81多元函數(shù)的基本概念課件

1、第八章多元函數(shù)微分學(xué)推廣一元函數(shù)微分學(xué) 多元函數(shù)微分學(xué) 注意: 善于類比, 區(qū)別異同第1頁，共15頁。 第八章 8.1一、多元函數(shù)的概念二、多元函數(shù)的極限三、多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的基本概念 第2頁，共15頁。8.1.1、多元函數(shù)的概念 引例: 圓柱體的體積 定量理想氣體的壓強 三角形面積的海倫公式第3頁，共15頁。1. 定義定義1. 設(shè)非空點集點集 D 稱為函數(shù)的定義域 ; 數(shù)集稱為函數(shù)的值域 .特別地 , 當(dāng) n = 2 時, 有二元函數(shù)當(dāng) n = 3 時, 有三元函數(shù)若對D中每一點P , 按照法則 f , 都有唯一確定的實數(shù) u 與之對應(yīng), 則稱 f 為定義在 D 上的 n 元函數(shù) ,

2、 記作第4頁，共15頁。(1) 開區(qū)域及閉區(qū)域 圍成 平面區(qū)域的曲線稱為該區(qū)域的邊界； 包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為閉區(qū)域；2. 二元函數(shù)的定義域 不包括邊界在內(nèi)的區(qū)域稱為開區(qū)域； 包括部分邊界的區(qū)域稱為半開區(qū)域； 如果區(qū)域延伸到無窮遠處稱為無界區(qū)域；否則稱為有界區(qū)域。第5頁，共15頁。例如，在平面上開區(qū)域閉區(qū)域半開區(qū)域第6頁，共15頁。例1. 求函數(shù)的定義域.解:(2) 二元函數(shù)的定義域使得二元函數(shù)的表達式有意義的一切平面區(qū)域稱為二元函數(shù)的定義域。第7頁，共15頁。例如, 二元函數(shù)定義域為圓域說明: 圖形為中心在原點的上半球面.為空間曲面 .3. 二元函數(shù)的幾何意義一般地, 函數(shù)的圖形第8頁，共1

3、5頁。8.1.2、二元函數(shù)的極限定義2. 設(shè) 函數(shù)內(nèi)有定義 ,在P0 (x0, y0)的某個去心鄰域若當(dāng)P (x, y)無限趨近于P0 (x0, y0) , 函數(shù)記作無限趨近于一個常數(shù)A, 則稱 A 為函數(shù)在 點(x, y) (x0, y0)時的極限.?；蛴址Q為二重極限。二重極限與一元函數(shù)的極限具有相同的性質(zhì)和運算法則，在此不祥述。第9頁，共15頁。例2. 求極限解:令則解: 原式例3.求第10頁，共15頁。 若當(dāng)點趨于不同值或有的極限不存在，解: 設(shè) P(x , y) 沿直線 y = k x 趨于點 (0, 0) ,在點 (0, 0) 的極限.則可以斷定函數(shù)極限則有k 值不同極限不同 !在

4、(0,0) 點極限不存在 .以不同方式趨于不存在 .例4. 討論函數(shù)函數(shù)第11頁，共15頁。8.1.3、 二元函數(shù)的連續(xù)性 如果函數(shù)在 D 上各點處都連續(xù), 則稱此函數(shù)在 D 上否則稱為不連續(xù),此時稱為間斷點 .連續(xù).內(nèi)有定義 ,定義3. 設(shè) 函數(shù)在P0 (x0, y0)的某個去心鄰域若則稱 函數(shù)連續(xù), 在P0 (x0, y0)例如, 函數(shù)在點(0 , 0) 極限不存在, 故 ( 0, 0 )為其間斷點.第12頁，共15頁。又如, 函數(shù)上間斷.在圓周結(jié)論: 一切多元初等函數(shù)在定義區(qū)域內(nèi)連續(xù).定理：若 f (P) 在有界閉域 D 上連續(xù), 則在 D 上可取得最大值 M 及最小值 m ;(3) 對任意(有界性定理) (最值定理) (介值定理) 閉域上多元連續(xù)函數(shù)有與一元函數(shù)類似的如下性質(zhì):(證明略) 第13頁，共15頁。內(nèi)容小結(jié)1. 二元函數(shù)概念(圖形一般為空間曲面)2.二元函數(shù)的極限函數(shù)在點可以沒有定義。3.二元函