人教版八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)01《與三角形有關(guān)的線段》知識(shí)講解+鞏固練習(xí)(提高版)（含答案）

1、PAGE 與三角形有關(guān)的線段（提高）知識(shí)講解【學(xué)習(xí)目標(biāo)】1. 理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號(hào)語(yǔ)言及圖形表述方法；毛2. 理解并會(huì)應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系；3. 理解三角形的高、中線、角平分線及重心的概念，學(xué)會(huì)它們的畫(huà)法及簡(jiǎn)單應(yīng)用；4. 對(duì)三角形的穩(wěn)定性有所認(rèn)識(shí)，知道這個(gè)性質(zhì)有廣泛的應(yīng)用【要點(diǎn)梳理】要點(diǎn)一、三角形的定義及分類1. 定義： 由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形 要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的基本元素：三角形的邊：即組成三角形的線段；三角形的角：即相鄰兩邊所組成的角叫做三角形的內(nèi)角，簡(jiǎn)稱三角形的角； 三角形的頂點(diǎn)：即相鄰兩邊的公共端點(diǎn).（2）三

2、角形定義中的三個(gè)要求：“不在同一條直線上”、“三條線段”、“首尾順次相接”.(3) 三角形的表示：三角形用符號(hào)“”表示，頂點(diǎn)為A、B、C的三角形記作“ABC”，讀作“三角形ABC”，注意單獨(dú)的沒(méi)有意義；ABC的三邊可以用大寫(xiě)字母AB、BC、AC來(lái)表示，也可以用小寫(xiě)字母a、b、c來(lái)表示，邊BC用a表示，邊AC、AB分別用b、c表示【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段 2、三角形的分類 】2三角形的分類(1)按角分類：要點(diǎn)詮釋：銳角三角形：三個(gè)內(nèi)角都是銳角的三角形;鈍角三角形：有一個(gè)內(nèi)角為鈍角的三角形.(2)按邊分類：要點(diǎn)詮釋：等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形，相等的兩邊都叫做腰，另外一邊

3、叫做底邊，兩腰的夾角叫頂角，腰與底邊夾角叫做底角;等邊三角形：三邊都相等的三角形.要點(diǎn)二、三角形的三邊關(guān)系定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.推論：三角形任意兩邊的的差小于第三邊.要點(diǎn)詮釋：（1）理論依據(jù)：兩點(diǎn)之間線段最短.（2）三邊關(guān)系的應(yīng)用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長(zhǎng)之和大于最長(zhǎng)線段的長(zhǎng)，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形當(dāng)已知三角形兩邊長(zhǎng)，可求第三邊長(zhǎng)的取值范圍（3）證明線段之間的不等關(guān)系.要點(diǎn)三、三角形的高、中線與角平分線1三角形的高從三角形的一個(gè)頂點(diǎn)向它的對(duì)邊所在直線作垂線，頂點(diǎn)和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡(jiǎn)稱三角形的高三角形的高的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：

4、如下圖，AD是ABC的高，或AD是ABC的BC邊上的高，或ADBC于D，或ADBADC90.注意：AD是ABC的高ADBADC90(或ADBC于D)；要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的高是線段；（2）三角形有三條高，且相交于一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫做三角形的垂心；（3）三角形的三條高：()銳角三角形的三條高在三角形內(nèi)部，三條高的交點(diǎn)也在三角形內(nèi)部；()鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點(diǎn)在三角形的外部；()直角三角形三條高的交點(diǎn)是直角的頂點(diǎn).2三角形的中線三角形的一個(gè)頂點(diǎn)與它的對(duì)邊中點(diǎn)的連線叫三角形的中線三角形的中線的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如下圖，AD是ABC的中線或AD是ABC的BC邊上的中線或BDCDBC.要

5、點(diǎn)詮釋：（1）三角形的中線是線段；(2)三角形三條中線全在三角形內(nèi)部；(3)三角形三條中線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫三角形的重心；(4)中線把三角形分成面積相等的兩個(gè)三角形.3三角形的角平分線三角形一個(gè)內(nèi)角的平分線與它的對(duì)邊相交，這個(gè)角的頂點(diǎn)與交點(diǎn)之間的線段叫做三角形的角平分線.三角形的角平分線的數(shù)學(xué)語(yǔ)言：如下圖，AD是ABC的角平分線，或BADCAD且點(diǎn)D在BC上.注意：AD是ABC的角平分線BADDACBAC (或BAC2BAD2DAC) .要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的角平分線是線段；（2）一個(gè)三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內(nèi)部； （3）三角形三條角平分線交于三角形內(nèi)部一點(diǎn)，這一點(diǎn)叫

6、做三角形的內(nèi)心；（4）可以用量角器或圓規(guī)畫(huà)三角形的角平分線.要點(diǎn)四、三角形的穩(wěn)定性 三角形的三條邊確定后，三角形的形狀和大小就確定不變了，這個(gè)性質(zhì)叫做三角形的穩(wěn)定性. 要點(diǎn)詮釋：（1）三角形的形狀固定是指三角形的三個(gè)內(nèi)角不會(huì)改變，大小固定指三條邊長(zhǎng)不改變（2）三角形的穩(wěn)定性在生產(chǎn)和生活中很有用例如，房屋的人字梁具有三角形的結(jié)構(gòu)，它就堅(jiān)固而穩(wěn)定；在柵欄門(mén)上斜著釘一條(或兩條)木板，構(gòu)成一個(gè)三角形，就可以使柵欄門(mén)不變形大橋鋼架、輸電線支架都采用三角形結(jié)構(gòu)，也是這個(gè)道理（3）四邊形沒(méi)有穩(wěn)定性，也就是說(shuō)，四邊形的四條邊長(zhǎng)確定后，不能確定它的形狀，它的各個(gè)角的大小可以改變四邊形的不穩(wěn)定性也有廣泛應(yīng)用，如

7、活動(dòng)掛架，伸縮尺有時(shí)我們又要克服四邊形的不穩(wěn)定性，如在門(mén)框未安好之前，先在門(mén)框上斜著釘一根木板，使它不變形【典型例題】類型一、三角形的定義及表示1若有一條公共邊的兩個(gè)三角形稱為一對(duì)“共邊三角形”，則下圖中以BC為公共邊的“共邊三角形”有（ ）. A2對(duì)； B3對(duì)； C4對(duì)； D6對(duì)； 【答案】B.【解析】以BC為公共邊的“共邊三角形”有：BDC與BEC、BDC與BAC、BEC與BAC三對(duì)【總結(jié)升華】根據(jù)新定義和已學(xué)過(guò)的知識(shí)，全面準(zhǔn)確的識(shí)圖舉一反三：【變式】根據(jù)下圖所示的形、三個(gè)圖所表示的規(guī)律，依次下去第n個(gè)圖中的三角形的個(gè)數(shù)是( ). A6(n-1) B6n C6(n+1) D12n【答案】C

8、.類型二、三角形的三邊關(guān)系2.（2016春丹陽(yáng)市期末）若三角形的三邊長(zhǎng)分別為a、b、5，其中a、b為正整數(shù)，且ab5，則所有滿足條件的三角形共有 個(gè)【思路點(diǎn)撥】根據(jù)已知條件，得a的可能值是1，2，3，4，5，再結(jié)合三角形的三邊關(guān)系，對(duì)應(yīng)求得b的值即可【答案與解析】解：三角形的三邊a、b、5的長(zhǎng)都是整數(shù)，且ab5，c最大為5，a=1，b=5，c=5；a=2，b=4，或5，c=5；a=3，b=3，或4，或5，c=5；a=4，b=4，或5，c=5；a=5，b=5，c=5故存在以a、b、5為三邊長(zhǎng)的三角形的個(gè)數(shù)為9個(gè)【總結(jié)升華】考查了三角形三邊關(guān)系，此題要注意根據(jù)“三角形的任意兩邊之和大于第三邊，任意

9、兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行分析計(jì)算舉一反三：【變式】三角形的三邊長(zhǎng)為2，x-3，4，且都為整數(shù)，則共能組成 個(gè)不同的三角形.當(dāng)x為 時(shí)，所組成的三角形周長(zhǎng)最大.【答案】三；8 (由三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，有4-2x-34+2，解得5x9，因?yàn)閤為整數(shù)，故x可取6，7，8；當(dāng)x=8時(shí)，組成的三角形周長(zhǎng)最大為11).3.如圖，O是ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接OB和OC (1)你能說(shuō)明OB+OCAB+AC的理由嗎? (2)若AB5，AC6，BC7，你能寫(xiě)出OB+OC的取值范圍嗎?【答案與解析】解：(1)如圖，延長(zhǎng)BO交AC于點(diǎn)E，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系可以得到，在ABE中，AB+AEBE；在

10、EOC中，OE+ECOC，兩不等式相加，得AB+AE+OE+ECBE+OC由圖可知，AE+ECAC，BEOB+OE 所以AB+AC+OEOB+OC+OE，即OB+OCAB+AC(2)因?yàn)镺B+OCBC，所以O(shè)B+OC7又因?yàn)镺B+OCAB+AC，所以O(shè)B+OC11，所以7OB+OC11【總結(jié)升華】三角形邊的關(guān)系經(jīng)常用來(lái)證明線段之間的不等關(guān)系舉一反三：【變式】（2015春邗江區(qū)校級(jí)月考）已知a、b、c為ABC的三邊，則化簡(jiǎn)|a+b+c|abc|ab+c|a+bc|=【答案】0. 解：|a+b+c|abc|ab+c|a+bc|，=（a+b+c）（a+b+c）（ab+c）（a+bc），=a+b+c+

11、abca+bcab+c，=0.類型三、三角形中的重要線段4.在ABC中，ABAC，AC邊上的中線BD把ABC的周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，求三角形的各邊長(zhǎng)【思路點(diǎn)撥】因?yàn)橹芯€BD的端點(diǎn)D是AC邊的中點(diǎn)，所以ADCD，造成兩部分不等的原因是BC邊與AB、AC邊不等，故應(yīng)分類討論【答案與解析】 解：如圖(1)，設(shè)ABx，ADCD (1)若AB+AD12，即，所以x8， 即ABAC8，則CD4故BC15-411 此時(shí)AB+ACBC所以三邊長(zhǎng)為8，8，11 (2)如圖(2)，若AB+AD15，即，所以x10 即ABAC10，則CD5故BC12-57 顯然此時(shí)三角形存在，所以三邊長(zhǎng)為10，10，7

12、 綜上所述此三角形的三邊長(zhǎng)分別為8，8，11或10，10，7【總結(jié)升華】BD把ABC的周長(zhǎng)分為12cm和15cm兩部分，哪部分是12cm，哪部分是15cm，問(wèn)題中沒(méi)有交代，因此，必須進(jìn)行分類討論【高清課堂：與三角形有關(guān)的線段 例5、】舉一反三：【變式】有一塊三角形優(yōu)良品種試驗(yàn)田，現(xiàn)引進(jìn)四個(gè)品種進(jìn)行對(duì)比試驗(yàn)，需將這塊土地分成面積相等的四塊，請(qǐng)你制定出兩種以上的方案供選擇.【答案】解：方案1：如圖（1），在BC上取D、E、F，使BD=ED=EF=FC，連接AE、ED、AF方案2：如答圖(2)，分別取AB、BC、CA的中點(diǎn)D、E、F，連接DE、EF、DF方案3：如答圖(3)，取BC中點(diǎn)D、再取AD的

13、中點(diǎn)E，連接AD、DE、BE、CE方案2：如答圖(4)，在 AB取點(diǎn) D，使DC2BD，連接AD，再取AD的三等分點(diǎn)E、F，連接CE、CF類型四、三角形的穩(wěn)定性5. 如圖是一種流行的衣帽架，它是用木條（四長(zhǎng)四短）構(gòu)成的幾個(gè)連續(xù)的菱形（四條邊都相等），每一個(gè)頂點(diǎn)處都有一個(gè)掛鉤（連在軸上），不僅美觀，而且實(shí)用，你知道它能收縮的原因和固定方法嗎？【答案與解析】解：這種衣帽架能收縮是利用四邊形的不穩(wěn)定性，可以根據(jù)需要改變掛鉤間的距離.它的固定方法是：任選兩個(gè)不在同一木條上的頂點(diǎn)固定就行了.【總結(jié)升華】要使物體具有穩(wěn)定性，應(yīng)做成三角形，否則做成四邊形、五邊形等等.舉一反三：【變式】（秋仙桃校級(jí)月考）（1

14、）下列圖中具有穩(wěn)定性是 （填序號(hào)）（2）對(duì)不具穩(wěn)定性的圖形，請(qǐng)適當(dāng)?shù)靥砑泳€段，使之具有穩(wěn)定性【答案】解：（1）具有穩(wěn)定性的是三個(gè)（2）如圖所示：與三角形有關(guān)的線段(提高)鞏固練習(xí)【鞏固練習(xí)】一、選擇題1如果三條線段的比是：1:3:4；1:2:3；1:4:6；3:3:6；6:6:10；3:4:5，其中可構(gòu)成三角形的有( ) A1個(gè) B2個(gè) C3個(gè) D4個(gè)2一個(gè)三角形的周長(zhǎng)是偶數(shù)，其中的兩條邊分別為5和9，則滿足上述條件的三角形個(gè)數(shù)為 ( ) A2個(gè) B4個(gè) C6個(gè) D8個(gè)3（2016春成安縣期末）下列說(shuō)法正確的是（）三角形的三條中線都在三角形內(nèi)部；三角形的三條角平分線都在三角形內(nèi)部；三角形三條高

15、都在三角形的內(nèi)部ABCD4如圖，ACBC，CDAB，DEBC，則下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是 ( ) A在ABC中，AC是BC邊上的高 B在BCD中，DE是BC邊上的高 C在ABE中，DE是BE邊上的高D在ACD中，AD是CD邊上的高5（2015春南長(zhǎng)區(qū)期中）有4根小木棒，長(zhǎng)度分別為3cm、5cm、7cm、9cm任意取其中的3根小木棒首尾相接搭三角形，可搭出不同的三角形的個(gè)數(shù)為（）A2個(gè)B3個(gè)C4個(gè)D5個(gè)6給出下列圖形： 其中具有穩(wěn)定性的是( ) A B C D7如圖所示為一張方格紙，紙上有一灰色三角形，其頂點(diǎn)均位于某兩網(wǎng)格線的交點(diǎn)上，若灰色三角形面積為平方公分，則此方格紙的面積為多少平方公分? ( )

16、 A11 B12 C13 D148.王師傅用4根木條釘成一個(gè)四邊形木架如圖所示，要使這個(gè)木架不變形，他至少要再釘上幾根木條?( )A0根 B1根 C2根 D3根二、填空題9（春渝北區(qū)期末）對(duì)面積為1的ABC進(jìn)行以下操作：分別延長(zhǎng)AB、BC、CA至點(diǎn)A1、B1、C1，使得A1B=2AB，B1C=2BC，C1A=2CA，順次連接A1、B1、C1，得到A1B1C1（如圖所示），記其面積為S1現(xiàn)再分別延長(zhǎng)A1B1、B1C1、C1A1至點(diǎn)A2、B2、C2，使得A2B1=2A1B1，B2C1=2B1C1，C2A1=2C1A1，順次連接A2、B2、C2，得到A2B2C2，記其面積為S2，則S2= 10三角形

17、的兩邊長(zhǎng)分別為5 cm和12 cm，第三邊與前兩邊中的一邊相等，則三角形的周長(zhǎng)為_(kāi)11（2016春丹陽(yáng)市校級(jí)期中）如圖，ADBC于D，那么圖中以AD為高的三角形有個(gè)12.在數(shù)學(xué)活動(dòng)中，小明為了求的值(結(jié)果用n表示)，設(shè)計(jì)了如圖所示的幾何圖形請(qǐng)你利用這個(gè)幾何圖形求_13請(qǐng)你觀察下圖的變化過(guò)程，說(shuō)明四邊形的四條邊一定時(shí)，其面積_確定(填“能”或“不能”)14如圖，是用四根木棒搭成的平行四邊形框架，AB8cm，AD6cm，使AB固定，轉(zhuǎn)動(dòng)AD，當(dāng)DAB_時(shí)，ABCD的面積最大，最大值是_三、解答題15草原上有4口油井，位于四邊形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)上，如圖所示，如果現(xiàn)在要建一個(gè)維修站H，試問(wèn)H建在何處

18、，才能使它到4口油井的距離之和HA+HB+HC+HD為最小，說(shuō)明理由16取一張正方形紙片，把它裁成兩個(gè)等腰直角三角形，取出其中一張如圖，再沿著直角邊上的中線AD按圖所示折疊，則AB與DC相交于點(diǎn)G試問(wèn)：AGC和BGD的面積哪個(gè)大?為什么?17. 已知AD是ABC的高，BAD70，CAD20，（1）求BAC的度數(shù)（2）ABC是什么三角形18. （春西城區(qū)期末）閱讀下列材料：某同學(xué)遇到這樣一個(gè)問(wèn)題：如圖1，在ABC中，AB=AC，BD是ABC的高P是BC邊上一點(diǎn)，PM，PN分別與直線AB，AC垂直，垂足分別為點(diǎn)M，N求證：BD=PM+PN他發(fā)現(xiàn)，連接AP，有SABC=SABP+SACP，即ACBD

19、=ABPM+ACPN由AB=AC，可得BD=PM+PN他又畫(huà)出了當(dāng)點(diǎn)P在CB的延長(zhǎng)線上，且上面問(wèn)題中其他條件不變時(shí)的圖形，如圖2所示他猜想此時(shí)BD，PM，PN之間的數(shù)量關(guān)系是：BD=PNPM請(qǐng)回答：（1）請(qǐng)補(bǔ)全以下該同學(xué)證明猜想的過(guò)程；證明：連接APSABC=SAPC ，ACBD=AC AB AB=AC，BD=PNPM（2）參考該同學(xué)思考問(wèn)題的方法，解決下列問(wèn)題：在ABC中，AB=AC=BC，BD是ABC的高P是ABC所在平面上一點(diǎn)，PM，PN，PQ分別與直線AB，AC，BC垂直，垂足分別為點(diǎn)M，N，Q如圖3，若點(diǎn)P在ABC的內(nèi)部，則BD，PM，PN，PQ之間的數(shù)量關(guān)系是： ；若點(diǎn)P在如圖4所

20、示的位置，利用圖4探究得出此時(shí)BD，PM，PN，PQ之間的數(shù)量關(guān)系是： 【答案與解析】一、選擇題1. 【答案】B；【解析】根據(jù)兩邊之和大于第三邊：滿足.2. 【答案】B；【解析】5+914，所以第三邊長(zhǎng)應(yīng)為偶數(shù)，大于4而小于14的偶數(shù)有4個(gè)，所以3. 【答案】B； 【解析】、正確；而對(duì)于三角形三條高：銳角三角形的三條高在三角形的內(nèi)部；直角三角形有兩條高在邊上；鈍角三角形有兩條高在外部，故錯(cuò)誤4. 【答案】C； 【解析】三角形高的定義.5. 【答案】B； 【解析】解：可搭出不同的三角形為：3cm、5cm、7cm；3cm、5cm、9cm；3cm、7cm、9cm；5cm、7cm、9cm共4個(gè)，其中3

21、cm、5cm、9cm不能組成三角形，故選B6. 【答案】C； 【解析】均是由三角形構(gòu)成的圖形，具有穩(wěn)定性.7. 【答案】B； 【解析】設(shè)每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為a，則有16a24 a2 a23 a2 a24 aa2，解得a2，而整個(gè)方格紙的面積為16a212（平方公分）.8. 【答案】B；二、填空題9. 【答案】361； 【解析】解：連接A1C，根據(jù)A1B=2AB，得到：AB：A1A=1：3，因而若過(guò)點(diǎn)B，A1作ABC與AA1C的AC邊上的高，則高線的比是1：3，因而面積的比是1：3，則A1BC的面積是ABC的面積的2倍，設(shè)ABC的面積是a，則A1BC的面積是2a，同理可以得到A1B1C的面積是A1BC面積的2倍，是4a，則A1B1B的面積是6a，同理B1C1C和A1C1A的面積都是6a，A1B1C1的面積是19a，即A1B1C1的面積是ABC的面積的19倍，同理A2B2C2的面積是A1B1C1的面積的19倍，S2=19191=361故答案為：36110.【答案】29cm；11.【答案】6；12【答案】； 【答案】解：如圖所示，設(shè)大三角形的面積為1，然后不斷地按順序作出各個(gè)三角形的中線，根據(jù)三角形的中線把它分成兩個(gè)面積相等的三角形可知，表示組成面積為1的大三角形的n個(gè)小三角形的面積之和，因此13