人教版七年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)20《角》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)(基礎(chǔ)版)（含答案）

1、PAGE 角（基礎(chǔ)）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1掌握角的概念及角的表示方法，并能進(jìn)行角度的互換；2. 借助三角尺畫(huà)一些特殊角，掌握角大小的比較方法；3會(huì)利用角平分線(xiàn)的意義進(jìn)行有關(guān)表示或計(jì)算；4. 掌握角的和、差、倍、分關(guān)系，并會(huì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；5. 掌握互為余角和互為補(bǔ)角的概念及性質(zhì)，會(huì)用余角、補(bǔ)角及性質(zhì)進(jìn)行有關(guān)計(jì)算；6了解方位角的概念，并會(huì)用方位角解決簡(jiǎn)單的實(shí)際問(wèn)題【要點(diǎn)梳理】【高清課堂：角 397364 角的概念】要點(diǎn)一、角的概念角的定義：（1）定義一：有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角，這個(gè)公共端點(diǎn)是角的頂點(diǎn)，這兩條射線(xiàn)是角的兩條邊如圖1所示，角的頂點(diǎn)是點(diǎn)O，邊是射線(xiàn)OA、OB圖2圖1（2）定

2、義二：一條射線(xiàn)繞著它的端點(diǎn)旋轉(zhuǎn)而形成的圖形，射線(xiàn)旋轉(zhuǎn)時(shí)經(jīng)過(guò)的平面部分是角的內(nèi)部如圖2所示，射線(xiàn)OA繞它的端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)到OB的位置時(shí)，形成的圖形叫做角，起始位置OA是角的始邊，終止位置OB是角的終邊要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）兩條射線(xiàn)有公共端點(diǎn)，即角的頂點(diǎn)；角的邊是射線(xiàn)；角的大小與角的兩邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)（2）平角與周角：如圖1所示射線(xiàn)OA繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)，當(dāng)終止位置OB和起始位置OA成一條直線(xiàn)時(shí)，所形成的角叫做平角，如圖2所示繼續(xù)旋轉(zhuǎn)，OB和OA重合時(shí)，所形成的角叫做周角2.角的表示法：角的幾何符號(hào)用“”表示，角的表示法通常有以下四種：要點(diǎn)詮釋?zhuān)河脭?shù)字或小寫(xiě)希臘字母表示角時(shí)，要在靠近角的頂點(diǎn)處加上弧線(xiàn)，且注上阿拉伯?dāng)?shù)字

3、或小寫(xiě)希臘字母3.角的畫(huà)法（1）用三角板可以畫(huà)出30、45、60、90等特殊角（2）用量角器可以畫(huà)出任意給定度數(shù)的角（3）利用尺規(guī)作圖可以畫(huà)一個(gè)角等于已知角要點(diǎn)二、角的比較與運(yùn)算1.角度制及其換算 角的度量單位是度、分、秒，把一個(gè)周角平均分成360等份，每一份就是1的角，1的為1分，記作“1”，1的為1秒，記作“1”這種以度、分、秒為單位的角的度量制，叫做角度制 1周角360，1平角180，160，160要點(diǎn)詮釋?zhuān)涸谶M(jìn)行有關(guān)度分秒的計(jì)算時(shí)，要按級(jí)進(jìn)行，即分別按度、分、秒計(jì)算，不夠減，不夠除的要借位，從高一位借的單位要化為低位的單位后再進(jìn)行運(yùn)算，在相乘或相加時(shí)，當(dāng)?shù)臀坏脭?shù)大于等于60時(shí)要向高一位

4、進(jìn)位2.角的比較：角的大小比較與線(xiàn)段的大小比較相類(lèi)似，方法有兩種方法1：度量比較法先用量角器量出角的度數(shù)，然后比較它們的大小方法2：疊合比較法把其中的一個(gè)角移到另一個(gè)角上作比較如比較AOB和AOB的大?。?如下圖，由圖（1）可得AOBAOB；由圖(2)可得AOBAOB；由圖(3)可得AOBAOB3.角的和、差關(guān)系如圖所示，AOB是1與2的和，記作：AOB1+2；1是AOB與2的差，記作：1AOB-2要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)用量角器量角和畫(huà)角的一般步驟：對(duì)中(角的頂點(diǎn)與量角器的中心對(duì)齊)；重合(一邊與刻度尺上的零度線(xiàn)重合)；讀數(shù)(讀出另一邊所在線(xiàn)的度數(shù)) (2) 利用三角板除了可以做出30、45、60、

5、90外，根據(jù)角的和、差關(guān)系，還可以畫(huà)出15，75，105，120，135，150，165的角4.角平分線(xiàn)從一個(gè)角的頂點(diǎn)出發(fā)，把這個(gè)角分成相等的兩個(gè)角的射線(xiàn)，叫做這個(gè)角的平分線(xiàn)如圖所示，OC是AOB的角平分線(xiàn)，AOB2AOC2BOC，AOCBOC =AOB要點(diǎn)詮釋?zhuān)河山瞧椒志€(xiàn)的概念產(chǎn)生的合情推理其思維框架與線(xiàn)段中點(diǎn)的思維框架一樣要點(diǎn)三、余角和補(bǔ)角1.定義：一般地，如果兩個(gè)角的和等于90(直角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為余角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角 類(lèi)似地，如果兩個(gè)角的和等于180(平角)，就說(shuō)這兩個(gè)角互為補(bǔ)角，即其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角2性質(zhì)：（1）同角（等角）的余角相等（2）同角（等角）的補(bǔ)角

6、相等要點(diǎn)詮釋?zhuān)?1)互余互補(bǔ)指的是兩個(gè)角的數(shù)量關(guān)系，互余、互補(bǔ)的兩個(gè)角只與它們的和有關(guān)，而與它們的位置無(wú)關(guān) (2)一般地，銳角的余角可以表示為(90-)，一個(gè)角的補(bǔ)角可以表示為(180-) 顯然一個(gè)銳角的補(bǔ)角比它的余角大90。要點(diǎn)四、方位角在航行和測(cè)繪等工作中，經(jīng)常要用到表示方向的角例如，圖中射線(xiàn)OA的方向是北偏東60；射線(xiàn)OB的方向是南偏西30這里的“北偏東60”和“南偏西30”表示方向的角，就叫做方位角要點(diǎn)詮釋?zhuān)海?）正東，正西，正南，正北4個(gè)方向不需要用角度來(lái)表示；（2）方位角必須以正北和正南方向作為“基準(zhǔn)”，“北偏東60”一般不說(shuō)成“東偏北30”；（3）在同一問(wèn)題中觀察點(diǎn)可能不止一個(gè)，

7、在不同的觀測(cè)點(diǎn)都要畫(huà)出表示方向的“十字線(xiàn)”，確定其觀察點(diǎn)的正東、正西、正南、正北的方向；（4）圖中的點(diǎn)O是觀測(cè)點(diǎn)，所有方向線(xiàn)(射線(xiàn))都必須以O(shè)為端點(diǎn)要點(diǎn)五、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題鐘表中共有12個(gè)大格，把周角12等分、每個(gè)大格對(duì)應(yīng)30的角，分針1分鐘轉(zhuǎn)6，時(shí)針每小時(shí)轉(zhuǎn)30，時(shí)針1分鐘轉(zhuǎn)0.5，利用這些關(guān)系，可幫助我們解決鐘表中角度的計(jì)算問(wèn)題【典型例題】類(lèi)型一、角的概念及表示1.下列語(yǔ)句正確的是 ( ) A兩條直線(xiàn)相交，組成的圖形叫做角 B兩條具有公共端點(diǎn)的線(xiàn)段組成的圖形叫做角 C兩條具有公共端點(diǎn)的射線(xiàn)組成的圖形叫做角 D過(guò)同一點(diǎn)的兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角【答案】C【解析】根據(jù)角的定義判斷【總結(jié)升華】

8、角不能僅僅看作是有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)，角的兩種描述中都隱含了組成角的一個(gè)重要元素，即兩條射線(xiàn)間的相對(duì)位置關(guān)系，這是角與“有公共端點(diǎn)的兩條射線(xiàn)”的重要區(qū)別舉一反三：【變式】判斷下列說(shuō)法是否正確 (1)兩條射線(xiàn)組成的圖形叫做角 ( ) (2)平角是一條直線(xiàn) ( ) (3)周角是一條射線(xiàn) ( )【答案】(1) (2) (3)2. 寫(xiě)出圖中(1)能用一個(gè)字母表示的角；(2)以B為頂點(diǎn)的角； (3)圖中共有幾個(gè)角(小于180). 【答案與解析】 解：(1)能用一個(gè)字母表示的角A、C (2)以B為頂點(diǎn)的角ABE、ABC、CBE (3)圖中共有7個(gè)角【總結(jié)升華】(1)頂點(diǎn)處只有一個(gè)角時(shí)，才可以用一個(gè)字母表示

9、； (2)一般數(shù)角時(shí)不包括平角和大于平角的角類(lèi)型二、角度制的換算3. (1)把25.72用度、分、秒表示； (2)把451230化成度（精確到百分位）【思路點(diǎn)撥】第(1)題中25.72中含有兩部分25和0.72，只要把0.72化成分、秒即可第(2)題中，451230含有三部分45，12和30，其中45已經(jīng)是度，只要把12和30化成度即可【答案與解析】解：(1)0.720.726043.2，0.20.26012，所以25.72254312 (2)， 所以45123045.21【總結(jié)升華】無(wú)論由高級(jí)單位向低級(jí)化還是由低級(jí)單位向高級(jí)化，都必須逐級(jí)進(jìn)行，“越級(jí)”化單位容易出錯(cuò)舉一反三：【變式】 (1)

10、把26.29轉(zhuǎn)化為度、分、秒表示的形式； (2)把332436轉(zhuǎn)化成度表示的形式【答案】解： (1)26.2926+0.2926+0.296026+17.426+17+0.4602617+24261724(2)33243633+24+3633+24+0.633+24.633+24.633.41提示：在角度的和、差運(yùn)算中應(yīng)先統(tǒng)一單位，都化成度或分、秒表示，然后再進(jìn)行計(jì)算。類(lèi)型三、角的比較與運(yùn)算4.不用量角器，比較圖1和圖2中角的大小(用“”連接)【思路點(diǎn)撥】圖1中兩角、均為銳角，因此，在不能測(cè)量的情形下，我們可以將圖中的向平移，讓與始邊重合，觀察終邊的位置來(lái)比較角的大小圖2中的三個(gè)角按角的分類(lèi)，

11、1為銳角，2為直角，3為鈍角，因此按照各自的范圍就可以將它們的大小比較出來(lái)【答案與解析】解：(1)如圖所示，將平移使的始邊與的始邊重合，發(fā)現(xiàn)落在內(nèi)部，因此 (2)由圖可知1是銳角，190，2是直角，即290，3是鈍角，即903180，因此321【總結(jié)升華】本例給出的兩題是在不用量角器測(cè)量角的情況下比較角的大小，一種方法是疊合比較法，另外一種方法則是根據(jù)角的分類(lèi)，由圖形觀察角的不同分類(lèi)，按照常見(jiàn)的銳角直角鈍角平角周角來(lái)比較大小舉一反三：【變式】已知AOB(如圖所示)，畫(huà)一個(gè)角等于這個(gè)角【答案】作法：(1)以點(diǎn)O為圓心，適當(dāng)長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，分別交OA、OB于點(diǎn)C、D； (2)畫(huà)一條射線(xiàn)OA，以點(diǎn)O為

12、圓心，OC長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧l，交OA于點(diǎn)C； (3)以點(diǎn)C為圓心，CD長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交弧l于點(diǎn)D； (4)過(guò)點(diǎn)D畫(huà)射線(xiàn)OB，則AOBAOB5. 如圖所示，已知OC平分BOD，且BOC20，OB是AOD的平分線(xiàn)，求AOD的度數(shù)【答案與解析】解：因?yàn)镺C平分BOD，且BOC20， 所以BOD2BOC=22040 又OB是AOD的平分線(xiàn)， 所以AOD2BOD24080【總結(jié)升華】應(yīng)用角的平分線(xiàn)的定義時(shí)根據(jù)兩點(diǎn)：若OB是AOC的平分線(xiàn)，則AOBBOCAOC；AOC2AOB2BOC，在解題時(shí)要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用【高清課堂：角 397364 角的有關(guān)計(jì)算例3】舉一反三：【變式】已知：如圖，OM是AOB的平分線(xiàn)，ON

13、是BOC的平分線(xiàn)，AOC=80，求：MON. 【答案】解：OM平分AOB，ON平分COB，MOB=AOB，BON=BOC.(角平分線(xiàn)的定義)MON=MOB+BON =AOB+BOC=(AOB+BOC) =AOC=80=40 .即MON=40.類(lèi)型四、余角和補(bǔ)角6.（2016春曹縣校級(jí)月考）一個(gè)角的補(bǔ)角比這個(gè)角的余角的2倍還多40，求這個(gè)角的度數(shù)【思路點(diǎn)撥】這類(lèi)題目要先設(shè)出這個(gè)角的度數(shù)設(shè)這個(gè)角為x，分別寫(xiě)出它的余角和補(bǔ)角，根據(jù)題意寫(xiě)出等量關(guān)系，解之即可得到這個(gè)角的度數(shù)【答案與解析】解：設(shè)這個(gè)角為x，則其余角為（90 x），補(bǔ)角為（180 x），依題意有180 x=2（90 x）+40，解得x=4

14、0答：這個(gè)角的度數(shù)是40【總結(jié)升華】本題考查了余角和補(bǔ)角，是基礎(chǔ)題，列出方程是解題的關(guān)鍵舉一反三：【變式】（2015金華）已知=35，則的補(bǔ)角的度數(shù)是（）A55B65C145D165【答案】C類(lèi)型五、方位角7. A看B的方向是北偏東30，那么B看A的方向是( ) A南偏東60 B南偏西60 C南偏東30 D南偏西30【答案】D【解析】依題意畫(huà)出示意圖由圖可知，圖中1即表示從A看B的北偏東30，2是從B看A的方位角由此可確定從B看A是南偏西30【總結(jié)升華】從本例的分析與結(jié)果來(lái)看，從A看B與從B看A正好是一對(duì)對(duì)立的觀察過(guò)程，其方向是一種“相反”的對(duì)應(yīng)關(guān)系方位角的確定首先以什么點(diǎn)為基點(diǎn)（即人站在此處

15、觀察）要弄清楚，再由正南或正北到視線(xiàn)夾角測(cè)量出來(lái)舉一反三：【變式】小王從家出發(fā)向南偏東30的方向走了1000米到達(dá)小軍家，此時(shí)小王家在小軍家的_方向【答案】北偏西30類(lèi)型六、鐘表上有關(guān)夾角問(wèn)題8.（2015丹東模擬）如圖是一個(gè)時(shí)鐘的鐘面，下午1點(diǎn)30分，時(shí)鐘的分針與時(shí)針?biāo)鶌A的角等于 【答案】135【解析】解：30（4+）=30=135.【總結(jié)升華】根據(jù)鐘面平均分成12份，可得每份30，根據(jù)每份的度數(shù)乘以時(shí)針與分針相距的份數(shù)，可得答案本題考查了鐘面角，每份的度數(shù)乘以時(shí)針與分針相距的份數(shù)是解題關(guān)鍵舉一反三：【變式】2時(shí)48分時(shí)針與分針的夾角【答案】解法1：如圖(2)， 設(shè)2時(shí)48分時(shí)針與分針的夾角

16、為， 所以360-(486-230-480.5) 360-204156 解法2：如圖(2) BOD304120， COD2612， AOB480.524， 所以AOCBOD+COD+AOB156即2時(shí)48分時(shí)針與分針的夾角為156【鞏固練習(xí)】一、選擇題1下面四個(gè)圖形中，能用1，AOB，O三種方法表示同一個(gè)角的圖形是( ). 2下列說(shuō)法中，錯(cuò)誤的是 ( ). A借助三角尺，我們可以畫(huà)135的角 B把一個(gè)角的兩邊都延長(zhǎng)后，所得到的角比原來(lái)的角要大 C有公共頂點(diǎn)的兩條邊組成的圖形叫做角 D兩個(gè)銳角之和是銳角、直角或鈍角3（2015株洲）已知=35，那么的余角等于（）A35B55C65D1454下列說(shuō)

17、法正確的個(gè)數(shù)為（ ）.銳角的補(bǔ)角一定是鈍角；銳角和鈍角互補(bǔ)；一個(gè)角的補(bǔ)角一定大于這個(gè)角；如果兩個(gè)角是同一個(gè)角的補(bǔ)角，那么它們相等.A650OA1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)5如圖，點(diǎn)A位于點(diǎn)O的（ ）方向上A南偏東35 B. 北偏西65 C南偏東65 D. 南偏西656鐘表上2時(shí)25分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕鞘?( ) . A 77.5 B 77 5 C 75 D 以上答案都不對(duì)7（2016春武隆縣期末）如果1與2互補(bǔ)，2與3互余，則1與3的關(guān)系是（）A1=3 B1=1803 C1=90+3 D以上都不對(duì)8. 如圖，點(diǎn)A、O、E在同一直線(xiàn)上，OADBECAOB=40，EOD=2846，OD平分CO

18、E，則COB的度數(shù)為（ ）.A. 6846 B.8232 C. 8228 D.8246二、填空題9已知的余角是354520，則的度數(shù)是_ (用度分秒表示).10已知與互補(bǔ)，且=3518，則=_.11（2015春萬(wàn)州區(qū)期末）如圖，AOC=BOD=110，若AOB=150，COD=m，則m=12鐘表8時(shí)30分時(shí)，時(shí)針與分針?biāo)傻慕菫?度.13南偏東80的射線(xiàn)與西南方向的射線(xiàn)組成的角(小于平角)的度數(shù)是 . 14（2016春濰坊校級(jí)月考）（1 ；（2）583827+474240= 15相鄰的兩個(gè)角又互為余角，則這兩個(gè)角的平分線(xiàn)夾角為 ；相鄰的兩個(gè)角又互為補(bǔ)角，則這兩個(gè)角的平

19、分線(xiàn)夾角為 .16如圖所示，將一平行四邊形紙片ABCD沿AE，EF折疊，使點(diǎn)E，B1，C1在同一條直線(xiàn)上，則AEF_ 三、解答題17如圖，已知點(diǎn)、點(diǎn)分別在的邊上，請(qǐng)根據(jù)下列語(yǔ)句畫(huà)出圖形：（1）作的余角；（2）作射線(xiàn)與相交于點(diǎn)；（3）取的中點(diǎn)，連接. 18.（2015春黃岡校級(jí)期中）如圖，A點(diǎn)在B處的北偏東40方向，C點(diǎn)在B處的北偏東85方向，A點(diǎn)在C處的西北方向，求ABC及BCA的度數(shù)19如圖所示，五條射線(xiàn)OA、OB、OC、OD、OE組成的圖形中共有幾個(gè)角?如果從O點(diǎn)引出n條射線(xiàn)，能有多少個(gè)角?你能找出規(guī)律嗎?20.（2016春?jiǎn)|市月考）如圖，AOB=90，AOC是銳角，OD平分BOC，OE平分AOC求DOE的度數(shù)【答案與解析】一、選擇題1【答案】B 【解析】A選項(xiàng)不能用O表示，C選項(xiàng)不能用O表示，D選項(xiàng)不能用AOB表示2【答案】B 【解析】借助三角尺能畫(huà)出15n(n為正整數(shù))的角，角的大小與邊的長(zhǎng)短無(wú)關(guān)，兩個(gè)銳角的和可能是銳角、直角、鈍角3. 【答案】B 4【答案】B 【解析】正確5. 【答案】B6.