自動控制原理：第8講（第三章 二階系統(tǒng)時域分析）

1、第8講 二階系統(tǒng)時域分析2022/8/21 二階系統(tǒng)：二階系統(tǒng)微分方程作為運動方程的控制系統(tǒng)。微分方程：傳遞函數(shù)：2022/8/22 二階系統(tǒng)基本參數(shù)描述1、二階系統(tǒng)描述Simulink仿真：觀察K、T分別取不同的值，會出現(xiàn)什么樣的變化？通過研究K、T的變化可以得到不同的系統(tǒng)性能表現(xiàn)。為了更具一般性，把系統(tǒng)表示為標準形式。2022/8/23閉環(huán)傳遞函數(shù)化為：2022/8/24自然振蕩頻率（或無阻尼振蕩頻率）阻尼比 是二階系統(tǒng)兩個重要的參數(shù)，系統(tǒng)的響應(yīng)特性完全由這兩個參數(shù)來描述。結(jié)構(gòu)圖：-開環(huán)傳遞函數(shù)標準形式：2022/8/25二階系統(tǒng)的閉環(huán)特征方程為特征方程的兩個根（閉環(huán)極點）回憶：系統(tǒng)運動特

2、性與什么有關(guān)系？系統(tǒng)的特征根表明二階系統(tǒng)的運動特性由特征參數(shù) 的大小決定！2022/8/26 二階系統(tǒng)特征根一對共軛復(fù)數(shù)特征根（閉環(huán)極點）：實部為負兩個相等的實根兩個不相等的實根實部為零，即純虛根，實部為正，系統(tǒng)不穩(wěn)定，避免！無阻尼2022/8/27欠阻尼臨界阻尼過阻尼（1）欠阻尼閉環(huán)特征根：衰減系數(shù)阻尼振蕩頻率二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)特性2022/8/282、二階系統(tǒng)階躍響應(yīng)特性分析取 simulink仿真衰減正弦振蕩輸入：輸出：2022/8/210 理論分析拉氏反變換： P640，24滯后角度：2022/8/211a. C(t)為衰減正弦振蕩過程；b. 穩(wěn)態(tài)分量為1；c. 瞬態(tài)分量為阻尼正弦振

3、蕩項，振蕩頻率為 衰減速度取決于共軛復(fù)極點實部的絕對值 ，該值越大，即共軛復(fù)極點距離虛軸越遠時，欠阻尼響應(yīng)衰減得越快。瞬態(tài)分量在 一定時，其衰減程度(速度的快慢)由 中的 決定( 越大，衰減越快，響應(yīng)速度越快）分別為1、2、3、4時的響應(yīng)曲線。 一定時，系統(tǒng)的超調(diào)量不變。隨 的增大，響應(yīng)速度加快。響應(yīng)衰減振蕩例子例4 0.20.30.10.40.8 一定時，隨 的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢，超調(diào)量減小。響應(yīng)衰減振蕩例子例5 結(jié)合Simulink仿真和理論分析，怎么理解欠阻尼？2022/8/214思考題（2）臨界阻尼閉環(huán)特征根：2022/8/215取無振蕩，直觀上是單調(diào)上升的！2022/8/216

4、 simulink仿真系統(tǒng)的傳遞函數(shù)：輸出:拉氏反變換：2022/8/217 理論分析2022/8/218a. C(t)為單調(diào)上升過程；b. 響應(yīng)過程在t0時的變化率為零，隨著時間的推移，響應(yīng)過程的變化率為正，響應(yīng)過程單調(diào)上升；當(dāng)時間趨于無窮時，變化率趨于零，響應(yīng)過程趨于常值1，即穩(wěn)態(tài)分量為1。臨界阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)是一個無超調(diào)的單調(diào)上升過程 一定時，隨 的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變快。響應(yīng)無振蕩2022/8/219例子例6 結(jié)合Simulink仿真和理論分析，怎么理解臨界阻尼？2022/8/220思考題（3）過阻尼閉環(huán)特征根：2022/8/221兩個不相等的負實根2022/8/222取

5、simulink仿真無振蕩，直觀上是單調(diào)上升的！跟一階階躍響應(yīng)類似。輸入為單位階躍函數(shù) 時，系統(tǒng)輸出拉氏反變換2022/8/223 理論分析s1，s2 代入上式2022/8/224a. 2個衰減指數(shù)項；b. 當(dāng)阻尼比遠大于1時，系統(tǒng)簡化為一階系統(tǒng)，近似單位階躍響應(yīng)c. 系統(tǒng)響應(yīng)不會超過穩(wěn)態(tài)值1。時的響應(yīng)曲線。 一定時，隨 的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變慢。2022/8/225例子例7 2022/8/226例子時的響應(yīng)曲線。例8 一定時，隨 的增大，系統(tǒng)的響應(yīng)速度變快。2022/8/227例子例9 （4）無阻尼閉環(huán)特征根：2022/8/228兩個不相等的純虛根2022/8/229取 simulink仿

6、真輸入為單位階躍函數(shù)時 ，系統(tǒng)輸出拉氏反變換2022/8/230 理論分析a. 二階系統(tǒng)無阻尼時的單位階躍響應(yīng)是一個正（余）弦形式的等幅振蕩（幅值為1）;b. 系統(tǒng)屬于不穩(wěn)定系統(tǒng)。2022/8/231例子例10 單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負實根單調(diào)上升一對負實重根 衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面） 等幅周期振蕩一對共軛虛根 2022/8/232（5）2022/8/233 時，系統(tǒng)輸出無超調(diào)，系統(tǒng)的響應(yīng)速度隨 的增大而變慢，隨 的增大而變快。 時，系統(tǒng)輸出有超調(diào)，且 決定了超調(diào)量的大小和響應(yīng)的速度， 決定了系統(tǒng)的響應(yīng)速度。二階系統(tǒng)中 和 的作用 越大，超調(diào)量越小，響應(yīng)速度

7、越慢；決定了系統(tǒng)振蕩特性 越大，響應(yīng)速度越快。時，系統(tǒng)輸出不穩(wěn)定。2022/8/2342022/8/2353、欠阻尼二階系統(tǒng)動態(tài)過程分析（1）延遲時間td（00.5h()）利用曲線擬合，近似求出2022/8/236 階躍響應(yīng) 延遲時間欠阻尼二階系統(tǒng)的特征參量=cos 0 s1 n-n s2 j jd因為，有即近似解一定時，n 越大，tr 越小n一定時， 越大，tr 越大取 k=1,得（2）上升時間 tr （0.1h()0.9h()）2022/8/238（3）峰時間 tp 根據(jù)定義，t 取最小正值峰值時間是阻尼振蕩周期的一半；tp 隨 的增大而增大， 隨 的增大而減小。2022/8/239 僅與

8、阻尼比有關(guān)。越大， 越小，系統(tǒng)的平穩(wěn)性越好. = 0.40.8 = 25.4%1.5%。依定義，將 代入上式得最大超調(diào)量百分比（4）超調(diào)量單位階躍響應(yīng)進入 誤差帶的最小時間（5）調(diào)節(jié)時間 ts c(t)t01包絡(luò)線通常用包絡(luò)線代替實際曲線估算 ts，如右圖一對包絡(luò)線包絡(luò)線 指數(shù)響應(yīng)曲線 c(t) 始終在包絡(luò)線內(nèi)取令為實際響應(yīng)與穩(wěn)態(tài)輸出之差，則通常取調(diào)節(jié)時間 與閉環(huán)極點的實部 成反比。保持 不變，增大 可在不改變超調(diào)量的情況下減小ts。R(s)(-)C(s)標準形式即有 n2=K/Tm=25 , 2n=1/Tm=5 解：閉環(huán)傳遞函數(shù)：解得 n=5, =0.5例11 已知圖中Tm=0.2，K=5，

9、求系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)指標。例子例12 ：設(shè)單位反饋的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線如圖所示，試確定其開環(huán)傳遞函數(shù)。 解：圖示為一欠阻尼二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)曲線。由圖中給出的階躍響應(yīng)性能指標，先確定二階系統(tǒng)參數(shù)，再求傳遞函數(shù)。 0t(s)11.30.1c(t)例子例13：系統(tǒng)及階躍響應(yīng)曲線如圖示,求K1、K2和a。k1R(s)C(s)_(a)(b)C(t)t(s)2.18200.8解：由圖(b) 得系統(tǒng)輸出得K2=24.46 , a=6.01。 得K1=2。是閉環(huán)傳函在, s=0的值，即階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)輸出值由超調(diào)量和峰值時間公式得例子2022年8月2日例14 一位置隨動系統(tǒng)，K4。求該系統(tǒng)的阻尼比、

10、自然振蕩角頻率和單位階躍響應(yīng)；系統(tǒng)的峰值時間、調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量；若要求阻尼比等于0.707，應(yīng)怎樣改變系統(tǒng)放大系數(shù)K值。C(s)R(s) _ 解 系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為和標準式比較得：例子2022年8月2日 從上可以看出，降低開環(huán)放大系數(shù)K值能使阻尼比增大、超調(diào)量下降，可改善系統(tǒng)動態(tài)性能。但在以后的系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)誤差分析中可知，降低開環(huán)放大系數(shù)將使系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差增大。 3、二階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)特性分析斜坡響應(yīng)：系統(tǒng)對斜坡輸入的響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)等于該系統(tǒng)對階躍輸入響應(yīng)的積分線性定常系統(tǒng)對輸入信號導(dǎo)數(shù)(積分)的響應(yīng)，就等于系統(tǒng)對該輸入信號響應(yīng)的導(dǎo)數(shù)(積分)。證明：r(t)和c(t)滿足方程，兩邊求導(dǎo)后知：

11、 和 也滿足方程。輸入 R(s)=1/s2輸出取拉式反變換，可得到不同值下的二階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng) 過阻尼：1 臨界阻尼：=1 無阻尼：=0 欠阻尼：0 1（1）欠阻尼 穩(wěn)態(tài)輸出 瞬態(tài)輸出 穩(wěn)態(tài)誤差 誤差響應(yīng)單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差有什么特點？穩(wěn)態(tài)誤差由2個參數(shù)決定！回憶：當(dāng)阻尼比減小，系統(tǒng)響應(yīng)會如何變化？當(dāng)自然頻率增大，系統(tǒng)響應(yīng)會如何變化？實際中，阻尼比 不宜太小，所以要減小穩(wěn)態(tài)誤差 ，就要有足夠大的自然頻率 。二階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)的穩(wěn)態(tài)誤差是多少？ (a) 誤差響應(yīng)求導(dǎo)并令為零進一步分析誤差響應(yīng) 誤差的最大偏差誤差響應(yīng)的峰值誤差響應(yīng)求導(dǎo)并令為零，得誤差峰值時間進一步分析誤差響應(yīng) (b) (c)

12、令阻尼比等于0.8，則達到5%誤差帶，即 (d) 穩(wěn)態(tài)誤差(a)、峰值時間(b)、最大偏離量(c)和調(diào)節(jié)時間(d)表示二階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)性能（2）無阻尼 誤差響應(yīng)（3）臨界阻尼 穩(wěn)態(tài)輸出 瞬態(tài)輸出 穩(wěn)態(tài)誤差 誤差響應(yīng)根據(jù)誤差響應(yīng)，利用數(shù)值解法，求調(diào)節(jié)時間由終值定理求得穩(wěn)態(tài)誤差例15如圖，討論K和F改變對單位斜坡響應(yīng)穩(wěn)態(tài)誤差的影響。畫小K值，中等K值和大K值時典型單位斜坡響應(yīng)曲線。C(s)R(s)-E(s)解：閉環(huán)傳函例子三種不同K值的典型單位斜坡響應(yīng)simulink仿真模塊三種不同K值的典型單位斜坡響應(yīng)曲線2) 增大K或減小F會使減小，導(dǎo)致最大誤差偏離量 增大，動態(tài)性能變壞。3）K增大一倍， 減小到原的一半，而值減小到原來數(shù)值的0.707倍，這是因為與K值的平方根成反比；若F值減小到原來數(shù)值的一半， 和分別減小到原來數(shù)值的一半。因此增大K值比減小F值較為合適。1)增大K或減小F值，可以減小 4）單位斜坡響應(yīng)在瞬態(tài)響應(yīng)結(jié)束而達到穩(wěn)態(tài)時，輸出速度與輸入速度相同，但是輸出量與輸入量之間存在一個固定的位置誤差。2022/8/2652022/8/266【課后思考】增大開環(huán)增益對系統(tǒng)性能有什么影響？2022/8/267【下講提示】階躍響應(yīng)中的超調(diào)量和斜坡響應(yīng)中的穩(wěn)態(tài)誤差對 值的要求正好相反，要取得一個合適的折中方案比較困難，必