第五講 數(shù)據(jù)整理與描述

1、第五(d w)講 描述性統(tǒng)計數(shù)據(jù)(shj)的描述性測度共五十四頁內(nèi)容提要(ni rn t yo)數(shù)據(jù)：隨機性、大量性、變異性數(shù)據(jù)分布：次數(shù)(csh)分布、相對次數(shù)(csh)分布、累積次數(shù)(csh)分布、累積相對次數(shù)(csh)分布數(shù)據(jù)分布規(guī)律：分布中心、分布范圍、對稱性共五十四頁次數(shù)(csh)分布表與圖所謂次數(shù)分布(fnb)，也叫頻數(shù)分布(fnb)，指的是一批數(shù)據(jù)中各個不同數(shù)值所出現(xiàn)的次數(shù)情況，或者是指一批數(shù)據(jù)在量尺上各等距區(qū)組內(nèi)所出現(xiàn)的次數(shù)情況。把次數(shù)分布情況制成的統(tǒng)計圖表就分別叫做次數(shù)分布圖和次數(shù)分布表。 共五十四頁次數(shù)分布(fnb)表的編制步驟求全(qiqun)距（極差）決定組數(shù)和組距決定

2、組限求組中值登記次數(shù)共五十四頁共五十四頁連續(xù)變量數(shù)據(jù)(shj)的實限連續(xù)變量的每一個值是代表數(shù)軸上的一段距離。這就出現(xiàn)了數(shù)據(jù)的實限問題。一個數(shù)據(jù)所代表的實際范圍稱為(chn wi)該數(shù)據(jù)的實限，包括從等于大于該數(shù)據(jù)的下實限至小于該數(shù)據(jù)的上實限。例子：5（下限為：4.5；上限為：5.5） 5.0 （下限為：4.95；上限為：5.05）共五十四頁共五十四頁相對次數(shù)(csh)分布表相對次數(shù)就是各組的次數(shù)f與總次數(shù)N之間的比值，若以Rf 表示，則Rf = f / N。相對次數(shù)分布表主要能反映各組數(shù)據(jù)(shj)的百分比結(jié)構(gòu)。閱讀相對次數(shù)分布表時，相對次數(shù)較大的組，則說明落入該組內(nèi)的數(shù)據(jù)(shj)個數(shù)占全

3、部數(shù)據(jù)(shj)個數(shù)的比例也越多。反之，則越少。共五十四頁累積次數(shù)(csh)分布表和累積相對次數(shù)(csh)分布表共五十四頁次數(shù)(csh)分布圖次數(shù)(csh)直方圖共五十四頁次數(shù)(csh)分布圖次數(shù)(csh)多邊圖共五十四頁共五十四頁次數(shù)(csh)分布圖累積(lij)次數(shù)分布圖共五十四頁練習(xí)(linx)： 某校85班與86班統(tǒng)計學(xué)考試成績(chngj)如表所示。要求對上述兩個班的成績(chngj)用兩種分組辦法進行分組，并利用兩種分組的數(shù)據(jù)對兩班成績(chngj)進行比較和分析。 （1）以10分組距進行等組距分組；（2）如學(xué)校規(guī)定90100分為優(yōu)、7589分為良、6074分為及格、59分以下為不

4、及格，按優(yōu)、良、及格、不及格分組。共五十四頁85班607948766758708277899510065647578558098887883548473809588687492856874726578897684488490856757896986班9174608493647881416160867262516084798082754253628282927675778583817683949490847881727085786392共五十四頁數(shù)據(jù)(shj)的描述性測度中心(zhngxn)測度 平均數(shù)；中位數(shù)；眾數(shù)變化測度 全距；方差與標(biāo)準(zhǔn)差； 四分位數(shù)和四分位距；極值形態(tài)測度 偏度；峰度共五

5、十四頁（一）中心(zhngxn)測度 中心測度是指刻畫數(shù)據(jù)集中趨勢的數(shù)字，用來描述數(shù)據(jù)的中心位于何處(h ch)。 最常用的中心測度為平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)，其中平均數(shù)和中位數(shù)只適用于定量數(shù)據(jù)，而眾數(shù)既適用于定量數(shù)據(jù)，也適用于定性（分類）數(shù)據(jù)。共五十四頁（1）算術(shù)(sunsh)平均數(shù)（M）總體算術(shù)(sunsh)平均數(shù) 樣本算術(shù)平均數(shù)共五十四頁算術(shù)(sunsh)平均數(shù)的特性所有觀察值關(guān)于平均數(shù)的偏差(pinch)和為零，即對極值非常敏感。所有觀察值關(guān)于平均數(shù)的偏差平方和最小。 共五十四頁算術(shù)(sunsh)平均數(shù)的計算利用(lyng)原始數(shù)據(jù)進行計算利用頻數(shù)分布表計算 共五十四頁算術(shù)(sunsh)平

6、均數(shù)的優(yōu)缺點優(yōu)點 反應(yīng)靈敏 嚴(yán)密確定(qudng) 簡明易懂 適合代數(shù)運算 受抽樣變動的 影響較小缺點 易受極端數(shù)值 的影響 一組數(shù)據(jù)中某 個數(shù)值的大小模 糊不清或不夠確 切時無法計算共五十四頁算術(shù)平均數(shù)的幾個(j )特殊優(yōu)點只知一組觀察值的總和及總次數(shù)就可以求出算術(shù)平均數(shù)。用加權(quán)法可以求出幾個平均數(shù)的總平均數(shù)。用樣本數(shù)據(jù)推斷總體集中量時，算術(shù)平均數(shù)最接近于總體集中量的真值，它是總體平均數(shù)的最好估計值。在計算方差、標(biāo)準(zhǔn)差、相關(guān)系數(shù)以及進行(jnxng)統(tǒng)計推斷時，都要用到它。共五十四頁（2）加權(quán)平均數(shù)加權(quán)平均數(shù)是不同(b tn)比重數(shù)據(jù)（或平均數(shù)）的平均數(shù)。用 表示。其計算公式有兩種形式 共五

7、十四頁（3）中位數(shù)定義：中位數(shù)是把按從小到大（從大到?。┡帕械囊唤M數(shù)據(jù)一分為二的數(shù)值。中位數(shù)的計算： 1. 用原始數(shù)據(jù)計算（分奇數(shù)個數(shù)據(jù)和偶數(shù)個數(shù)據(jù)） 2. 利用(lyng)次數(shù)分布表計算 共五十四頁利用次數(shù)(csh)分布表計算中位數(shù)（1）計算公式(由小向大計算) 表示(biosh)中位數(shù)所在組的下限； N表示總頻數(shù)； 中位數(shù)所在組的頻數(shù)； 表示小于中位數(shù)所在組下限的頻數(shù)綜合。共五十四頁共五十四頁中位數(shù)的優(yōu)缺點與應(yīng)用(yngyng)優(yōu)點：不易受極端值影響缺點：不適合代數(shù)計算應(yīng)用條件：一組數(shù)據(jù)中有特大或特小兩極端數(shù)值時；一組數(shù)據(jù)中兩端數(shù)據(jù)或個別數(shù)據(jù)不確切、不清楚時；當(dāng)需要快速(kui s)估計一

8、組數(shù)據(jù)的代表值時；數(shù)據(jù)資料屬于等級性質(zhì)時。共五十四頁（4）眾數(shù)(zhn sh)眾數(shù)的概念 理論眾數(shù)是指與頻數(shù)分布曲線最高點相對應(yīng)的橫坐標(biāo)上的一點。 粗略眾數(shù)是指一組數(shù)據(jù)(shj)中頻數(shù)出現(xiàn)最多的那個數(shù)。共五十四頁共五十四頁眾數(shù)的計算方法 （1）用觀察法直接尋找眾數(shù) 在頻數(shù)(pn sh)分布表中,頻數(shù)(pn sh)最多一組的組中值就是粗略眾數(shù)。當(dāng)兩個相鄰的組的頻數(shù)(pn sh)都是最多時，那么兩分組的分組點就是眾數(shù)。 共五十四頁（2）皮爾遜的經(jīng)驗法 當(dāng)頻數(shù)分布呈正態(tài)或接近正態(tài)時，皮爾遜發(fā)現(xiàn)眾數(shù)近似(jn s)地等于3倍的中位數(shù)減去2倍的算術(shù)平均數(shù)。眾數(shù)(zhn sh)的計算方法共五十四頁眾數(shù)(z

9、hn sh)的適用情況當(dāng)需要快速而又粗略地找出一組數(shù)據(jù)的代表值時。當(dāng)需要利用算術(shù)平均值、中位數(shù)、眾數(shù)三者關(guān)系來粗略判斷頻數(shù)分布的形態(tài)時。利用眾數(shù)幫助分析(fnx)解釋一組次數(shù)分布是否確實具有兩個次數(shù)最多的集中點時。共五十四頁平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)(zhn sh)三者之間的關(guān)系共五十四頁常用中心測度(c du)概括測度特點使用注意事項眾數(shù)適合于描述分類 變量或稱名 變量的趨中程度 不準(zhǔn)確、信息量有限、易產(chǎn)生誤導(dǎo) 中數(shù)如果需要知道數(shù)據(jù)分布的中點或者數(shù)據(jù)分布明顯偏態(tài)時，優(yōu)先使用。對存在的極端高或極端低的數(shù)值不敏感平均數(shù)是最經(jīng)常使用、最容易計算、容易理解的趨中測度對極值很敏感。如果數(shù)據(jù)中存在較多的極值，

10、或者分布明顯偏態(tài)，可能產(chǎn)生誤導(dǎo)加權(quán)平均數(shù)需要了解若干容量不同的子群體的總平均分權(quán)重的使用最為重要，尤其是子群體容量明顯不同時共五十四頁（二）變化(binhu)測度 變化測度是描述(mio sh)一組數(shù)據(jù)的變化程度或分散程度的數(shù)值。最常用的變化測度包括： （1）全距（全距=最高分-最低分） （2）方差與標(biāo)準(zhǔn)偏差 （3）四分位差 （4）極值共五十四頁（2）平均差、方差(fn ch)與標(biāo)準(zhǔn)差 平均差（MD）：就是每一個數(shù)據(jù)(shj)與該組數(shù)據(jù)(shj)的中位數(shù)（或算術(shù)平均數(shù)）離差的絕對值的算術(shù)平均數(shù)。共五十四頁平均差的優(yōu)缺點 與極差相比，平均差是利用全部數(shù)據(jù)信息計算的，意義明確，計算容易，較好地度量

11、了次數(shù)分布的離散(lsn)程度。但計算要用到絕對值，使它的應(yīng)用大大受到限制。共五十四頁方差(fn ch)方差是指離差平方和的算術(shù)平均數(shù)。用 表示。 方差雖然避免了絕對值的麻煩，但卻又使變量(binling)的單位變成原單位的平方。共五十四頁標(biāo)準(zhǔn)差標(biāo)準(zhǔn)差是指離差平方和平均后的方根，即方差(fn ch)的平方根。用 表示。共五十四頁方差(fn ch)與標(biāo)準(zhǔn)差的優(yōu)缺點優(yōu)點：反映靈敏，嚴(yán)密確定，計算簡單(jindn)，用樣本數(shù)據(jù)推斷總體差異量時，方差與標(biāo)準(zhǔn)差是最好的估計量。缺點：易受極端數(shù)值的影響，有個別數(shù)據(jù)模糊不清時便無法計算。共五十四頁（3）四分(s fn)位差百分位數(shù)：就是次數(shù)分布中相對于某個特

12、定百分點的原始分?jǐn)?shù)。百分位數(shù)的計算公式如下：Pm第m百分位數(shù)；LPm所在(suzi)組的組下限；fPm所在組的次數(shù)；Fb小于L的累計次數(shù)。 共五十四頁共五十四頁百分位差百分位差：是指兩個(lin )百分位數(shù)之差。常用的有：共五十四頁四分(s fn)位差 若將從小到大排列的一組數(shù)據(jù)分成頻數(shù)相等(xingdng)的四段，第一與第二段的分界點稱為第一個四分位數(shù)。第三段與第四段的分界點稱為第三個四分位數(shù)。則四分位差就是第三個四分位數(shù)（第75百分位數(shù)）與第一個四分位數(shù)（第25百分位數(shù)）的差。公式為：共五十四頁極差、百分位差、四分(s fn)位差 極差：最簡單、最易理解的差異量數(shù)，但也是最粗糙、最不可靠(

13、kko)的值。 級差明顯地受取樣變動的影響，一般情況下主要用于對數(shù)據(jù)做預(yù)備性檢查，了解數(shù)據(jù)的大概散布范圍，以便確定如何進行統(tǒng)計分組。 百分位差與四分位差：與極差相比，避免了極端數(shù)據(jù)的影響，但由于沒有把全部數(shù)據(jù)考慮在內(nèi)，其穩(wěn)定性會差一些。 另外，它們也不適合代數(shù)方法運算，反應(yīng)不夠靈敏，應(yīng)用不多。共五十四頁（4）極值(j zh) 極值是指位于數(shù)據(jù)總體分布之外的一些(yxi)極端的數(shù)值。極值的產(chǎn)生可能主要有下列原因： （1）極值是真的測量結(jié)果； （2）可能是由于數(shù)據(jù)記錄或錄入誤差造成的； （3）極值數(shù)據(jù)可能來自其他總體。共五十四頁確定(qudng)極值的方法 統(tǒng)計學(xué)上通常(tngchng)用四分位數(shù)

14、和四分位距作為確定極值的工具，過程如下： （1）首先根據(jù)四分位數(shù)和四分位距確定數(shù)據(jù)分布的上、下限： 下限=Q1-.1.5IQR；上限=Q3+1.5IQR （2）小于下限和大于上限的觀察值就是潛在的極值。 （3）確定了潛在的觀察值后，可以用直方圖、莖葉圖等進一步檢查這些觀察值是否真的是極值。共五十四頁（三）分布(fnb)形態(tài)測度偏度：是描述(mio sh)數(shù)據(jù)分布對稱性的測度。共五十四頁偏度數(shù)據(jù)(shj)呈對稱分布，此時平均數(shù)與中數(shù)相等；數(shù)據(jù)呈正偏態(tài)，此時平均數(shù)大于中數(shù)；數(shù)據(jù)呈負(fù)偏態(tài)，此時平均數(shù)小于中數(shù)。共五十四頁共五十四頁峰度 峰度是描述數(shù)據(jù)圍繞平均數(shù)分布的緊密(jnm)程度，或者分散程度。共五十四頁峰度 與平均數(shù)、標(biāo)準(zhǔn)偏差一樣，峰度對極端值的存在非常敏感。統(tǒng)計學(xué)上，將數(shù)據(jù)分布分為三種類型，即常峰態(tài)、低峰態(tài)和尖峰態(tài)。 數(shù)據(jù)呈常峰態(tài)。一般而言，鐘型分布和正態(tài)分布都是常峰態(tài)的。 數(shù)據(jù)呈低峰態(tài)，即中間部分的數(shù)據(jù)較少，相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)據(jù)分布在兩端極端高或極端低的位置，而且(r qi)這種分布的偏度指數(shù)一般不太高。 數(shù)據(jù)呈尖峰態(tài)，即相當(dāng)一部分?jǐn)?shù)據(jù)分布在少數(shù)的位置，這個位置可以是靠中間的位置，也可以是靠某一端的位置，其他位置的數(shù)據(jù)分布明顯較少。共五十四頁共五十四頁內(nèi)容摘要第五講 描述性統(tǒng)計。某校85班與86班統(tǒng)計學(xué)考試成績?nèi)绫硭?。?）以10分組距進行等組距分組。總體算術(shù)平均數(shù)。樣本算術(shù)平