《理學(xué)通信原理》教學(xué)課件

1、通信原理第二章 隨機(jī)信號(hào)的分析1第1頁(yè)，共76頁(yè)。第2章的主要內(nèi)容2.1 引言2.2 隨機(jī)過程的一般表述2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度2.5高斯過程2.6窄帶隨機(jī)過程2.7正弦波加窄帶高斯過程2.8隨機(jī)過程通過線性系統(tǒng)2第2頁(yè)，共76頁(yè)。2.1 引言隨機(jī)信號(hào)的產(chǎn)生：通信系統(tǒng)中遇到的的信號(hào)，通?？値в心撤N隨機(jī)性，即它們的某個(gè)或者幾個(gè)參數(shù)不能預(yù)知或者不能完全預(yù)知。這種具有隨機(jī)性的信號(hào)成為隨機(jī)信號(hào)。隨機(jī)噪聲：通信過程中存在的不能預(yù)測(cè)的噪聲3第3頁(yè)，共76頁(yè)。2.2隨機(jī)過程的一般表述1.隨機(jī)過程的定義2.隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征2.1概率分布2.2數(shù)字特征4第4頁(yè)，共76頁(yè)。2.

2、2隨機(jī)過程的一般表述1.隨機(jī)過程 通信過程中的隨機(jī)信號(hào)和噪聲均可歸納為依賴于時(shí)間參數(shù)t的隨機(jī)過程。這種過程的基本特征是，1）它是時(shí)間t的函數(shù)；2）任一時(shí)刻上觀察到的值不能確定，而是一個(gè)隨機(jī)變量。5第5頁(yè)，共76頁(yè)。舉例：n部接收機(jī)的輸出噪聲電壓性能完全相同的接收機(jī)，在工作條件相同的情況下，輸出的噪聲波形不同6第6頁(yè)，共76頁(yè)。隨機(jī)過程的定義設(shè)隨機(jī)試驗(yàn)E的可能結(jié)果為(t)，試驗(yàn)的樣本空間S為 x1(t)，x2(t)，xi(t)，i為正整數(shù)，xi(t)為第i個(gè)樣本函數(shù)（又稱之為實(shí)現(xiàn)）每次試驗(yàn)之后，(t)取空間S中的某一樣本函數(shù)，于是稱此 (t)為隨機(jī)函數(shù)。當(dāng)t代表時(shí)間量時(shí)，稱此(t)為隨機(jī)過程。7

3、第7頁(yè)，共76頁(yè)。隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特征主要有分布函數(shù)和概率密度函數(shù)以及數(shù)字特征1.隨機(jī)過程(t)的一維分布函數(shù)：2. (t)的一維概率密度函數(shù)：8第8頁(yè)，共76頁(yè)。(t)的n維分布函數(shù)：(t)的n維概率密度函數(shù)：9第9頁(yè)，共76頁(yè)。隨機(jī)過程的數(shù)字特征期望方差協(xié)方差相關(guān)函數(shù)互協(xié)方差互相關(guān)函數(shù)10第10頁(yè)，共76頁(yè)。隨機(jī)過程的期望和方差隨機(jī)過程(t)的數(shù)學(xué)期望：隨機(jī)過程的方差：11第11頁(yè)，共76頁(yè)。衡量同一過程不同時(shí)刻的相關(guān)程度隨機(jī)過程(t)的（自）協(xié)方差函數(shù)：（自）相關(guān)函數(shù)R(t1,t2)定義為：12第12頁(yè)，共76頁(yè)。衡量不同隨機(jī)過程的相關(guān)程度互協(xié)方差函數(shù)：互相關(guān)函數(shù)：13第13頁(yè)，共76頁(yè)。

4、2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程定義狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性14第14頁(yè)，共76頁(yè)。2.3平穩(wěn)隨機(jī)過程如果對(duì)于任意的正整數(shù)n和任意實(shí)數(shù)t1，t2，tn，隨機(jī)過程(t)的n維概率密度函數(shù)滿足則稱(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程。平穩(wěn)隨機(jī)過程的統(tǒng)計(jì)特性和時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。15第15頁(yè)，共76頁(yè)。2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程（續(xù)1）狹義平穩(wěn)隨機(jī)過程：任何n維分布函數(shù)或者是概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)。廣義平穩(wěn)隨機(jī)過程：數(shù)學(xué)期望及方差與時(shí)間無關(guān)，相關(guān)函數(shù)僅僅與時(shí)間間隔 有關(guān)，即16第16頁(yè)，共76頁(yè)。2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程（續(xù)2）各態(tài)歷經(jīng)性：平穩(wěn)隨機(jī)過程一般具有一個(gè)有趣的又非常有用的特性，這個(gè)特性稱為“各態(tài)歷經(jīng)性”

5、。即隨機(jī)過程的數(shù)學(xué)期望（統(tǒng)計(jì)平均值），可以由任一實(shí)現(xiàn)的時(shí)間平均值來代替；隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，也可以由對(duì)應(yīng)的“時(shí)間平均”來代替“統(tǒng)計(jì)平均”。各態(tài)歷經(jīng)性的意義：平穩(wěn)隨機(jī)過程的任一實(shí)現(xiàn)看成它經(jīng)歷了隨機(jī)過程的所有可能狀態(tài)。17第17頁(yè)，共76頁(yè)。2.2平穩(wěn)隨機(jī)過程（續(xù)3）平穩(wěn)隨機(jī)過程的各態(tài)歷經(jīng)性表現(xiàn)為時(shí)間平均統(tǒng)計(jì)平均18第18頁(yè)，共76頁(yè)。2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的相關(guān)函數(shù)與功率譜密度1.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)2.功率譜密度3.相關(guān)函數(shù)與功率譜密度的關(guān)系19第19頁(yè)，共76頁(yè)。1.相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)（1）(t)的平均功率信號(hào)電壓（或電流）在1歐姆電阻上所消耗的功率（2）R()是偶函數(shù)20第20頁(yè)，共76頁(yè)。1.相關(guān)函

6、數(shù)的性質(zhì)（續(xù)）（3）R()的上界（4）(t)的直流功率（5）方差，即(t)的交流功率21第21頁(yè)，共76頁(yè)。2.功率譜密度確定（知）功率信號(hào)f(t)，它的功率譜密度PS()可表示成式中：FT()是f(t)的截短函數(shù)fT(t) 的頻譜函數(shù)。22第22頁(yè)，共76頁(yè)。功率信號(hào)f(t)及其截短函數(shù)fT(t)23第23頁(yè)，共76頁(yè)。功率信號(hào),指信號(hào)的功率是有限的，則稱為功率有限信號(hào)，簡(jiǎn)稱功率信號(hào)能量信號(hào)，指信號(hào)的能量值是有限的。頻譜，常常指信號(hào)的Fourier變換 ，后者可能不存在。幾個(gè)新概念24第24頁(yè)，共76頁(yè)。幾個(gè)新概念功率譜密度（功率譜），是信號(hào)平均功率在頻率上面的分解，也就是說功率譜密度對(duì)頻譜

7、的積分就是功率 。Fourier變換 與反變換25第25頁(yè)，共76頁(yè)。帕色伐爾定理能量：26第26頁(yè)，共76頁(yè)。截短信號(hào)的在1歐電阻上消耗的能量：截短信號(hào)的頻譜：截短信號(hào)的在1歐電阻上的平均功率：僅僅為某個(gè)樣本在某一段的平均功率，隨機(jī)過程中有很多樣本，因此還得將結(jié)果擴(kuò)張為統(tǒng)計(jì)平均公式推導(dǎo)27第27頁(yè)，共76頁(yè)。某一樣本的平均功率與功率譜功率有限信號(hào)f(t)平均功率定義為功率譜 Paseval定理28第28頁(yè)，共76頁(yè)。隨機(jī)過程的平均功率與功率譜隨機(jī)過程的平均功率：隨機(jī)過程的功率譜：29第29頁(yè)，共76頁(yè)。2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度（續(xù)）隨機(jī)過程(t)的功率譜密度為(t)的平均功率30第30

8、頁(yè)，共76頁(yè)。2.4平穩(wěn)隨機(jī)過程的功率譜密度（續(xù)）(t)的自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間為傅里葉變換關(guān)系31第31頁(yè)，共76頁(yè)。自相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系推導(dǎo)32第32頁(yè)，共76頁(yè)。自相關(guān)函數(shù)與功率譜的關(guān)系一對(duì)傅立葉變換33第33頁(yè)，共76頁(yè)。2.5高斯過程2.3.1高斯隨機(jī)過程（正態(tài)隨機(jī)過程）定義：高斯隨機(jī)過程(t)，即指它的任意n維（n=1，2，）概率密度函數(shù)由下式表示的隨機(jī)過程，即34第34頁(yè)，共76頁(yè)。35第35頁(yè)，共76頁(yè)。36第36頁(yè)，共76頁(yè)。(1).統(tǒng)計(jì)特性由數(shù)字特征唯一確定 即已知 ，則 唯一確定。 因此對(duì)高斯過程只要研究數(shù)字特征就 可以了。(2).如果高斯過程是廣義平穩(wěn)則一定是

9、狹義平穩(wěn)。 因?yàn)閺V義平穩(wěn) 常數(shù)高斯過程的重要性質(zhì)37第37頁(yè)，共76頁(yè)。而 也與時(shí)間起點(diǎn)無關(guān)，僅與有關(guān)，滿足狹義平穩(wěn)條件，故高斯過程是廣義RP必是狹義RP。(3).如果高斯過程在不同時(shí)刻的取值是互不相關(guān)的，那么它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。 因?yàn)椴幌嚓P(guān) 所以38第38頁(yè)，共76頁(yè)。此時(shí)只有當(dāng) 才有：39第39頁(yè)，共76頁(yè)。 所以高斯過程中的隨機(jī)變量互不相關(guān)，則它們必然是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。(4).若干個(gè)高斯過程之和是高斯型。40第40頁(yè)，共76頁(yè)。2.5.1高斯隨機(jī)過程（續(xù)1）特例：高斯隨機(jī)過程中的一維分布。一維概率密度函數(shù)式中a及是兩個(gè)常量（均值及方差）。當(dāng)a=0, =1是標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布41第41頁(yè)，共76頁(yè)。

10、ax42第42頁(yè)，共76頁(yè)。(1).(2).(3).一維高斯過程的性質(zhì)：43第43頁(yè)，共76頁(yè)。4.44第44頁(yè)，共76頁(yè)。正態(tài)分布函數(shù)：概率積分函數(shù)，可查積分表得45第45頁(yè)，共76頁(yè)。誤差函數(shù)46第46頁(yè)，共76頁(yè)。 因?yàn)樗?7第47頁(yè)，共76頁(yè)。48第48頁(yè)，共76頁(yè)。2.6窄帶隨機(jī)過程窄帶信號(hào)：是指頻譜只限于以fC為中心頻率而帶寬為f，f fC的信號(hào)，更確切地應(yīng)該稱之為高頻窄帶信號(hào)。49第49頁(yè)，共76頁(yè)。2.6.1窄帶隨機(jī)過程（續(xù)1） 窄帶隨機(jī)過程：如果信號(hào)或噪聲滿足窄帶條件，且是一個(gè)隨機(jī)過程，則稱它們?yōu)檎瓗щS機(jī)過程。如果噪聲的瞬時(shí)取值服從高斯分布，則稱它為窄帶高斯噪聲。在不特別聲

11、明情況下，我們僅僅討論零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程。50第50頁(yè)，共76頁(yè)。2.6.1窄帶隨機(jī)過程（續(xù)2）零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程：或其中C(t)及S(t) 稱為(t)的同相分量及正交分量：51第51頁(yè)，共76頁(yè)。零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程的性質(zhì)性質(zhì)1：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，它的同相分量C(t)和正交分量S(t)同樣是平穩(wěn)高斯隨機(jī)過程，而且均值都為零，方差也相同，且等于(t)的方差。另外，在同一時(shí)刻上得到的C、S是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。52第52頁(yè)，共76頁(yè)。均值和相關(guān)函數(shù)由于是零均值并且平穩(wěn)，因此對(duì)于相關(guān)函數(shù)，有53第53頁(yè)，共76頁(yè)。若coswct=0,則有若sinwct=0,則有如果滿

12、足上式，則有同為寬平穩(wěn)54第54頁(yè)，共76頁(yè)。由互相關(guān)函數(shù)的性質(zhì)得若上式要同時(shí)滿足，則因此是一個(gè)奇函數(shù)同一時(shí)刻不相關(guān)或者統(tǒng)計(jì)獨(dú)立55第55頁(yè)，共76頁(yè)。由于均值為0，因此若coswct=0,則有若sinwct=0,則有方差相同同為高斯過程56第56頁(yè)，共76頁(yè)。零均值平穩(wěn)高斯窄帶過程的性質(zhì)性質(zhì)二：一個(gè)均值為零的平穩(wěn)高斯窄帶過程，其包絡(luò)的一維分布是瑞利分布，相位的一維分布是均勻分布，并且就一維分布而言，包絡(luò)與相位是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。57第57頁(yè)，共76頁(yè)。統(tǒng)計(jì)獨(dú)立均勻分布瑞利分布58第58頁(yè)，共76頁(yè)。寬帶過程-白噪聲白噪聲：功率譜密度在整個(gè)頻域內(nèi)都是均勻分布（相同大?。┑脑肼暋９β首V密度為式中：n0

13、是一個(gè)常數(shù)，單位取“瓦赫”（WHz）。 59第59頁(yè)，共76頁(yè)。2.6.1窄帶隨機(jī)過程（續(xù)7）白噪聲的自相關(guān)函數(shù)說明：白噪聲的自相關(guān)函數(shù)僅在=0時(shí)才不為零；而對(duì)于其他任意的它都為零。這說明，白噪聲只有在=0時(shí)才相關(guān)，而它在任意兩個(gè)時(shí)刻上的隨機(jī)變量都是不相關(guān)的。60第60頁(yè)，共76頁(yè)。2.6.1窄帶隨機(jī)過程（續(xù)8）帶限白噪聲：如果噪聲被限制在（-f0, f0）之內(nèi)，且在該頻率區(qū)間范圍內(nèi)有P()=n0/2，在該區(qū)間外P()=0，則這樣的噪聲被稱為帶限白噪聲。帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)為式中：0=2f0。 61第61頁(yè)，共76頁(yè)。2.6.1窄帶隨機(jī)過程（續(xù)9）說明：帶限白噪聲只有在=k/2f0（k=1，

14、2，3，）上得到的隨機(jī)變量才不相關(guān)。即：對(duì)帶限白噪聲按抽樣定理最低抽樣速率抽樣的話，則各抽樣值是互不相關(guān)的隨機(jī)變量。帶限白噪聲的自相關(guān)函數(shù)與功率譜密度如圖2-5（b）所示。62第62頁(yè)，共76頁(yè)。自相關(guān)函數(shù)及其功率譜密度63第63頁(yè)，共76頁(yè)。例A為常數(shù)，n(t)是零均值窄帶高斯噪聲，求合成信號(hào)同相分量和正交分量的均值以及方差64第64頁(yè)，共76頁(yè)。2.7正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加窄帶高斯噪聲的信號(hào)形式信號(hào)r(t)的包絡(luò)為65第65頁(yè)，共76頁(yè)。2.7正弦波加窄帶高斯噪聲相位隨機(jī)變量為以相位為條件的z與的聯(lián)合密度函數(shù)為66第66頁(yè)，共76頁(yè)。2.7正弦波加窄帶高斯噪聲推導(dǎo)可得包絡(luò)概率密度函數(shù)

15、為稱為廣義瑞利分布也稱萊斯（Rice）密度函數(shù)。67第67頁(yè)，共76頁(yè)。2.7正弦波加窄帶高斯噪聲正弦波加高斯窄帶過程的包絡(luò)和相位分布68第68頁(yè)，共76頁(yè)。2.8隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng) 本節(jié)主要討論平穩(wěn)隨機(jī)過程通過線性時(shí)不變系統(tǒng)后輸出信號(hào)的統(tǒng)計(jì)特性，以及系統(tǒng)輸入輸出之間的一些重要關(guān)系。 設(shè)：確知信號(hào)vi(t)表示系統(tǒng)輸入，v0(t)表示系統(tǒng)輸出。則輸出信號(hào)等于輸入信號(hào)卷積系統(tǒng)函數(shù)69第69頁(yè)，共76頁(yè)。2.8隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)輸入隨機(jī)過程i(t)有界且系統(tǒng)是物理可實(shí)現(xiàn)的，則輸出隨機(jī)過程0(t)為以下討論：在輸入i(t)是平穩(wěn)隨機(jī)過程，分析系統(tǒng)輸出過程0(t)的統(tǒng)計(jì)特性。70第70頁(yè)，共76頁(yè)。2.8隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)1. 0(t)的數(shù)學(xué)期望E0(t)式中，Ei(t-)= Ei(t)=i輸出過程的數(shù)學(xué)期望等于輸入過程的數(shù)學(xué)期望與H(0)相乘，并且E0(t)與t無關(guān)。71第71頁(yè)，共76頁(yè)。2.8隨機(jī)信號(hào)通過線性系統(tǒng)2. 0(t)的自相關(guān)函數(shù)R0(t1,t1+)根據(jù)自相關(guān)函數(shù)的定義可推導(dǎo)得：結(jié)論：自相關(guān)函數(shù)只依賴時(shí)間間隔，