高中總復習理科數(shù)學配人教A版(老高考舊教材)配套PPT課件6.2　等差數(shù)列及其前n項和

1、6.2等差數(shù)列及其前n項和 -2-知識梳理雙基自測23411.等差數(shù)列(1)定義:一般地,如果一個數(shù)列從起,每一項與它的前一項的等于,那么這個數(shù)列就叫做等差數(shù)列,這個常數(shù)叫做等差數(shù)列的,公差通常用字母d表示.數(shù)學語言表示為(nN*),d為常數(shù).(2)等差中項:數(shù)列a,A,b成等差數(shù)列的充要條件是,其中A叫做a,b的.(3)等差數(shù)列的通項公式:an=,可推廣為an=.第2項 差 同一個常數(shù) 公差 an+1-an=d 等差中項 a1+(n-1)d am+(n-m)d -3-知識梳理雙基自測23412.等差數(shù)列及其前n項和的性質(zhì)(1)若m+n=p+q,則(m,n,p,qN*);m+n=2p,則am+

2、an=2ap(m,n,pN*).(2)若an是等差數(shù)列,公差為d,則ak,ak+m,ak+2m,(k,mN*)是公差為的等差數(shù)列.(3)若an,bn是等差數(shù)列,p,qR,則pan+qbn也是等差數(shù)列.(4)設Sn是等差數(shù)列an的前n項和,則數(shù)列也是數(shù)列.(5)若等差數(shù)列an的前n項和為Sn,則S2n-1=(2n-1)an.(6)若n為偶數(shù),則 ;若n為奇數(shù),則S奇-S偶=a中(中間項).am+an=ap+aq md 等差 -4-知識梳理雙基自測23413.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式與函數(shù)的關系(1)an=a1+(n-1)d可化為an=dn+a1-d的形式.當d0時,an是關于n的一次函數(shù)

3、;當d0時,數(shù)列an為遞增數(shù)列;當d0,d0,則Sn存在最值;若a10,則Sn存在最值.大 小 2-6-知識梳理雙基自測34151.下列結論正確的打“”,錯誤的打“”.(1)若一個數(shù)列從第2項起,每一項與它的前一項的差都是常數(shù),則這個數(shù)列是等差數(shù)列. ()(2)已知數(shù)列an的通項公式是an=pn+q(其中p,q為常數(shù)),則數(shù)列an一定是等差數(shù)列. ()(3)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是其通項公式為n的一次函數(shù). ()(4)數(shù)列an為等差數(shù)列的充要條件是對任意nN*,都有2an+1=an+an+2. ()(5)等差數(shù)列an的單調(diào)性是由公差d決定的. ()(6)等差數(shù)列的前n項和公式是常數(shù)項為0

4、的二次函數(shù). () -7-知識梳理雙基自測234152.張丘建算經(jīng)是我國古代內(nèi)容極為豐富的數(shù)學名著,書中有如下問題:“今有女不善織,日減功遲,初日織五尺,末日織一尺,今共織九十尺,問織幾日?”.已知“日減功遲”的具體含義是每天比前一天少織同樣多的布,則此問題的答案是()A.25日B.40日C.35日D.30日 答案解析解析關閉 答案解析關閉-8-知識梳理雙基自測234153.設Sn是等差數(shù)列an的前n項和,若a10+a11+a12=6,則S21=()A.42B.21C.23D.44 答案解析解析關閉 答案解析關閉-9-知識梳理雙基自測234154.(2017全國,理4)記Sn為等差數(shù)列an的前

5、n項和.若a4+a5=24,S6=48,則an的公差為()A.1B.2C.4D.8 答案解析解析關閉 答案解析關閉-10-知識梳理雙基自測234155.記等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若a3=0,a6+a7=14,則S7=. 答案解析解析關閉 答案解析關閉-11-考點1考點2考點3考點4例1(1)在等差數(shù)列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,則公差d的值是()A.4B.3C.1D.2(2)設等差數(shù)列an的前n項和為Sn,若Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,則m等于()A.3B.4C.5D.6思考求等差數(shù)列基本量的一般方法是什么?C B-12-考點1考點2考點3考點4(2)(方法

6、一)由已知得,am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,數(shù)列an為等差數(shù)列,d=am+1-am=1,m0,a1=-2,又am=a1+(m-1)d=2,解得m=5.解析: (1)在等差數(shù)列an中,a4=2,且a1+a2+a10=65,公差d的值是3.故選B.-13-考點1考點2考點3考點4(方法二)由Sm-1=-2,Sm=0,Sm+1=3,得am=Sm-Sm-1=2,am+1=Sm+1-Sm=3,則等差數(shù)列的公差為d=am+1-am=3-2=1.-14-考點1考點2考點3考點4-15-考點1考點2考點3考點4解題心得1.等差數(shù)列運算問題的一般求法是設出首項a1和公差d,然后由通項公

7、式或前n項和公式轉化為方程(組)求解.2.等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1,an,d,n,Sn,已知其中三個就能求出另外兩個,體現(xiàn)了用方程組解決問題的思想.3.減少運算量的設元的技巧,若三個數(shù)成等差數(shù)列,可設這三個數(shù)為a-d,a,a+d;若四個數(shù)成等差數(shù)列,可設這四個數(shù)為a-3d,a-d,a+d, a+3d.-16-考點1考點2考點3考點4對點訓練1(1)已知等差數(shù)列an前9項的和為27,a10=8,則a100=()A.100B.99C.98D.97(2)設Sn為等差數(shù)列an的前n項和,a12=-8,S9=-9,則S16=.-72 C -17-考點1考點2考點3考點4-18-考

8、點1考點2考點3考點4-19-考點1考點2考點3考點4例2數(shù)列an滿足a1=1,a2=2,an+2=2an+1-an+2.(1)設bn=an+1-an,證明bn是等差數(shù)列;(2)求an的通項公式.思考判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的基本方法有哪些?-20-考點1考點2考點3考點4(1)證明 由an+2=2an+1-an+2得an+2-an+1=an+1-an+2,即bn+1=bn+2.又b1=a2-a1=1,所以bn是首項為1,公差為2的等差數(shù)列.(2)解 由(1)得bn=1+2(n-1)=2n-1,即an+1-an=2n-1.所以an+1-a1=n2,即an+1=n2+a1.又a1=1,所以an的通

9、項公式為an=n2-2n+2.-21-考點1考點2考點3考點4解題心得等差數(shù)列的判定方法:(1)證明數(shù)列an為等差數(shù)列的基本方法有兩種:利用等差數(shù)列的定義證明,即證明an+1-an=d(nN*);利用等差中項證明,即證明an+2+an=2an+1(nN*).(2)解答選擇題、填空題時,也可用通項公式或前n項和公式直接判斷:通項法:若數(shù)列an的通項公式為n的一次函數(shù),即an=An+B,則an是等差數(shù)列.前n項和法:若數(shù)列an的前n項和Sn可以化為Sn=An2+Bn的形式(A,B是常數(shù)),則an是等差數(shù)列.(3)判斷一個數(shù)列不是等差數(shù)列,只需說明某連續(xù)三項(如前三項)不是等差數(shù)列即可.-22-考點

10、1考點2考點3考點4對點訓練2設數(shù)列an的前n項和為Sn,且Sn=2n-1.數(shù)列bn滿足b1=2,bn+1-2bn=8an.(1)求數(shù)列an的通項公式;-23-考點1考點2考點3考點4-24-考點1考點2考點3考點4 答案解析解析關閉 答案解析關閉-25-考點1考點2考點3考點4考向二等差數(shù)列前n項和的性質(zhì)的應用例4在等差數(shù)列an中,前m項的和為30,前2m項的和為100,則前3m項的和為.思考本例題應用什么性質(zhì)求解比較簡便? 答案解析解析關閉 答案解析關閉-26-考點1考點2考點3考點4解題心得1.利用等差數(shù)列項的性質(zhì)解決基本量的運算體現(xiàn)了整體求值思想,應用時常將an+am=2ap(m+n=

11、2p,m,n,pN*)與am+an=ap+aq(m+n=p+q,m,n,p,qN*)相結合,可減少運算量.2.在等差數(shù)列an中,依據(jù)題意應用其前n項和的性質(zhì)解題能比較簡便地求出結果,常用的性質(zhì)有:在等差數(shù)列an中,數(shù)列-27-考點1考點2考點3考點4對點訓練3(1)已知等差數(shù)列an的前17項和S17=51,則a5-a7+a9-a11+a13等于()A.3B.6C.17D.51(2)已知等差數(shù)列an,bn的前n項和分(3)在等差數(shù)列an中,其前n項和為Sn,S3=9,S6=36,則a7+a8+a9=.A D 45 -28-考點1考點2考點3考點4-29-考點1考點2考點3考點4(3)an為等差數(shù)

12、列,S3,S6-S3,S9-S6成等差數(shù)列.2(S6-S3)=S3+(S9-S6).a7+a8+a9=S9-S6=2(S6-S3)-S3=2(36-9)-9=45.-30-考點1考點2考點3考點4例5在等差數(shù)列an中,已知a1=20,前n項和為Sn,且S10=S15,求當n取何值時,Sn取得最大值,并求出它的最大值.思考求等差數(shù)列前n項和的最值有哪些方法?-31-考點1考點2考點3考點4-32-考點1考點2考點3考點4nN*,當n=12或n=13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.又由S10=S15得a11+a12+a13+a14+a15=0.5a13=0,即a13=0.當n=

13、12或n=13時,Sn有最大值,且最大值為S12=S13=130.-33-考點1考點2考點3考點4解題心得求等差數(shù)列前n項和Sn最值的三種方法:(1)函數(shù)法:將等差數(shù)列的前n項和Sn=An2+Bn(A,B為常數(shù))看做二次函數(shù),根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值.(2)鄰項變號法:利用等差數(shù)列的單調(diào)性,求出其正負轉折項,當利用性質(zhì)求出其正負轉折項,便可求得前n項和的最值.-34-考點1考點2考點3考點4對點訓練4(1)等差數(shù)列an的前n項和為Sn,已知a5+a7=4,a6+a8= -2,則當Sn取最大值時,n的值是()A.5B.6C.7D.8(2)設數(shù)列an是公差d0,a7=-10;又數(shù)列an是等差數(shù)列,因此在該數(shù)列中,前6項均為正數(shù),自第7項起以后各項均為負數(shù),于是當Sn取最大值時,n=6,故選B.(2)由題意,得S6=6a1+15d=5a1+10d,a6=0,故當n=5或n=6時,Sn最大,故選C. 答案解析關閉(1)B(2)C-35-思想方法整體思想在等差數(shù)列中的應用整體思想,就是在研究和解決有關數(shù)學問題時,通過研究問題的整體形式、整體結構、整體特征,從而對問題進行整體處理的解題方法.從整體上去認識問題、思考問題,常常能化繁為簡、變難為易,同時又能培養(yǎng)學生思維的靈活性、敏捷性.整體思想的主要表現(xiàn)形式有:整體代入、整體加減、整體代換、整體聯(lián)想、整體補形、整體改造等.在等差