復(fù)變函數(shù)與積分變換教學(xué)課件版6.2共形映射的基本問題

1、6.2 共形映射的基本問題 一、問題一 二、問題二(基本問題) 第1頁，共19頁。一、問題一 的函數(shù) 求象集合 對于給定的區(qū)域 D 和定義在區(qū)域 D 上 1. 保域性定理 定理 設(shè)函數(shù) 在區(qū)域 D 內(nèi)解析，且不恒為常數(shù)， 則其象集合 仍然為區(qū)域。 證明 (略) 意義 保域性定理將解析函數(shù)的象集合的求解問題變成了 求象區(qū)域的問題。 P140定理 6.2 第2頁，共19頁。一、問題一 2. 邊界對應(yīng)原理 定理 設(shè)區(qū)域 D 的邊界為簡單閉曲線 C，函數(shù) 在閉域 上解析，且將曲線 C 雙方單值地映射為簡單 閉曲線 當(dāng) 沿 C 的正向繞行時，相應(yīng)的 的繞行 方向定為 的正向， 并令 G 是以 為邊界的區(qū)

2、域，則 將 D 共形映射為 G。 證明 (略) P140定理 6.3 第3頁，共19頁。意義 邊界對應(yīng)原理進一步將解析函數(shù)的象區(qū)域的求解問題 變成了求象曲線的問題。一、問題一 2. 邊界對應(yīng)原理 定理 設(shè)區(qū)域 D 的邊界為簡單閉曲線 C，函數(shù) 在閉域 上解析，且將曲線 C 雙方單值地映射為簡單 閉曲線 當(dāng) 沿 C 的正向繞行時，相應(yīng)的 的繞行 方向定為 的正向， 并令 G 是以 為邊界的區(qū)域，則 將 D 共形映射為 G。 第4頁，共19頁。一、問題一 3. 求象區(qū)域的一般方法 則有 設(shè)函數(shù) 在閉域 上解析，且為一一映射。 (1) 令 ( A ) ( B ) (2) 求邊界曲線 C 的象曲線 即

3、得象曲線 的方程 (參數(shù)式) 若 C 的方程為 (參數(shù)式) 由(A) 式 補 第5頁，共19頁。由(B) 式 即得象曲線 的方程 (方程式) 若 C 的方程為 (方程式) 一、問題一 3. 求象區(qū)域的一般方法 則有 設(shè)函數(shù) 在閉域 上解析，且為一一映射。 (1) 令 ( A ) ( B ) (2) 求邊界曲線 C 的象曲線 第6頁，共19頁。(3) 求象區(qū)域 . 方法一 沿邊界 C 的正向找三點，考察象點的走向。 方法二 在區(qū)域 D 的內(nèi)部找一點，考察象點的位置。 注意 對于具體的函數(shù)，將還會有一些特殊的方法。 一、問題一 3. 求象區(qū)域的一般方法 則有 設(shè)函數(shù) 在閉域 上解析，且為一一映射。

4、 (1) 令 ( A ) ( B ) (2) 求邊界曲線 C 的象曲線 第7頁，共19頁。(1) 由 有 解 則有 令 第8頁，共19頁。(1) 解 (2) 求邊界曲線 C 的象曲線 由(1) 式 即得象曲線 的方程為 曲線 C 的方程為 第9頁，共19頁。(1) 解 (2) 求邊界曲線 C 的象曲線 (3) 求象區(qū)域 . 代入函數(shù) 在 D 的內(nèi)部取一點 方法一 得到象點 故象區(qū)域 G 在曲線 的“內(nèi)部”。 第10頁，共19頁。(1) 解 (2) 求邊界曲線 C 的象曲線 (3) 求象區(qū)域 . 在 D 的邊界上取三點： 方法二 故象區(qū)域 G 在曲線 的“內(nèi)部”。 后續(xù)討論 將會看到 僅此一步

5、就足夠了 第11頁，共19頁。解 設(shè)區(qū)域 D 的邊界為 C ， 其中 (1) 在 的映射下， 曲線 C 對應(yīng)的 其中 象曲線 的方程為 即得象區(qū)域 G 如圖所示。 則 C 的方程為 第12頁，共19頁。曲線 C 對應(yīng)的 其中 象曲線 的方程為 即得象區(qū)域 G 如圖所示。 (2) 在 的映射下， 解 設(shè)區(qū)域 D 的邊界為 C ， 則 C 的方程為 其中 第13頁，共19頁。二、問題二(基本問題) 對給定的區(qū)域 D 和 G ，求共形映射 使 1. 黎曼存在唯一性定理 設(shè) D 和 G 是任意給的的兩個單連域，在它們各自的邊界 定理 上至少含有兩個點， 則一定存在解析函數(shù) 將區(qū) 任意指定一點 和 并任

6、給一個實數(shù) 要求函數(shù) 滿足 且 映射 的函數(shù)是唯一的。 則 域 D 雙方單值地映射為 G。 如果在區(qū)域 D 和 G 內(nèi)再分別 證明 (略) P142定理 6.4 第14頁，共19頁。對給定的單連域 D , 求共形映射， 使得 D 映射為單位圓域。 二、問題二(基本問題) 對給定的區(qū)域 D 和 G ，求共形映射 使 2. 基本問題的簡化 事實上，由此即可求得任意兩個單連域之間的共形映射。 記為 附：關(guān)于存在性與唯一性的補充說明。 (實習(xí)) P139 (存在性與唯一性的補充說明)第15頁，共19頁。 休息一下第16頁，共19頁。附：關(guān)于存在性與唯一性的補充說明 1. 關(guān)于存在性 則不存在解析函數(shù)

7、, 若區(qū)域 D 為下列情形之一： (1) 擴充復(fù)平面 ; (2) 復(fù)平面 ; (3) 擴充復(fù)平面上除去一個有限點 使 D 共形映射為單位圓域。 證明 若存在函數(shù) 將 D 共形映射為單位圓域 則 在整個復(fù)平面上解析且 (即有界), 根據(jù)劉維爾(liouville)定理( 見3.4 )， 必恒為常數(shù)。 這顯然不是所要求的映射。 其中，情形 (3) 可利用映射 轉(zhuǎn)化為情形 (2)。 P141 第17頁，共19頁。附：關(guān)于存在性與唯一性的補充說明 2. 關(guān)于唯一性 一般說來是不唯一的。 對于任意給定的實常數(shù) 比如 函數(shù) 將單位圓域 仍然映射為單位圓域。 (港餅) P142 還可以這樣 ?第18頁，共19頁。附：關(guān)于存在性與唯一性的補充說明 設(shè) D 和 G 是任意給的的兩個單連域，在它們各自的邊界 則一定存在解析函數(shù) 定理 上至少含有兩個點， 將區(qū)