《工學(xué)線性代數(shù)》教學(xué)課件

1、線 性 代 數(shù) 主講：王 娟教材：線性代數(shù)（第三版），何蘇陽、呂 巍然、王子亭主編，石油大學(xué)出版社安排：共32學(xué)時，計劃講授前五章，平時 成績占20%，期末成績占80%。第1頁，共45頁。 一、學(xué)習(xí)必要性 二、課程特點1、線性代數(shù)是高等工科學(xué)校本科各專業(yè)的一門 重要的基礎(chǔ)理論課。 2、線性代數(shù)是一門必修課,考研必考內(nèi)容。 1、概念多、符號多、定理多。2、內(nèi)容抽象。第2頁，共45頁。第一章 n階行列式 一、主要內(nèi)容 1、排列的一些性質(zhì)； 2、n 階行列式的定義、性質(zhì)和計算； 3、克萊姆法則. 二、學(xué)習(xí)重點 行列式的性質(zhì)和計算.第3頁，共45頁。 1.1 排列的逆序數(shù)與對換引例用1、2、3三個數(shù)字

2、，可以組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)？解1 2 3123百位3種放法十位1231個位1232種放法1種放法種放法.共有一、概念的引入第4頁，共45頁。二、全排列及其逆序數(shù)問題定義把 個不同的元素排成一列，叫做這 個元素的全排列（或排列）. 個不同的元素的所有排列的種數(shù)，通常用 表示.由引例同理第5頁，共45頁。 在一個排列 中，若數(shù) 則稱這兩個數(shù)組成一個逆序.例如 排列32514 中， 定義 我們規(guī)定各元素之間有一個標(biāo)準(zhǔn)次序, n 個不同的自然數(shù)，規(guī)定由小到大為標(biāo)準(zhǔn)次序.排列的逆序數(shù)3 2 5 1 4逆序逆序逆序問：該排列中還有 其他的逆序嗎？第6頁，共45頁。定義 一個排列中所有逆序的總數(shù)稱

3、為此排列的逆序數(shù).排列的奇偶性逆序數(shù)為奇數(shù)的排列稱為奇排列;逆序數(shù)為偶數(shù)的排列稱為偶排列.注：標(biāo)準(zhǔn)排列為偶排列（逆序數(shù)為0）.第7頁，共45頁。計算排列逆序數(shù)的方法基本思想： 先計算出排列中每個元素的逆序數(shù)，再對所求出各元素的逆序數(shù)求和，即得所求排列的逆序數(shù). 分別計算出排列中每個元素前面比它大的數(shù)碼個數(shù)之和（向前數(shù)大）方法1： 分別計算出排列中每個元素后面比它小的數(shù)碼個數(shù)之和（向后數(shù)?。┓椒?：第8頁，共45頁。3 2 5 1 4于是排列32514的逆序數(shù)為5的前面沒有比5大的數(shù),其逆序數(shù)為0;1的前面比1大的數(shù)有3個,故逆序數(shù)為3;4的前面比4大的數(shù)有1個,故逆序數(shù)為1;例1 求排列325

4、14的逆序數(shù).2的前面比2大的數(shù)只有一個3,故逆序數(shù)為1;在排列中, 3排在首位,逆序數(shù)為0;向前數(shù)大解：第9頁，共45頁。例2 計算下列排列的逆序數(shù)，并討論它們的奇偶性.解此排列為偶排列.第10頁，共45頁。解當(dāng) 時為偶排列；當(dāng) 時為奇排列.第11頁，共45頁。三、對換的定義定義在排列中，將任意兩個元素對調(diào)，其余元素不動，這種作出新排列的手續(xù)叫做對換將相鄰兩個元素對調(diào)，叫做相鄰對換例如第12頁，共45頁。四、對換與排列的奇偶性的關(guān)系定理1一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性證明設(shè)排列為對換 與除 外，其它元素的逆序數(shù)不改變.當(dāng) 時，的逆序數(shù)不變;經(jīng)對換后 的逆序數(shù)增加1 ,第13頁，

5、共45頁。當(dāng) 時，經(jīng)對換后 的逆序數(shù)不變 ， 的逆序數(shù)減少1.因此對換相鄰兩個元素，排列改變奇偶性.設(shè)排列為現(xiàn)來對換 與第14頁，共45頁。次相鄰對換次相鄰對換次相鄰對換所以一個排列中的任意兩個元素對換，排列改變奇偶性.第15頁，共45頁。推論奇排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為奇數(shù)，偶排列調(diào)成標(biāo)準(zhǔn)排列的對換次數(shù)為偶數(shù).證明 由定理1知，對換的次數(shù)就是排列奇偶性 而標(biāo)準(zhǔn)排列是偶排列（逆序數(shù)為0）, 因此知推論成立.的變化次數(shù),第16頁，共45頁。思考題證明 在全部 級排列中 ,奇偶排列各占一半. 注：n級排列是由自然數(shù)1到n組成的有序數(shù)組.例排列32514為5級排列.第17頁，共45頁。思考題解答證

6、 設(shè)在全部 級排列中有 個奇排列, 個偶排列,現(xiàn)來證 . 將 個奇排列的前兩個數(shù)對換,則這 個奇排列全變成偶排列,并且它們彼此不同,所以若將 個偶排列的前兩個數(shù)對換,則這 個偶排列全變成奇排列,并且它們彼此不同,于是有故必有第18頁，共45頁。 由四個數(shù)排成二行二列（橫排稱行、豎排稱列）的數(shù)表定義1即1.2 n階行列式的定義一、二階、三階行列式.列標(biāo)行標(biāo)第19頁，共45頁。定義2記（3）式稱為數(shù)表（2）所確定的三階行列式.第20頁，共45頁。主對角線副對角線對角線法則二、三階行列式的計算第21頁，共45頁。 說明（1）三階行列式共有 項，即 項（2）每項都是位于不同行不同列的三個元素的乘積第2

7、2頁，共45頁。（3）每項的正負號都取決于該項三個元素的 下標(biāo)排列的逆序數(shù)例如列標(biāo)排列的逆序數(shù)為列標(biāo)排列的逆序數(shù)為偶排列奇排列第23頁，共45頁。二、n階行列式的定義定義第24頁，共45頁。第25頁，共45頁。說明1、 階行列式是 項的代數(shù)和，結(jié)果是一個數(shù);2、 階行列式的每項都是位于不同行、不同列 個元素的乘積;即某一乘積項符號的確定：先把該項的n個元素按行標(biāo)排成標(biāo)準(zhǔn)順序，然后由列標(biāo)所成排列的奇偶性來決定這一項的符號。4、一階行列式 不要與絕對值記號相混淆;5、高階行列式不能用對角線法則計算.3、 的符號為第26頁，共45頁。利用定義計算行列式步驟： （1）取項；（2）冠符；（3）求和第27

8、頁，共45頁。例1計算對角行列式分析展開式中項的一般形式是從而這個項為零，所以 只能等于 , 同理可得解第28頁，共45頁。即行列式中不為零的項為例2 計算上三角行列式主對角線下方元素全部為零第29頁，共45頁。分析展開式中項的一般形式是所以不為零的項只有解第30頁，共45頁。例3第31頁，共45頁。同理可得下三角行列式主對角線上方元素全部為零第32頁，共45頁。例4 證明對角行列式對角線以外的元素全部為零第33頁，共45頁。證明第一式是顯然的,下面證第二式.若記則依行列式定義證畢第34頁，共45頁。結(jié)論 調(diào)換行列式的乘積項中兩元素的次序，行 標(biāo)排列與列標(biāo)排列的逆序數(shù)之和不改變奇偶性。三、行列

9、式的列順序表示法證 設(shè)有乘積項對換元素后，得 由于 的奇偶性相反， 的奇偶性也相反，故 有相同的奇偶性。第35頁，共45頁。定理2 (列順序表示法) n 階行列式也可定義為其中 s 為行標(biāo)排列 的逆序數(shù)。證 由定義 ， 易知對于D中任一項 ，在D1中總有且只有一項與其對應(yīng)并相等，反之亦然。也即D與D1中的項一一對應(yīng)并相等，從而 D= D1.第36頁，共45頁。定理3 階行列式也可定義為其中 是兩個 級排列， 為行標(biāo)排列逆序數(shù)與列標(biāo)排列逆序數(shù)的和.例5 試判斷 和是否都是六階行列式中的項.解下標(biāo)的逆序數(shù)為所以 是六階行列式中的項.第37頁，共45頁。下標(biāo)的逆序數(shù)為所以 不是六階行列式中的項.第38頁，共45頁。例6 在六階行列式中，下列兩項各應(yīng)帶什么符號.解431265的逆序數(shù)為所以 前邊應(yīng)帶正號.第39頁，共45頁。行標(biāo)排列341562的逆序數(shù)為列標(biāo)排列234165的逆序數(shù)為所以 前邊應(yīng)帶正號.第40頁，共45頁。 證 不妨設(shè)行列式的第 行元素全為零，即于是例7. 證明 若行列式中有一行（或一列）元素全為0，則行列式等于0.證畢第41頁，共45頁。思考題已知第42頁，共45頁。思