1.2測量誤差與數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)課件

1、第二章 測量誤差與數(shù)據(jù)處理基礎(chǔ)第一節(jié) 測量誤差及其分類第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法第三節(jié) 隨機誤差及其估算第四節(jié) 誤差的綜合第五節(jié) 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理2022/8/41第1頁，共59頁。X-被測量Q-標準單位x0-被測量的真實數(shù)值 x-測量值 測量是借助于專用的技術(shù)和工具，通過實驗的方法，把被測量與同性質(zhì)的標準量進行比較，求取二者的比值，從而得到被測量數(shù)值大小的過程。測量的基本方程式補充 測量的概念測量是借助于儀器或儀表，依靠實驗和計算方法對被測量取得定性或定量信息的認識過程。2022/8/42第2頁，共59頁。補充 測量的概念測量是借助于儀器或儀表，依靠實驗和計算方法對被測量取得定性或定量信息

2、的認識過程。 檢測技術(shù)比上述的測量定義有更加廣泛的含義。它是指下述的全面過程：按照被測量的特點，選用合適的檢測裝置與實驗方法，通過測量和數(shù)據(jù)處理及誤差分析，準確得到被測量的數(shù)值，并為進一步提高測量精度，改進實驗方法及測量裝置性能提供可靠的依據(jù)。一切測量過程都包括：比較、示差、平衡、讀數(shù)四個步驟。2022/8/43第3頁，共59頁。補充 測量的基本方法標準量標準計量單位（如米尺、光柵尺、激光、） 絕對測量定值標準量（如某一固定尺寸） 相對測量1) 直接測量直接將被測量與標準量進行比較2022/8/44第4頁，共59頁。- 絕對測量：采用儀器、設(shè)備、手段測量被測量，直接得到測量值測量結(jié)果：20.1

3、 mm- 相對測量：將被測量直接與基準量比較，得到偏差值特點：簡單、直觀、明了； 測量精度不高基準量：20.00 mm測量值：+0.08 mm結(jié) 果：20.08 mm特點：精度高；復雜、成本高、要求高補充 2022/8/45第5頁，共59頁。測量與被測量有一定函數(shù)關(guān)系的參量，被測量由計算獲得。如測導線的導電率：補充 2) 間接測量3) 組合測量2022/8/46第6頁，共59頁。按照所用儀表和比較過程特點分類(1) 偏差法： 利用測量儀表的指針相對于刻度的偏差位移直接表示測量的數(shù)值 特點：偏差式測量簡單、迅速，但精度不高， 這種測量方法廣泛應用于工程測量中。補充 偏差式測量、零位式測量及微差式

4、測量2022/8/47第7頁，共59頁。(2) 零位法： 將被測量x與某一已知標準量完全抵消， 使作用到測量儀表上的效應等于零，如天平、電位差計等。 由此可知xs。 特點：測量精度主要取決于標準量的精度，與測量儀表的精度無關(guān)。因而測量精度很高，在計量工作中應用很廣。 缺點是速度不快，用于測量變化較緩慢的信號。補充 2022/8/48第8頁，共59頁。(3)偏差法：偏差法和零位法的結(jié)合被測量余數(shù)被測量大值與標準量大體平衡補充 綜合了偏差式和零位式兩種測量法的優(yōu)點。 此法在測量時分兩步進行，第一步是將被測量基本工作點與標準量進行比較，并調(diào)節(jié)達到平衡狀態(tài)。在此基礎(chǔ)上，當被測量離開工作點（有微小變動）

5、，測量儀表便離開平衡狀態(tài)，此時儀表的指示值即為變動部分的值。2022/8/49第9頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 一、測量誤差的定義真值： 在一定的時間及空間條件下，某被測量的真實數(shù)值。約定真值： 為使用目的所采用的接近真值因而可代替真值的值。誤差公理： 誤差自始自終存在于一切科學實驗和檢測之中，被測量的真值永遠是難以得到的。2022/8/410第10頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 研究誤差的意義：能合理確定檢測結(jié)果的誤差；能正確地認識誤差的性質(zhì)，分析產(chǎn)生誤差的原因，采取措施達到減少誤差的目的；有助于正確處理實驗數(shù)據(jù)，合理計算測量結(jié)果，以便在一定的條件下，得到最接近于真實值的最

6、佳結(jié)果；有助于合理選擇實驗儀表、測量條件及測量方法，使能在比較經(jīng)濟的條件下，得到預期的結(jié)果；有利于評價控制系統(tǒng)的各種控制規(guī)律的優(yōu)劣；有助于利用誤差理論指導設(shè)計、制造儀表、減小儀表本身的誤差。2022/8/411第11頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 絕對誤差x 測量值A(chǔ)0 真值1、絕對誤差 絕對誤差x 測量值X0 約定真值常用絕對誤差的大小表示測量值偏離真值的程度。真值理論真值約定真值相對真值2022/8/412第12頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 2、相對誤差 相對誤差最突出的優(yōu)點是能夠更好地說明測量質(zhì)量的好壞。實際相對誤差公稱相對誤差X0是約定真值（實際值）X是儀表公稱值（示

7、值）2022/8/413第13頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 3、引用誤差 引用誤差是相對誤差的一種特殊形式，常用來評價儀表的質(zhì)量。但是儀表的具體示值有關(guān)，使用仍不方便。最大引用誤差B是儀表的滿量程 能更可靠地表明儀表的測量精確度，故常作為工業(yè)儀表精度等級的標志。2022/8/414第14頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 儀表的精度等級 國家用最大引用誤差來規(guī)定電工儀表的精度等級G，分為0.1，0.2，0.5，1.0，1.5，2.0，2.5，5.0八級。規(guī)定取最大引用誤差百分數(shù)的分子作為精度等級的標志。即：【例1】設(shè)按毫伏刻度的電子電位差計的檢驗記錄x如下表，x0是用高精度的儀表

8、測出的值。測試值x（mV）0.002.004.006.008.0010.00真值x0（mV）0.011.984.015.978.049.99絕對誤差（mV）- 0.01+0.02- 0.01+0.03- 0.04+0.01引用誤差（%）- 0.1+0.2- 0.1+0.3- 0.4+0.12022/8/415第15頁，共59頁?！纠?】某壓力表精度為1.5級，量程為02.0MPa，測量結(jié)果顯示為1.2MPa，求1）最大引用誤差m；2）可能出現(xiàn)的最大絕對誤差m；3）示值相對誤差x？【解】1）由精度等級可直接得到最大引用誤差，即2）3）第一節(jié) 測量誤差及其分類 2022/8/416第16頁，共59

9、頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 【例3】現(xiàn)有0.5級0300和1.0級0100的兩個溫度計，要測量80的溫度，試問采用哪一個溫度計好？【解】若采用0.5級溫度計若采用1.0級溫度計結(jié)果表明，使用工作在量程下限時相對誤差較大。用1.0級儀表比用0.5級儀表的示值相對誤差反而小，所以更合適。2022/8/417第17頁，共59頁。 根據(jù)誤差值是否變化，可將系統(tǒng)誤差進一步劃分為恒定系差和變值系差。變值系差又可分為累進性系差、周期性系差和按復雜規(guī)律變化的幾種。 按照對系統(tǒng)誤差掌握的程度，可將其大致分為已定系差和未定系差。第一節(jié) 測量誤差及其分類 二、測量誤差的分類 1、系統(tǒng)誤差 在相同條件下，多次測量同

10、一被測量值的過程中出現(xiàn)的一種誤差，它的絕對值和符號或者保持不變，或者在條件變化時按某一規(guī)律變化， 此類誤差稱為系統(tǒng)誤差，簡稱系差。 系統(tǒng)誤差表征測量的準確度。 性質(zhì)：有規(guī)律，可再現(xiàn)，可以預測原因：原理誤差、方法誤差、環(huán)境誤差、使用誤差處理：理論分析、實驗驗證 修正2022/8/418第18頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 2、隨機誤差 是在相同條件下，多次測量同一被測量值的過程中出現(xiàn)的誤差，此誤差沒有固定的大小和符號，呈無規(guī)律的隨機性。 通常用精密度表征隨機誤差的大小。 通常將準確度和精密度合稱為精確度， 簡稱精度。 性質(zhì)：正態(tài)分布原因：裝置誤差、環(huán)境誤差、使用誤差處理：統(tǒng)計分析、計算處

11、理 減小2022/8/419第19頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 3、粗差 又稱疏失誤差，或粗大誤差，指明顯偏離約定真值的誤差。 它主要是由于測量人員的失誤所致， 如測錯、讀錯或記錯等。含有粗大誤差的數(shù)值稱為壞值，應予以剔除。性質(zhì)：偶然出現(xiàn)，誤差很大，異常數(shù)據(jù)，與有用數(shù)據(jù)混在一起原因：裝置誤差、使用誤差處理：判斷、剔除2022/8/420第20頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 三、準確度、精密度和精確度2、精密度 在相同條件下，對同一個量進行重復測量時，這些測量值之間的相互接近程度即分散程度，它反映了隨機誤差大小。1、準確度 它表示測量儀器指示值對真值的偏離程度。它反映了系統(tǒng)誤差

12、的大小。3、精確度（簡稱精度） 它是精密度和準確度的綜合反映，它反映了系統(tǒng)綜合誤差的大小，并且常用來表示測量誤差的相對值。2022/8/421第21頁，共59頁。第一節(jié) 測量誤差及其分類 測量精度舉例不精密（隨機誤差大） 準確（系統(tǒng)誤差?。?精密（隨機誤差?。┎粶蚀_（系統(tǒng)誤差大）不精密（隨機誤差大）不準確（系統(tǒng)誤差大）精密（隨機誤差?。蚀_（系統(tǒng)誤差小）2022/8/422第22頁，共59頁。第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法 一、消除產(chǎn)生誤差的根源系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的原因系統(tǒng)誤差是由固定不變的或按確定規(guī)律變化的因素造成，在條件充分的情況下這些因素是可以掌握的。主要來源于： 測量裝置方面的因素 環(huán)境方面的因

13、素 測量方法的因素 測量人員的因素計量校準后發(fā)現(xiàn)的偏差、儀器設(shè)計原理缺陷、儀器制造和安裝的不正確等。測量時的實際溫度對標準溫度的偏差、測量過程中的溫度、濕度按一定規(guī)律變化的誤差。采用近似的測量方法或計算公式引起的誤差等。測量人員固有的測量習性引起的誤差等。2022/8/423第23頁，共59頁。第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法 二、對測量結(jié)果進行修正修正值指與測量誤差的絕對值相等而符號相反的值。 修正值可以是一個具體的值，也可以是一條曲線、一個公式或圖表。 在測量之前，對儀器儀表進行校準或定期進行檢定。通過檢定，可以由上一級標準（或基準）給出受檢儀表的修正值。將修正值加入測量值中，即可消除系統(tǒng)誤差。

14、 2022/8/424第24頁，共59頁。第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法 三、采用特殊測量法（一）恒定系差消除法 1、零示法： 將被測量與已知的標準量進行比較，當兩者的差值為零時，被測量就等于已知的標準量。 如：書中圖1-2-2 用電位差計測量熱電偶的熱電勢。 2022/8/425第25頁，共59頁。第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法 2、替代法：又稱為置換法，指先將被測量接入測量裝置使之處于一定狀態(tài)，然后以已知量代替被測量，并通過改變已知量的值使儀表的示值恢復到替代前的狀態(tài)。則被測量的值即為已知量。測量裝置的系統(tǒng)誤差不會帶給測量結(jié)果。 替代法在阻抗、頻率等許多電參數(shù)的精密測量方法中獲得廣泛的應用。例：電

15、橋法測電阻。2022/8/426第26頁，共59頁。第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法 3、交換法：又稱為對照法，指在測量過程中將某些測量條件相互交換，使產(chǎn)生系差的原因?qū)粨Q前后的測量結(jié)果起反作用。對兩次測量結(jié)果進行數(shù)學處理，即可消除系統(tǒng)誤差或求出系差的數(shù)值。如：用天平稱重，替代法可消除由于天平兩臂不等而引起的固定系統(tǒng)誤差。再如：書中圖1-2-3電橋法測電阻。 2022/8/427第27頁，共59頁。第二節(jié) 系統(tǒng)誤差的消除方法 （二）變值系差消除法1.等時距對稱觀測法： 又稱對稱觀測法，用其可消除隨時間按線性規(guī)律變化的系差，即線性系差。2.半周期偶數(shù)觀測法: 某些周期性的系統(tǒng)誤差的特點是，每隔半個周期

16、產(chǎn)生的誤差大小相等、符號相反。則這種系差可通過半周期偶數(shù)觀測法來消除。即，讀取相隔半周期的兩次測量值， 取其算術(shù)平均值作為結(jié)果。2022/8/428第28頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 一、隨機誤差的分布規(guī)律及統(tǒng)計特性概率論的中心極限定理： 如果一個隨機變量是由大量微小的隨機變量共同作用的結(jié)果，那么只要這些微小隨機變量是相互獨立或弱相關(guān)的，且均勻地?。磳偤偷挠绊懕舜讼喈敚?，則無論它們各自服從于什么分布，其總和必然近似于正態(tài)分布。 隨機誤差的正態(tài)分布概率密度函數(shù)的數(shù)學表達式為：2022/8/429第29頁，共59頁。隨機誤差的統(tǒng)計特性表現(xiàn)在以下四個方面： (1)有界性：在一定條件下的

17、有限測量值中，誤差的絕對值不會超過一定的界限。 (2)單峰性：絕對值小的誤差出現(xiàn)的次數(shù)比絕對值大的誤差出現(xiàn)的次數(shù)多。 (3)對稱性：指絕對值相等的正誤差和負誤差出現(xiàn)的概率相等。 (4)抵償性：相同條件下對同一量進行多次測量，隨機誤差的算術(shù)平均值隨著測量次數(shù)n的無限增加而趨于零，即誤差平均值的極限為零。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 2022/8/430第30頁，共59頁。隨機誤差的正態(tài)分布曲線第三節(jié) 隨機誤差及其估算 長度相對測量值次數(shù)統(tǒng)計2022/8/431第31頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 由 可知被測量x也是服從正態(tài)分布的隨機變量，且x的概率密度函數(shù)的數(shù)學表達式為： 下面討論的問題是

18、當只有一組數(shù)量有限的測量數(shù)據(jù)時，如何對X0和進行估算。二、測量值的算術(shù)平均值與標準偏差2022/8/432第32頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 1.算術(shù)平均值與被測量真值的估計值 在無系差和粗差的條件下，對某一被測量x進行n次等精度測量，得到n個觀測值。 可以證明，在消除了系統(tǒng)誤差之后，無限次測量的統(tǒng)計平均值就是被測量的真值。 由于無限次測量在實際上是做不到的，通常把多次等精度測量結(jié)果的算術(shù)平均值作為被測量真值的最佳估計值。 這就是算術(shù)平均值原理。2022/8/433第33頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 n，用平均值代替真值，則真值與測量值之差和平均值與測量值之差是不相同的，因

19、此，相應的測量誤差就用殘余誤差來代替： 殘差有兩個性質(zhì)：殘差的代數(shù)和為0；僅有隨機誤差時，殘差的平方和最小。 殘余誤差，簡稱殘差，也叫剩余誤差，其定義為：2022/8/434第34頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 2. 標準偏差 用來衡量測量數(shù)據(jù)相對于算術(shù)平均值的離散程度。方差標準差2022/8/435第35頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 在實際測量中，由于被測量真值無法知道，且測量次數(shù)也是有限的，故借助貝塞爾公式用算術(shù)平均值和殘差來表示標準偏差的估計值，即 根據(jù)此式求出的標準偏差，可用來表征在給定的等精度條件下任一次測量結(jié)果的離散程度，因此，又稱為單次測量的標準偏差。2. 標準

20、偏差2022/8/436第36頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 由于實際的測量次數(shù)有限，算術(shù)平均值畢竟還不是真值，其本身也含有隨機誤差。假若各觀測值服從正態(tài)分布，則算術(shù)平均值也是服從正態(tài)分布的隨機變量。 可以證明，算術(shù)平均值的標準偏差為： 以估計值代替，算術(shù)平均值的標準偏差的估計值為：3. 算術(shù)平均值的標準偏差2022/8/437第37頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 三、置信區(qū)間和置信概率如前所述，用有限次測量結(jié)果的算術(shù)平均值來代替被測量的數(shù)學期望，必然會存在一個隨機誤差m：該誤差m的絕對值小于給定的任一微小量的概率Pc為：2022/8/438第38頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差

21、及其估算 上式中，區(qū)間(Mx-, Mx+)表示算術(shù)平均值在規(guī)定概率下可能的變化范圍，稱為置信區(qū)間。置信區(qū)間表明了測量結(jié)果的離散程度，可作為測量精密度的標志。算術(shù)平均值落入某一置信區(qū)間的概率表明測量結(jié)果的可靠性，亦即值得信賴的程度，稱為置信概率。給出了在一定概率下隨機誤差的極限值，稱為極限誤差（或誤差限）。在無系統(tǒng)誤差的情況下， 也稱為隨機不確定度，通常表示為：2022/8/439第39頁，共59頁。第三節(jié) 隨機誤差及其估算 置信系數(shù)Kt置信概率PC0.67450.5=50%1.00000.6827=68.27%1.96000.95=95%2.00000.9545=95.45%3.00000.9

22、973=99.73Kt與PC的關(guān)系工程測量常用 估計隨機誤差的范圍，超過 者作為疏失誤差處理。即取 為極限誤差，它的置信概率為99.73%。2022/8/440第40頁，共59頁。第四節(jié) 誤差的綜合 誤差的綜合： 在已知各局部誤差的基礎(chǔ)上求函數(shù)的誤差，稱為誤差的綜合，也稱為誤差的傳遞。在一般測量中，間接測量值Y是各個直接測量值X1,X2,Xj,Xm的多元函數(shù)，一、函數(shù)誤差的基本關(guān)系式多元函數(shù)的增量可用函數(shù)的全微分表示為：2022/8/441第41頁，共59頁。第四節(jié) 誤差的綜合 上式稱為函數(shù)誤差的基本關(guān)系式。以dXj表示各個直接測量值的誤差，以 表示各個誤差的傳遞系數(shù)，則dY為函數(shù)Y的誤差。例

23、如，設(shè)函數(shù)關(guān)系為則，正弦函數(shù)的角度誤差公式為2022/8/442第42頁，共59頁。第四節(jié) 誤差的綜合 二、系統(tǒng)誤差的綜合公式（一）已定系統(tǒng)誤差的綜合 假設(shè)在前面所述的函數(shù)中各Xj之間彼此獨立無關(guān)，且只含有大小及符號均已知的已定系統(tǒng)誤差j，則函數(shù)Y將產(chǎn)生一個已定系統(tǒng)誤差Y，即為表示為相對誤差的形式：2022/8/443第43頁，共59頁。第四節(jié) 誤差的綜合 （二）函數(shù)的系統(tǒng)不確定度 系統(tǒng)的不確定度反映了系統(tǒng)誤差變化范圍的大小。函數(shù)Y的不確定度有兩種求法：（1）算術(shù)綜合法（絕對值綜合法）函數(shù)Y（間接測量值）的系統(tǒng)不確定度自變量Xj（直接測量值）的系統(tǒng)不確定度2022/8/444第44頁，共59頁

24、。第四節(jié) 誤差的綜合 （2）方和根法此方法在局部誤差的個數(shù)越多時，越接近實際情況?！纠吭O(shè)有某平衡電橋檢測線路，若以被測電阻Rx作為電橋的第一臂，則Rx可表示為另外三個橋臂已知電阻的函數(shù)，其函數(shù)關(guān)系如下：2022/8/445第45頁，共59頁。第四節(jié) 誤差的綜合 三、隨機誤差的綜合公式 假設(shè)間接測量值Y為直接測量值X1和X2的函數(shù)，即 假設(shè)對X1進行了n次測量，對X2進行了k次測量，在無系差的情況下，以j代替前式中的dXj，則可寫出函數(shù)Y的隨機誤差為：分別為X1和X2的隨機誤差2022/8/446第46頁，共59頁。第四節(jié) 誤差的綜合 經(jīng)過整理，上式變?yōu)椋?此式描述了間接測量結(jié)果的標準偏差與各

25、直接被測量的標準偏差的關(guān)系。 推廣情況：2022/8/447第47頁，共59頁。第四節(jié) 誤差的綜合 用相應的估計值代入各標準偏差，可得函數(shù)Y的標準偏差估計值為： 上兩式即為一般函數(shù)的隨機誤差傳遞公式。上式兩端同時乘以相同的置信系數(shù)C，即可得函數(shù)Y的隨機不確定度。2022/8/448第48頁，共59頁。第四節(jié) 誤差的綜合 四、系統(tǒng)不確定度與隨機不確定度的綜合 在實際測量過程中，應該同時考慮系統(tǒng)不確定度和隨機不確定度同時存在的情況，綜合的結(jié)果稱為總的不確定度。其綜合方法有兩種：（1）絕對值綜合法（2）方根綜合法2022/8/449第49頁，共59頁。第五節(jié) 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理 一、測量結(jié)果的表示方

26、法與有效數(shù)字的處理原則 常見的測量結(jié)果表示方法是在觀測值或多次觀測結(jié)果的算術(shù)平均值后加上相應的誤差限。（一）測量結(jié)果的數(shù)字表示方法1.單次測量結(jié)果的表示方法（置信概率PC=68.3%）2.n次測量結(jié)果的表示方法2022/8/450第50頁，共59頁。第五節(jié) 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理 一個數(shù)據(jù)，從左邊第一個非零數(shù)字起至右邊含有誤差的一位止，中間的所有數(shù)碼均為有效數(shù)字。（二）有效數(shù)字的處理原則2.數(shù)據(jù)舍入規(guī)則4舍6入5看右1.有效數(shù)字的基本概念原始數(shù)據(jù)保留小數(shù)點后兩位有效數(shù)字12.32612.3365.841265.8443.485343.495.8355.848.24508.242022/8/451第51頁，共59頁。第五節(jié) 測量結(jié)果的數(shù)據(jù)處理 3.有效數(shù)字運算規(guī)則參加運算的常數(shù)入、e等數(shù)值，有效數(shù)字的位數(shù)可以不受限制，需要幾位就取幾位。加減運算 在不超過10個數(shù)據(jù)相加減時，要把小數(shù)位數(shù)多的進行舍入處理，使比小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)只多一位小數(shù)；計算結(jié)果應保留的小數(shù)位數(shù)要與原數(shù)據(jù)中有效數(shù)字位數(shù)最少者相同。乘除運算 在兩個數(shù)據(jù)相乘除時，要把有效數(shù)字多的數(shù)據(jù)作舍入處理，使之比有效數(shù)字少的數(shù)據(jù)只多一位有效數(shù)字；計算結(jié)果保留位數(shù)同上。2022/8/