖3，求皿的值.AC圖4(3)如圖5,過點B作BEICA交DO于E,；./BEO=ZACO.又T/BOE=ZAOC,解：1)AO=BD,AQBD-