新編高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件

1、四川工程職業(yè)技術(shù)學(xué)院數(shù)學(xué)教研室高等數(shù)學(xué)教學(xué)課件 第七章 定積分的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 內(nèi)容導(dǎo)航前 言定積分在幾何上的應(yīng)用定積分在物理上的應(yīng)用 定積分在經(jīng)濟(jì)上的應(yīng)用 第七章 定積分的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 前 言在第3章中，由定積分的意義涉及由定積分求面積和路程；在第6章中,我們又討論了通過不定積分求定積分的各種方法。在本章中，我們將應(yīng)用定積分來解決幾何

2、、物理、經(jīng)濟(jì)中的各種問題。 7-1 定積分在幾何上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 平面圖形的面積 由定積分的幾何意義“有號(hào)面積”，可以直接得到求平面圖形的面積公式：例1 計(jì)算曲線y2=x，y=x2所圍成的圖形的面積。 解先求兩線的交點(diǎn)（右圖）x=y21xyoy=x2 7-1 定積分在幾何上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 可見，定積分求平面圖形的方法步驟：（）求曲線交

3、點(diǎn)并畫草圖；（）確定求哪塊面積，進(jìn)行“面積組合”（即由定積分表示的曲邊梯形來劃分這塊面積，哪些該加，哪些該減，注意“曲邊梯形”一定是以x軸為一邊，兩條豎直線為另兩邊）；（）以x的范圍確定積分限，用定積分表示這塊面積；（）求定積分。例求曲線y=ex-2在區(qū)間-2，2間與x軸所圍成的圖形的面積 。解 作y=ex-2圖像（下圖）（由y=ex平移） 求交點(diǎn)為（ln2,0） 7-1 定積分在幾何上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 “面積組合”即將這塊圖形劃分為-2,ln2,ln2,2兩個(gè)區(qū)間

4、，對(duì)應(yīng)兩部分的面積和為：例求y2=2x與y=x-4所圍成的圖形的面積。解 先求y2=2x與y=x-4的交點(diǎn)（2,-2）,(8,4)(作圖如右) 面積組合，以x=2為界劃分為兩塊面積，并由對(duì)應(yīng)方程得xy2ln2-2y=ex-20 xyy=x-404-282y2=2x 7-1 定積分在幾何上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 旋轉(zhuǎn)體的體積旋轉(zhuǎn)體 是一平面圖形繞平面內(nèi)一定直線旋轉(zhuǎn)一周而成的立體圖形，定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸。如圓柱、圓錐、球體等可以分別看成是由矩形繞它的一條邊、直角三角形繞它的直角

5、邊、半圓繞它的直徑旋轉(zhuǎn)一周而成的立體，所以它們都是旋轉(zhuǎn)體，車床上切削加工出來的工件，很多都是旋轉(zhuǎn)體。以下主要介紹用定積分求以ox軸或oy軸為旋轉(zhuǎn)軸的旋轉(zhuǎn)體體積的方法。由于要用到“微元法”，下面通過求平面圖形的面積來先介紹微元法。 7-1 定積分在幾何上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 如圖求平面圖形的面積，前面是根據(jù)定積分的幾何意義，此外還可根據(jù)定積分的定義，如上圖，求曲邊梯形的面積，“無限細(xì)分”，將a,b任意劃分為 n個(gè)小區(qū)間，相應(yīng)是將曲邊梯形劃分成n個(gè)小曲邊梯形，“以直代曲”，

6、將任一小曲邊梯形（x,x+dx上陰影部分）看成小矩形，則其面積 sds=f(x)dx于是面積就是這些小矩形在a,b上的無限累加的結(jié)果，即其中把dS稱為的微元，這種“無限細(xì)分取微元，無限累加求積分”的方法叫微元法。x0yy=f(x)ds=f(x)dxabxx+dx 7-1 定積分在幾何上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 下面用微元法求旋轉(zhuǎn)體的體積例求由區(qū)間,上曲線y=x2繞x軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體體積。(如圖) 解取微元應(yīng)有代表性：一個(gè)微元可代表每個(gè)微元；要有規(guī)律性，便于求出微元體積 在

7、x點(diǎn)（x(0,1)）處，垂直于x軸取微元，其厚度為dx，注意特點(diǎn)是截面都是圓，以小圓臺(tái)近似代替微元dV。xyxy=x20 x+dx 7-1 定積分在幾何上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 一般地，如果旋轉(zhuǎn)體是由曲線y=f(x)與直線x=a,x=b及ox軸所圍成的曲邊梯形，繞ox旋轉(zhuǎn)而成，則其體積 同理，由曲線與直線y=c,y=d及oy軸圍成的曲邊梯形繞oy軸旋轉(zhuǎn)成的旋轉(zhuǎn)體的體積為例求曲線 繞y軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)體的體積 解（如圖）由公式得：xy0 xy0y=f(x)abxx+dx繞x

8、軸旋轉(zhuǎn) 7-1 定積分在幾何上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 例6求由曲線y=x2與y=2-x2所圍成的平面圖形繞ox軸和oy軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體的體積。解 （如圖）求曲線交點(diǎn) （）繞x軸旋轉(zhuǎn)，由公式得 （）繞y軸旋轉(zhuǎn)，由公式得 xyy=x20y=x22 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 功的計(jì)算 由物理學(xué)知道，在一個(gè)常力的作用下，物體沿力的方向作直

9、線運(yùn)動(dòng)，當(dāng)物體移動(dòng)一段距離s時(shí)，F(xiàn)所作的功為：*但在實(shí)際問題中，物體所受的力經(jīng)常是變化的，這就需要尋求其它方法求變力作功的問題。設(shè)物體在變力f(x)的作用下沿ox軸從a移動(dòng)到b(如圖)，變力方向保持與x軸一致（如圖）bxoaf(x)xx+dx 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 我們用定積分微元法來計(jì)算變力F在a,b路程段中所作的功。 在區(qū)間a,b上任取一小區(qū)間x,x+dx,當(dāng)物體從x 移動(dòng)到x+dx時(shí)，變力F=f(x)所作的功近似地把變力看作常力所作的功，從而

10、得到功元素為： dw=f(x)dx 因此，變力在a,b路程段所作的功為例7在彈性限度內(nèi)，螺旋彈簧受壓時(shí)，長度的改變與所受外力成正比，已知彈簧被壓縮0.02m時(shí)，需9.8N,當(dāng)彈簧被壓縮3cm,試求壓力所作的功。 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 解 所用壓力為F=f(x) 時(shí)彈簧壓縮x(單位為cm)， 則F=f(x)=kx(其中k為比例系數(shù)) 故當(dāng)x=0.02m時(shí)，f(x)=9.8N代入上式得 k=4.9102所以變力函數(shù)為：F=f(x)=4.9102x 取積

11、分變量為x, 積分區(qū)間為0,0.03 在0,0.03上任取一小區(qū)間x.x+dx,與它對(duì)應(yīng)的變力所作的功為: dw=f(x)dx=4.9102xdx 于是，在0,0.03上積分，得到所求的功為 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 例把一個(gè)帶+q電量的點(diǎn)電荷放在r軸坐標(biāo)原點(diǎn)處，它產(chǎn)生一個(gè)電場，這個(gè)電場對(duì)周圍的電荷產(chǎn)生作用力，由物理學(xué)知道如果有一個(gè)單位下電荷放在電路中距離原點(diǎn)o為r 的地方，那么電場對(duì)它的作用力大小為： 當(dāng)這個(gè)單位正電荷在電場中從r=q處沿r 軸移到r

12、=b(ab)處時(shí)，計(jì)算電場力所作的功。解 取積分變量為r，積分區(qū)間為a,b； 在區(qū)間a,b上任取一小區(qū)間r,r+dr，與它相對(duì)應(yīng)的電場力F所作的功的近似值為功元素 于是，在a,b上，電場力所作的功為 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 例修建一座大橋墩時(shí)，先要下圍囹，并且抽盡其中的水以便施工，已知圍囹的直徑為20m，水深27m，圍囹高出水面3m,求抽盡水所作的功。分析（如下圖）建立坐標(biāo)系：yxxdx273200 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章

13、函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 解如上圖的直角坐標(biāo)系中： 取積分變量為x,積分區(qū)間為3,30 在區(qū)間3,30上任取一小區(qū)間x,x+dx,與它對(duì)應(yīng)的一薄層（圓柱）水的重量為9.8102dx（N）.其中水的密度為=1103因這一薄層水抽出圍囹所作的功近似于克服這一薄層重量所作的功，所以功元素為：dw=9.8105xdx. 于是在3,30上，抽盡水所作的功為： 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第

14、8章 微分方程 例10底面半徑為R的圓柱形桶內(nèi)裝著半桶水橫放在地面上，試求桶的一個(gè)圓面上所受的水壓力。 （如下圖）分析 由物理學(xué)知，比重為的液體在深度為h的點(diǎn)處的壓強(qiáng)為P=h，所以在這個(gè)深度上，面積為A水平放置的平板的一側(cè)所受的液體壓力為F=hA 當(dāng)平板不是水平放置時(shí)，平板上各點(diǎn)所處的深度不同，就不能直接用這公式計(jì)算，但我們用微元法，可以用平行于液面的許多平行線把平板分割成若干小塊，在每一塊上各點(diǎn)的深度看作是相同的，由上述公式求出壓力元素。 0 xyxdx(a)(b) 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求

15、積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 解建立上面(b)所示坐標(biāo)系，則由圓的方程：在區(qū)間0，R內(nèi)任取微區(qū)間x,x+dx,其對(duì)應(yīng)水平長條的受壓面積近似于所以壓力元素為于是半圓所受水壓力為 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 函數(shù)平均值 初中學(xué)過平均值的計(jì)算，即n個(gè)數(shù)據(jù)x1、x2、 xn的平均值為 現(xiàn)在考慮函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上取值的平均值（如y=sinx在1，3上的平均值）。 設(shè)函數(shù)y=f(x)在區(qū)間a,b上連續(xù)，把區(qū)間a,b等分為n個(gè)小區(qū) 間，設(shè)分點(diǎn)

16、為a= x1x2x3xn+1=b,則每個(gè)小區(qū)間的長度x，將f(x)在第i個(gè)小區(qū)間內(nèi)各的函數(shù)值都用xi函數(shù)值f(xi)代替，那么在區(qū)間上的平均值就近似于 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 對(duì)上式取極限，我們就得到在f(x)在 a,b上的平均值 平均值的幾何解釋是：（如下圖）曲邊梯形面積等于同一底邊而高為 的一個(gè)矩形面積。例如， 函數(shù)y=sinx在1，3上的平均值為xy0aby=f(x) 7-2 定積分在物理上的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 例11 計(jì)算純電阻電路中正弦交流電 在一個(gè)周期內(nèi)功率的平均值。解 設(shè)電阻為R，那么這電路中，R兩端的電壓功率為 7-3 定積分在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用精品課程序 言第1章 函 數(shù)第2章 導(dǎo) 數(shù)第3章 定積分第4章 求導(dǎo)方法第5章 導(dǎo)數(shù)應(yīng)用第6章 求積分方法第7章 定積分應(yīng)用第8章 微分方程 經(jīng)濟(jì)工作中也廣泛存在求總量的問題，可用定積分求解。例12 某產(chǎn)品邊際成本為 ，邊際收益為 （C和R的單位均為萬元，產(chǎn)量X的單位為百臺(tái)），試求產(chǎn)量由15增加到18單位時(shí)的總利潤。解當(dāng)產(chǎn)量由15增加到18的