《微積分》講義

1、f収）=A心詬+是否存在？例：判定Innx-*o微積分講義第一章極限、函數(shù)極限的概念:血1f加=A要點(diǎn)：x為變量；A為一常量。二、函數(shù)極限存在的充分必要條件：f僅)=Af収)=A，襄-*粘x-x0-三、極限的四則運(yùn)算法則liinliinf(x)-g(x)=hnf(x)土f)-g(x)=hnf(x)Hillf(x)g儀)g儀)liinliinliing(x)kf(天)=kf儀)四、例：X-2X+22r?-2n+33n2+l五、兩個(gè)重要極限=1lim40=1lun=eImi(1n)n=e理論依據(jù)：兩邊夾法則：若f儀）Wh（x）,且limf儀）=limh（0=A,則：limg僅）=A單調(diào)有界數(shù)列必有

2、極限。例題：六、limliin40siii2x=(1-X)1-cosX=一無窮小量及其比較1、無窮小量定義：在某個(gè)變化過程中趨向于零的變量。2、無窮大量定義：在某個(gè)變化過程中絕對(duì)值無限增大的變量3、高階無窮小,低階無窮小,同階無窮小,等價(jià)無窮小。4、定理：hmf収）=A=f儀）=A+a（血a=0）X-K0X-XQ七、函數(shù)的連續(xù)性1、定義：函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)心處連續(xù)在點(diǎn)光處給自變量x改變,x：x0時(shí)，4y0。即：y=02、3、心)=f心)左連續(xù):血1f儀)=f(xJ函數(shù)y=f(x)在區(qū)間上連續(xù)。連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：右連續(xù):血1f(x)=f(xj續(xù)，若函數(shù)f(x)和g僅)都有在點(diǎn)禰處連續(xù)貝I：f僅)

3、土g(x)、f(x)g(x)、(g(Xo)H0)在點(diǎn)憂處連續(xù)。若函數(shù)u=j(x)在點(diǎn)&處連續(xù)，而函數(shù)y=f(u)在點(diǎn)=j(x處連例：則復(fù)合函數(shù)f(j(x)在點(diǎn)咖處連續(xù)。loghsinx.=鎖丄玷=x.-*lilllK-*04、函數(shù)的間斷點(diǎn)：(1)可去間斷點(diǎn)心：血f僅)=A,但f僦)不存在。跳躍間斷點(diǎn)猶：f(x)=A,f儀)=B,但AHB。x-*(0_x-k0+無窮間斷點(diǎn)：函數(shù)在此區(qū)間上沒有定義。5、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)：若函數(shù)f儀）在閉區(qū)間門，b上連續(xù),則：f（、）在閉區(qū)間|門，b上必有最大值和最小值。（2）若f（門）與f異號(hào)，則方程f儀）=0在（門，|內(nèi)至少有一根。例：證明方程式只一4只+

4、1=0在區(qū)間（,丄）內(nèi)至少有一個(gè)根。第二章一元函數(shù)微分學(xué)、導(dǎo)數(shù)舸鳥=A=%=A1、函數(shù)yf僅）在點(diǎn)冷處導(dǎo)數(shù)的定義：.x.yf仇匕刈一幷心）y&丄耳。，詔夂丄亂，2、函數(shù)yf（x）在區(qū)間（口，b）上可導(dǎo)的定義：f（x），y，型，衛(wèi)dxdx3、基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式：(C廠=0=nxn_1m察顯y=冥:j（血）+(smx)fcosx,(tmx)常心X，Ina,/)，h(cosx)f一sinx(cotX)/_cscX2(込x)f=secxtanx,(沁丫=cscxcotx(arctanX)f4、導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算：、四則運(yùn)算法則:（偽-=（偽廠土=(Tg(x)+f(x)(gXU0其它末定型：“08”88”、

5、“嚴(yán)、“J”、“卍”CC-jOO二或=oxlnxK-*0“88”型：通分liin5Xex-dr對(duì)數(shù)式liin)t-oi-liinX)t-oi-;X丿sinx:三、函數(shù)的單調(diào)性、極值與凹凸性1、單調(diào)性：ff(x)0of(x)為增函數(shù)；f(x)駐點(diǎn)fF(x)卅存在不可導(dǎo)點(diǎn)3、凹凸性：fF(x)0R曲線y二f(x)是凹的；r(x)曲線y=f(x)杲凸的；例求函數(shù)y=3x/的極值、增減區(qū)間、凹凸區(qū)間。第三章一元函數(shù)積分學(xué)一、不定積分的概念及簡(jiǎn)單運(yùn)算不定積分求原函數(shù)1、原函數(shù)的定義：設(shè)f(x)、F(x)在區(qū)間I內(nèi)有定義，且：F(刈f),則稱F儀)為心)在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)如：丄/是/的一個(gè)原函數(shù)。(池

6、山廠=COSXsinx是cosx的一個(gè)原函數(shù)。觀察：yX3+6X2結(jié)論：若f(x)有原函數(shù)，它的原函數(shù)有無窮多個(gè)，它們之間相差個(gè)常量。即:若F儀)為彳(紛在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，貝則F儀)+C均f(x)在區(qū)間I內(nèi)的原函數(shù)。2、不定積分定義：f儀)在區(qū)間I內(nèi)的所有原函數(shù)稱為f儀)的不定積分;記為：If儀)dx即：若F(x)為f(x)在區(qū)間I內(nèi)的一個(gè)原函數(shù)，貝0：f(x)dx=F(x)+C；(12)例：g2dx=$/+C；cosxdx=sinx+C；3、不定積分的性質(zhì)：=f(對(duì)或d!f(x)d打=f(x)dxJf(x)dxf)+C或Jdf儀)=f儀)+CIkf()dx=kIfdx仃偸)-g(x)d

7、x=If儀)dx土g儀)dx4、不定積分的基本積分公式：dx1叫|+Cdx+C/dx+ChiaIcosxdx=sinx+Csinxdx=cosx+Cxdx=tanx+Cxdx=cotx+Csecxtanxdx=secx+Ccscxcotxdx=cscx+C(11)dxarctanx+Cdx=arcsinx+C5、不定積分的簡(jiǎn)單運(yùn)算：例1例2例3例4例5（2X3沁1W）dxdxxdxcos2dx二、不定積分的運(yùn)算1、換元積分法第一類換元積分法“湊”微分法例1例2例3例4例5例6例7cos5xdxdx*3+2Xxdxdxdxtanxdxdx第二類換元積分法去根號(hào)例11dx“三角”代換去根號(hào)例142

8、、分部積分法：dxudvvdu例18xcosxdxdx例19例20Ixlnxdx例23例25例263X+1dxdxsinxdx3、有理函數(shù)的積分三、定積分的概念與性質(zhì)1、定積分的概念幾何意義：求曲邊梯形的面積匸詢dx飛Zf52、定積分的性質(zhì)：規(guī)定：J：f(x)dx=Jf(x)dx規(guī)定：Ifdx=0g儀)dx=：f(x)dx土匸g(x)dxkf儀)dx=kIf(x)dxf(Qdx=!：f依)dx+!：f(dx若f(x)在對(duì)稱區(qū)間I門上連續(xù),則：當(dāng)f(x)為偶函數(shù)時(shí)；有2IJ(x)dxf(x)dx二-a當(dāng)f(x)為奇函數(shù)時(shí)，有If(x)dx=3、定積分的計(jì)算：微積分基本公式牛頓萊布尼茲公式若F是f

9、(”)的一個(gè)原函數(shù)，則:匸fdx=F儀疋=F(b)-FS)I:(2X-mX)dxdx定積分的換元積分法例8例7I2/dx定積分的分部積分法Iudv=uv例10:2dx例112X2sinxdxJo4、定積分在幾何中的應(yīng)用例1計(jì)算由兩條拋物線7x和y=*所圍成圖形的面積。例2計(jì)算拋物線y2=2x與直線y=x4所圍成圖形的面積。四、反常積分廣義積分例2dx例3xmdx例4討論:汕的收斂性。第四章多元函數(shù)微分學(xué)定義：二元及二元以上的函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)。、二元函數(shù)的極限與連續(xù)1、二元函數(shù)的極限：例1例2證明：liin加y-*4D)X+y(?+2y-1)2、二元函數(shù)的連續(xù)性fh曠嘰血二、偏導(dǎo)數(shù)1、定義：對(duì)于二元函數(shù)Z=f(x,y)的偏導(dǎo)數(shù)：竺axaf的偏導(dǎo)數(shù)：竺例4求Z=