時頻表示及時頻分布

1、時頻表示：使用時間和頻率的聯(lián)合函數(shù)來表示信號。時頻分布：能夠描述信號的能量密度分布的二次型時頻表示。2.1.1解析信號與基帶信號定義(解析信號)：與實信號s(t)對應(yīng)的解析信號z(t)定義為z(t)=s(t)+jHs(t)，其中Hs(t)是 s(t)的 Hilbert 變換。物理意義：保留信號的正頻部分并將幅度加倍，同時剔除負頻部分。命題：若調(diào)幅-調(diào)頻信號s(t)=a(t)cos0 (t)滿足條件：A(f)= 3 a(t)完全位于區(qū)域lflf，且頻 譜3 cos0 (t)只存在該區(qū)域以外，則s(t)的解析信號z(t)具有z(t)=a(t)ej(t泊勺形式。命題的物理意義：基于Hilbert變換

2、的解析信號生成器是一種高頻率選擇器?；鶐盘枺航馕鲂盘柕膹?fù)包絡(luò)，它是復(fù)信號，是解析信號的頻移形式。實際應(yīng)用：直接接受或觀測到的總是實信號，需要經(jīng)過加工處理，才能得到它的解析信號或 基帶信號。解析信號實際得到它是困難的，因為具有理想階躍頻率特性的濾波器無法實現(xiàn)。 基帶信號則容易得到，先將實信號頻譜左移，然后用低通濾波器濾出基帶分量即可?；鶐盘柡徒馕鲂盘柧m用時頻分析。2.1.2瞬時頻率和群延遲定義(瞬時頻率)：解析信號相位的導(dǎo)數(shù)。物理意義：把解析信號z(t)表示為復(fù)平面的向量，那么瞬時頻率就表示向量幅角的轉(zhuǎn)速。定義(群延遲)：頻譜Z(f)中頻率為f的各個分量的延遲。物理意義：設(shè)零相位的信號加一

3、線性相位，則信號做不失真的延遲，其延遲時間為該線性相 位特性的負斜率。2.1.3不確定性原理定義：z(t)是一個具有有限能量的零均值復(fù)信號，其時寬Z和帶寬W分別定義為f 12 | z(t) |2 dtT 2 = (At )2 = ff | z(t) |2 dt-sf 2| Z ( f )|2 dfB 2 = (Af )2 = ff | Z (f ) |2 df-s物理意義：時寬At和帶寬Af分別為時間分辨率和頻率分辨率，它們表示的是兩時間點和兩頻率點間信號的區(qū)分能力。命題：(不確定性原理)對于有限能量的任意信號，其時寬和帶寬的乘積總是滿足不等式：TB= At Af 31/4兀不確定性原理的重要

4、意義在于，既有任意小得時寬又有任意小的帶寬的窗函數(shù)是不存在的。 對非平穩(wěn)信號作加窗的局域處理，窗函數(shù)內(nèi)德信號必須是基本平穩(wěn)的，即窗寬必須與非平穩(wěn) 信號的局部平穩(wěn)性相適應(yīng)。線性時頻表示：Z(t)=cz(t) + cz (t) T T (t, f) = cT (t, f) + cT (t, f)1 12 2z1 z12 z 2典型的線性時頻表示有短時Fourier變換、Gabor展開和小波變換。2.2.1連續(xù)短時Fourier變換給定一個時間寬度很短的窗函數(shù)Y (t)，令窗滑動，則信號z(t)的短時Fourier變換定義為:STFT (t, f) = jz(t 為 *(t-1)e一e dtz-8很

5、顯然，為了使STFT真正是一種有實際價值的非平穩(wěn)信號分析工具，信號z(t)應(yīng)該能夠由STFT (t, f)完全重構(gòu)出來，重構(gòu)公式為: zp(u) = j j STFT (t, f )g (u t)ej&fudtdf z-8 -8完全重構(gòu)條件為L *( t)g (t)dt = 1特殊地，當g(t) =y (t)時，完全重構(gòu)條件變?yōu)閖 IY (t)|2 dt = 1。短時Fourier變換的物理意義：信號Z(t)在“分析時間” t附近的“局部頻譜”。2.2.2 STFT具有頻移不變性，但不具有時移不變性:z(t) = z(t )eJ2”/ T STFT (t, f) = STFT (t, f -

6、f ) z0zz(t) = z(t -1 ) T STFT (t, f) = STFT (t -1 , f )e- j2兀兒 0z 0z短時Fourier變換的定義是從時域加窗實現(xiàn)的，也可在頻域用濾波器來實現(xiàn):STFT (t, f) = e-j2兀ft j Z( f )r *( f f )ej2兀 W z-8譜窗r (f )是時間窗Y (t)的Fourier變換。2.2.3窗函數(shù)g(t)的選擇原則上，窗函數(shù)g(t)可以在L2(R)空間內(nèi)任意選擇。不過，在實際應(yīng)用中，我們希望選擇的窗函數(shù)具有很好的時間和頻率聚集性(即能量在時頻平面是高度集中的)，使得STFT (t, f ) z能夠有效地對應(yīng)為信

7、號z(t)在時頻點(t,f)附近的“內(nèi)容”。常用的一種特殊選擇是高斯窗函數(shù)，又稱Gabor基函數(shù)：g 0(t) = 21/4 e-兀t2從一定意義上講，Gabor基函數(shù)是一個在相空間點(t,f)附近具有最佳相空間聚集性能的L2函 數(shù)2.2.3離散短時Fourier變換STFT (m, n)= z(k)y *(kT - mT)e-j次(nF)kk =一3重構(gòu)公式z (k)= STFT (m, n) g (kT - mT )e j2 兀(nF)km=-3 n=一3完全重構(gòu)條件： g(kT + n - mT)/ *(kT mT) = 8 , Vk FFnm =-32.3.1信號的雙線性變換和局部相關(guān)

8、函數(shù)局部相關(guān)函數(shù)：R(t 其)=j 巾(u -1具)z(u +T / 2)z *(u -T / 2)du-s瞬時相關(guān)函數(shù)R(t具)=z(t +T /2)z *(t -t /2)Wigner-Ville 分布：P(t, f ) = j z(t +T /2)z *(t -T /2)e-j2兀件ddT-s2.3.2時頻分布的基本性質(zhì)要求性質(zhì)1：時頻分布必須是實的。(且希望是非負的)性質(zhì)2：時頻分布關(guān)于時間t和f的積分應(yīng)給出信號的總能量E性質(zhì)3：邊緣特性性質(zhì)4：時頻分布的一階矩給出信號的瞬時頻率和群延遲。性質(zhì)5：有限支撐特性：如果信號z(t)只在某個時間區(qū)間取非零值，并且信號的頻譜Z(f)也 只在某個

9、頻率區(qū)間取非零值，則稱信號z(t)及其頻譜是有限支撐的。弱有限支撐：在z(t)和 Z(f)的總支撐區(qū)以外，信號的時頻分布等于零。強有限支撐：凡在z(t)和2(0等于零的各區(qū)域，時頻分布都等于零。2.3.3時頻分布的二次疊加原理z (t) = c z (t) + c z (t)1 12 2任何二次型時頻分布服從以下二次疊加原理：P (t, f) =| c |2 P (t, f)+ | c |2 P (t, f) + cc * P(t, f) + cc * P (t, f)z1z11 z11 2 z1,z 22 1z 2, z1烏(t,f)、烏(t,f)代表信號的自時頻分布(信號項)，而與陽(偵)

10、、P2z1(t, f )代表互時頻分布(交叉項)推廣到多分量信號的情況：對于一個p分量信號，其時頻分布將包含p個信號項和p(p-1)/2個交叉項。2.3.4特征函數(shù)隨機信號z(t)的特征函數(shù)定義為M(Tv) = E (ej 2k (tv+t f)二j j P(t, f )ej2k(tv+tf)dtdf在一些場合，特征函數(shù)比分布本身更便于操作。例如，求M(T , v)關(guān)于T的m階偏導(dǎo)和關(guān)于V的n階偏導(dǎo)，即可得到利用特征函數(shù)的導(dǎo)數(shù)求聯(lián)合矩的公式。2.4模糊函數(shù)定義：對z(t +T /2)z *(t-T / 2)關(guān)于時間t作Fourier反變換，即A(t,v) = j z(t+T /2)z*(t-t

11、/2)ej2Kvtdt稱為模糊函數(shù)。-s可視為對瞬時相關(guān)函數(shù)關(guān)于t作Fourier反變換。模糊函數(shù)與Wigner-Ville分布的關(guān)系：sj js A(t , v)e - j 2k (tv+T f) dvdT-s -s模糊函數(shù)的性質(zhì)：模對時移和頻移不敏感、濾波特性、調(diào)制特性?；ツ：瘮?shù)的定義：4泌(匚,v)=j z(t)g *(t - v)ej2Ktudt。-s互模糊函數(shù)的性質(zhì)：Parseval關(guān)系、有限支撐、唯一重構(gòu)。2.5.1 Cohen類時頻分布的定義Cohen指出，信號的時頻分布可以用一般形式統(tǒng)一寫作:j j j z(u +t / 2)z *(u -t / 2)8(t , v)e- j

12、2k(tv+fT-uv)dudTdv -s -s -s可簡寫作：P(t, f) = j j s A (t , v)8 (T, v)e-j2k (tv+fT)dT dv z-s -s -s于是，核函數(shù)8(t, v)可視為模糊域的“濾波函數(shù)”，將Az(T , v)中某些不需要的分量濾掉。Cohen類互時頻分布可由互模糊函數(shù)表示為：P (t, f) = j j A (t , v)8 (t , v)e-j2k (tv+ft )dr dv-s -sCohen類互時頻分布同樣服從二次疊加原理。2.5.2時頻分布基本性質(zhì)與核函數(shù)的關(guān)系用核函數(shù)對模糊函數(shù)加權(quán)后，時頻分布自然會發(fā)生一些變化，因此，如果要求變化了

13、的時頻分布滿足所提出的某些基本性質(zhì)的話，核函數(shù)就應(yīng)受到某些限制：邊緣特性對核函數(shù)的要求：N。, V)= 1，(T ,0) =1總能量保持不變對核函數(shù)的要求： (0,0) = 1時頻分布實值性對核函數(shù)的要求：NT，v) = *( -T , -v)時移不變性和頻移不變性對核函數(shù)的要求：核函數(shù)與時間和頻率無關(guān)，這一特性是Cohen 類時頻分布固有特性。瞬時頻率保持性對核函數(shù)的要求：(0,v) = 1和坐=)|= 0dT 比=02.5.3 Cohen類的四種分布及其相互關(guān)系因此，Cohen類時頻分布定義式可以得到另外一種表達形式:P(t, f )=j fw (t - u,T) z (u +t / 2)

14、 z *( u -t / 2)e- jgf dudT-8 -82.5.4 Cohen類分布的類型能量化Cohen類分布：當且僅當一種時頻分布可以借助時頻卷積由Wigner-Ville分布導(dǎo)出。 相關(guān)化Cohen類分布：能量化Cohen類分布的二維Fourier變換。仿射類分布：另一類能量化Cohen類，它們能保持時間尺度和時移不變。移位-尺度不變時頻分布：同時屬于ce和ae的時頻分布，它們能保持時移、頻移和時間尺 度不變。2.5.5具有復(fù)合核的Cohen類時頻分布多值可傾斜的指數(shù)分布(MTED)： 一種具有可變通帶形狀的時頻分布，通過改變核函數(shù)的參 數(shù)，可以得到一系列不同的時頻分布，其中包括W

15、VD. CWD、廣義指數(shù)分布和多值高斯分 布等。由于固定核函數(shù)具有固定的通帶和阻帶區(qū)，所以給定一個固定核函數(shù)，總可以找出一些信號， 它們在核函數(shù)通帶內(nèi)具有明顯的交叉項能量，或在核函數(shù)阻帶內(nèi)有明顯的信號項能量。固定 核函數(shù)的局限在于它對這些信號不適用。Cohen與Posch提出了對固定核函數(shù)的改進方案:P(t, f ；。)=1 如)|2| 覽 f) |2。(牧),V( f )； S(t)。(t), V(f); s(t)是一個函數(shù)取值與信號有關(guān)的核函數(shù)。2.6.1 Wigner-Ville分布的數(shù)學(xué)性質(zhì)雖然Wigner-Ville分布對單分量LFM信號具有比其他時頻分布更好的時頻聚集性，但對于 多

16、分量信號，較嚴重的交叉項會產(chǎn)生虛假信號。Wigner-Ville分布是滿足時頻分布所期望具有的數(shù)學(xué)性質(zhì)的唯一分布。2.6.2基于Wigner-Ville分布的信號重構(gòu)離散Wigner-Ville分布的逆問題可以分解為兩個較小的逆問題：求偶數(shù)序號的樣本和求奇數(shù) 序號的樣本。2.6.3與演變譜的關(guān)系時變自相關(guān)函數(shù)：R (t具)=Ez(t +T /2)z*(t-t/2)演變譜的定義：時變自相關(guān)函數(shù)的Fourier變換。演變譜等于該信號WVD的數(shù)學(xué)期望。類似地，還可以定義互演變譜、時頻相干度等函數(shù)。2.7時頻分布的性能評價與改進時頻分布性能評價的關(guān)鍵指標：時頻聚集性和交叉項。2.7.1時頻聚集性適合用

17、作時頻聚集性評價的典型非平穩(wěn)信號為線性調(diào)頻(LFM)信號。單分量的LFM信號表示為：z(t) = e頂f0t+2mt2)一個公認的觀點是：任何一種時頻分布如果對LFM信號不能提供好的時頻聚集性，那么它 便不適合用作非平穩(wěn)信號時頻分析的工具。對于單分量LFM信號，在所有其他Cohen類時頻分布中無論怎樣選擇窗函數(shù)，都不可能給 出比Wigner-Ville分布更好的時頻聚集性。原因在于單分量LFM信號具有二次型平穩(wěn)特性。 然而對于更復(fù)雜的非平穩(wěn)信號，其二次型或雙線性乘積仍然是非平穩(wěn)的，在其時頻分布中應(yīng) 當加適當時寬的窗函數(shù)。2.7.2交叉項分析分析交叉項的影響時，常常以音調(diào)信號和LFM信號作為考查

18、對象。本書以平穩(wěn)的音調(diào)信號 為例做了分析。對于平穩(wěn)、解析的單音調(diào)信號z(t) = e，2兀帶，時頻分布P(t,f) = W (f - f ,0)。0對于多分量解析信號z(t) = ej2ft + ej2- f , f f2，兩個解析信號的交叉項綜合表現(xiàn)為P(t, f) = 2Re中(f - 44, f - f )ej2盹-撲cross2212.7.3交叉項抑制1、對于任意信號而言，欲使時頻分布的交叉項不出現(xiàn)在非信號頻率和時間處，只要給核函 數(shù)加上一下約束條件即可：| v I中(f, v) = 0, v I f I。5/、 c , , IT IW (t,T ) = 0, v 111。2這兩個約束條件的實質(zhì)：沒有消除掉時頻分