傅立葉變換的由來

1、傅立葉變換的由來作者:日期:廣、傅立葉變換的由來？關(guān)于傅立葉變換，無論是書本還是在網(wǎng)上可以很容易找到關(guān)于傅立葉 變換的描述，但是大都是些故弄玄虛的文章，太過抽象，盡是一些讓人看了就望而生畏的公式的羅列，讓人很難能夠從感性上得到理解， 最近，我偶爾從網(wǎng)上看到一個關(guān)于數(shù)字信號處理的電子書籍，是一個叫Steven W. Smith, Ph . D.外國人寫的，寫得非常淺顯，里面有七 章由淺入深地專門講述關(guān)于離散信號的傅立葉變換，雖然是英文文檔，我還是硬著頭皮看完了有關(guān)傅立葉變換的有關(guān)內(nèi)容，看了有茅塞頓開的感覺，在此把我從中得到的理解拿出來跟大家分享，希望很多 被傅立葉變換迷惑的朋友能夠得到一點(diǎn)啟發(fā)，

2、這電子書籍是免費(fèi)的，有 興趣的朋友也可以從網(wǎng)上下載下來看一下，URL地址是：要理解傅立葉變換，確實(shí)需要一定的耐心，別一下子想著傅立葉變換 是怎么變換的，當(dāng)然，也需要一定的高等數(shù)學(xué)基礎(chǔ)，最基本的是級數(shù) 變換,其中傅立葉級數(shù)變換是傅立葉變換的基礎(chǔ)公式。二、傅立葉變換的提出？讓我們先看看為什么會有傅立葉變換？傅立葉是一位法國數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家的名字，英語原名是J ea n Bap t i ste Joseph Four i er (1 7 68 18 3 0 ),Fo ur i e r對熱傳遞很感興趣，于18 0 7年在法 國科學(xué)學(xué)會上發(fā)表了一篇論文，運(yùn)用正弦曲線來描述溫度分布，論文里有個在當(dāng)時具有爭

3、議性的決斷：任何連續(xù)周期信號可以由一組適當(dāng) 的正弦曲線組合而成。當(dāng)時審查這個論文的人，其中有兩位是歷史上著名的數(shù)學(xué)家拉格朗日(J oseph Louis Lag range, 1 736-1813)和拉普拉斯(Pi err e S imo n de Laplac e , 1749 1827 )，當(dāng)拉普拉斯和其它審查者投票通過并要發(fā)表這個論文時，拉格朗日堅(jiān)決反對，在近5 0年的時間里，拉格朗日堅(jiān)持認(rèn)為傅立葉的方法 無法表示帶有棱角的信號，如在方波中出現(xiàn)非連續(xù)變化斜率。 法國科 學(xué)學(xué)會屈服于拉格朗日的威望，拒絕了傅立葉的工作，幸運(yùn)的是，傅立葉還有其它事情可忙，他參加了政治運(yùn)動，隨拿破侖遠(yuǎn)征埃及，法

4、國大革命后因會被推上斷頭臺而一直在逃避。直到拉格朗日死后1 5年這個論文才被發(fā)表出來。誰是對的呢？拉格朗日是對的：正弦曲線無法組合成一個帶有棱角的 信號。但是，我們可以用正弦曲線來非常逼近地表示它，逼近到兩種表 示方法不存在能量差別，基于此，傅立葉是對的。為什么我們要用正弦曲線來代替原來的曲線呢 ？如我們也還可以用方 波或三角波來代替呀，分解信號的方法是無窮的，但分解信號的目的是 為了更加簡單地處理原來的信號。用正余弦來表示原信號會更加簡單 因?yàn)檎嘞覔碛性盘査痪哂械男再|(zhì)：正弦曲線保真度。一個正弦曲線信號輸入后，輸出的仍是正弦曲線，只有幅度和相位可能發(fā)生變 化,但是頻率和波的形狀仍是一樣的

5、。且只有正弦曲線才擁有這樣的 性質(zhì)，正因如此我們才不用方波或三角波來表示。三、傅立葉變換分類？根據(jù)原信號的不同類型，我們可以把傅立葉變換分為四種類別3. 1非周期性連續(xù)信號：傅立葉變換(Fourier Transform )3 ,2 周期性連續(xù)信號：傅立葉級數(shù)(Fourier Ser ies)3 .3非周期性離散信號：離散時域傅立葉變換(Di s cret e TimeF ourier Transfor m)3 ,4 周期性離散信號：離散傅立葉變換(Disc r ete Four i e r Ta ansform)下圖是四種原信號圖例Example SignalType of Transfar

6、inFoi iner Tmlbnnsiguals thar flrr rm：巾./。右為apv-iodicstgitok tfiQi aroeonriniotts andperictiicDi/i v T nue 1 ：ffpcnotiic這四種傅立葉變換都是針對正無窮大和負(fù)無窮大的信號，即信號的長 度是無窮大的，我們知道這對于計(jì)算機(jī)處理來說是不可能的，那么有 沒有針對長度有限的傅立葉變換呢？沒有。 因?yàn)檎嘞也ū欢x成從負(fù)無窮小到正無窮大，我們無法把一個長度無限的信號組合成長度有限的信號。面對這種困難，方法是把長度有限的信號表示成長度無限 的信號，可以把信號無限地從左右進(jìn)行延伸，延伸的部分用

7、零來表示， 這樣，這個信號就可以被看成是非周期性離散信號，我們就可以用到離 散時域傅立葉變換的方法。還有，也可以把信號用復(fù)制的方法進(jìn)行延 伸，這樣信號就變成了周期性離散信號，這時我們就可以用離散傅立 葉變換方法進(jìn)行變換。這里我們要學(xué)的是離散信號，對于連續(xù)信號我 們不作討論，因?yàn)橛?jì)算機(jī)只能處理離散的數(shù)值信號，我們的最終目的是運(yùn)用計(jì)算機(jī)來處理信號的。?但是對于非周期性的信號，我們需要用無窮多不同頻率的正弦曲線 來表示，這對于計(jì)算機(jī)來說是不可能實(shí)現(xiàn)的。所以對于離散信號的變 換只有離散傅立葉變換(DFT)才能被適用，對于計(jì)算機(jī)來說只有離散 的和有限長度的數(shù)據(jù)才能被處理，對于其它的變換類型只有在數(shù)學(xué)演

8、算中才能用到，在計(jì)算機(jī)面前我們只能用 D FT方法，后面我們要理 解的也正是DFT方法。這里要理解的是我們使用周期性的信號目的 是為了能夠用數(shù)學(xué)方法來解決問題，至于考慮周期性信號是從哪里得 到或怎樣得到是無意義的。每種傅立葉變換都分成實(shí)數(shù)和復(fù)數(shù)兩種方法，對于實(shí)數(shù)方法是最好理 解的，但是復(fù)數(shù)方法就相對復(fù)雜許多了，需要懂得有關(guān)復(fù)數(shù)的理論知 識，不過，如果理解了實(shí)數(shù)離散傅立葉變換(real DFT),再去理解復(fù) 數(shù)傅立葉就更容易了，所以我們先把復(fù)數(shù)的傅立葉放到一邊去，先來理解實(shí)數(shù)傅立葉變換，在后面我們會先講講關(guān)于復(fù)數(shù)的基本理論，然后在理解了實(shí)數(shù)傅立葉變換的基礎(chǔ)上再來理解復(fù)數(shù)傅立葉變換。還有，這里我們

9、所要說的變換（t r an s form ）雖然是數(shù)學(xué)意義上的 變換，但跟函數(shù)變換是不同的，函數(shù)變換是符合一一映射準(zhǔn)則的，對于 離散數(shù)字信號處理（DSP）,有許多的變換：傅立葉變換、拉普拉斯 變換、Z變換、希爾伯特變換、離散余弦變換等，這些都擴(kuò)展了函數(shù) 變換的定義，允許輸入和輸出有多種的值，簡單地說變換就是把一堆的 數(shù)據(jù)變成另一堆的數(shù)據(jù)的方法。四、傅立葉變換的物理意義澗立葉變換是數(shù)字信號處理領(lǐng)域一種很 重要的算法。要知道傅立葉變換算法的意義，首先要了解傅立葉原理 的意義。傅立葉原理表明：任何連續(xù)測量的時序或信號，都可以表示為不同頻率的正弦波信號的無限疊加。而根據(jù)該原理創(chuàng)立的傅立葉變 換算法利用

10、直接測量到的原始信號，以累加方式來計(jì)算該信號中不同 正弦波信號的頻率、振幅和相位。和傅立葉變換算法對應(yīng)的是反傅立葉變換算法。 該反變換從本質(zhì)上說 也是一種累加處理，這樣就可以將單獨(dú)改變的正弦波信號轉(zhuǎn)換成一個 信號。因此，可以說，傅立葉變換將原來難以處理的時域信號轉(zhuǎn)換成了 易于分析的頻域信號（信號的頻譜），可以利用一些工具對這些頻域信 號進(jìn)行處理、加工。最后還可以利用傅立葉反變換將這些頻域信號轉(zhuǎn) 換成時域信號。？從現(xiàn)代數(shù)學(xué)的眼光來看，傅里葉變換是一種特殊的積分變換。它能將滿足一定條件的某個函數(shù)表示成正弦基函數(shù)的線性組 合或者積分。在不同的研究領(lǐng)域，傅里葉變換具有多種不同的變體形 式，如連續(xù)傅里葉

11、變換和離散傅里葉變換。？在數(shù)學(xué)領(lǐng)域，盡管最初傅 立葉分析是作為熱過程的解析分析的工具，但是其思想方法仍然具有 典型的還原論和分析主義的特征。”任意”的函數(shù)通過一定的分解 都能夠表示為正弦函數(shù)的線性組合的形式，而正弦函數(shù)在物理上是被 充分研究而相對簡單的函數(shù)類：1、傅立葉變換是線性算子，若賦予適當(dāng)?shù)姆稊?shù)，它還是酉算子；2、傅立葉變換的逆變換容易求出，而且形式與正變換非常類似；3、正弦基函數(shù)是微分運(yùn)算的本征函數(shù)，從而使得線性微分方程的求 解可以轉(zhuǎn)化為常系數(shù)的代數(shù)方程的求解。 在線性時不變雜的卷積運(yùn)算 為簡單的乘積運(yùn)算，從而提供了計(jì)算卷積的一種簡單手段 ；4、離散形式的傅立葉的物理系統(tǒng)內(nèi)，頻率是個不

12、變的性質(zhì)，從而系 統(tǒng)對于復(fù)雜激勵的響應(yīng)可以通過組合其對不同頻率正弦信號的響應(yīng) 來獲取；5、著名的卷積定理指出：傅立葉變換可以化復(fù)變換可以利用數(shù)字計(jì) 算機(jī)快速的算出，其算法稱為快速傅立葉變換算法（FFT）。正是由于上述的良好性質(zhì)，傅里葉變換在物理學(xué)、數(shù)論、組合數(shù)學(xué)、 信號處理、概率、統(tǒng)計(jì)、密碼學(xué)、聲學(xué)、光學(xué)等領(lǐng)域都有著廣泛的應(yīng) 用。五、圖像傅立葉變換的物理意義圖像的頻率是表征圖像中灰度變化劇烈程度的指標(biāo)，是灰度在平面空間上的梯度。如：大面積的沙漠在圖像中是一片灰度變化緩慢的區(qū)域， 對應(yīng)的頻率值很低；而對于地表屬性變換劇烈的邊緣區(qū)域在圖像中是 一片灰度變化劇烈的區(qū)域，對應(yīng)的頻率值較高。傅立葉變換在

13、實(shí)際中 有非常明顯的物理意義，設(shè)f是一個能量有限的模擬信號，則其傅立 葉變換就表示f的譜。從純粹的數(shù)學(xué)意義上看，傅立葉變換是將一個 函數(shù)轉(zhuǎn)換為一系列周期函數(shù)來處理的。 從物理效果看，傅立葉變換是 將圖像從空間域轉(zhuǎn)換到頻率域，其逆變換是將圖像從頻率域轉(zhuǎn)換到空 間域。換句話說，傅立葉變換的物理意義是將圖像的灰度分布函數(shù)變 換為圖像的頻率分布函數(shù)，傅立葉逆變換是將圖像的頻率分布函數(shù)變 換為灰度分布函數(shù)。？傅立葉變換以前，圖像（未壓縮的位圖）是由對在連續(xù)空間（現(xiàn)實(shí)空間）上 的采樣得到一系列點(diǎn)的集合，我們習(xí)慣用一個二維矩陣表示空間上各 點(diǎn)，則圖像可由z= f （x, y）來表示。由于空間是三維的，圖像是

14、二維 的，因此空間中物體在另一個維度上的關(guān)系就由梯度來表示，這樣我 們可以通過觀察圖像得知物體在三維空間中的對應(yīng)關(guān)系。為什么要提梯度？因?yàn)閷?shí)際上對圖像進(jìn)行二維傅立葉變換得到頻譜圖，就是圖像梯度的分布圖，當(dāng)然頻譜圖上的各點(diǎn)與圖像上各點(diǎn)并不存在一一對應(yīng) 的關(guān)系，即使在不移頻的情況下也是沒有。傅立葉頻譜圖上我們看到 的明暗不一的亮點(diǎn)，實(shí)際上圖像上某一點(diǎn)與鄰域點(diǎn)差異的強(qiáng)弱，即梯度的大小，也即該點(diǎn)的頻率的大?。梢赃@么理解 ，圖像中的低頻部 分指低梯度的點(diǎn)，高頻部分相反）。一般來講，梯度大則該點(diǎn)的亮度強(qiáng)，否則該點(diǎn)亮度弱。這樣通過觀察傅立葉變換后的頻譜圖，也叫功率圖,我們首先就可以看出，圖像的能量分布，如

15、果頻譜圖中暗的點(diǎn)數(shù)更多， 那么實(shí)際圖像是比較柔和的（因?yàn)楦鼽c(diǎn)與鄰域差異都不大，梯度相對較?。?，反之，如果頻譜圖中亮的點(diǎn)數(shù)多，那么實(shí)際圖像一定是尖銳的，邊 界分明且邊界兩邊像素差異較大的。對頻譜移頻到原點(diǎn)以后，可以看出圖像的頻率分布是以原點(diǎn)為圓心， 對稱分布的。將頻譜移頻到圓心 除了可以清晰地看出圖像頻率分布以外，還有一個好處，它可以分離出有周期性規(guī)律的干擾信號，比如正弦干擾，一副帶有正弦干擾，移 頻到原點(diǎn)的頻譜圖上可以看出除了中心以外還存在以某一點(diǎn)為中心， 對稱分布的亮點(diǎn)集合，這個集合就是干擾噪音產(chǎn)生的，這時可以很直 觀的通過在該位置放置帶阻濾波器消除干擾。另外我還想說明以下幾點(diǎn)：？1、圖像經(jīng)

16、過二維傅立葉變換后，其變換系數(shù)矩陣表明：若變換矩陣 Fn原點(diǎn)設(shè)在中心，其頻譜能量集中分布在變換系數(shù)短陣的中心附近 （圖中陰影區(qū)）。若所用的二維傅立葉變換矩陣Fn的原點(diǎn)設(shè)在左上角， 那么圖像信號能量將集中在系數(shù)矩陣的四個角上。 這是由二維傅立葉 變換本身性質(zhì)決定的。同時也表明一股圖像能量集中低頻區(qū)域。2、變換之后的圖像在原點(diǎn)平移之前四角是低頻，最亮，平移之后中間部分是低頻，最亮，亮度大說明低頻的能量大（幅角比較大）。六、一個關(guān)于實(shí)數(shù)離散傅立葉變換（Real D FT）的例子先來看一個變換實(shí)例，一個原始信號的長度是16,于是可以把這個信號分解9個余弦波和9個正弦波（一個長度為N的信號可以分解成N/

17、2+1個正余弦信號，這是為什么呢？結(jié)合下面的18個正余弦圖，我想從計(jì)算機(jī)處理精度上就不難理解，一個長度為 N的信號，最多只能有N/ 2+1個不同頻率，再多的頻率就超過了計(jì)算機(jī)所能所處理的精度范圍），如下圖:9個正弦信號:?Sine Waxes1I5 S Id 12 14 1?9個余弦信號:工 $ 笈四門14 1S把以上所有信號相加即可得到原始信號 ，至于是怎么分別變換出9種 不同頻率信號的，我們先不急，先看看對于以上的變換結(jié)果，在程序中 又是該怎么表示的，我們可以看看下面這個示例圖：Time Domain上圖中左邊表示時域中的信號，右邊是頻域信號表示方法，從左向右 表示正向轉(zhuǎn)換(Forward

18、 D FT),從右向左表示逆向轉(zhuǎn)換 (I n ver s e DFT),用小寫x表示信號在每個時間點(diǎn)上的幅度值數(shù)組，用大寫 X口表示每種頻率的幅度值數(shù)組，因?yàn)橛蠳/ 2 +1種頻率，所以該數(shù)組 長度為N/2+1, X 口數(shù)組又分兩種，一種是表示余弦波的不同頻率 幅度值：Re X，另一種是表示正弦波的不同頻率幅度值：1m X ,R e是實(shí)數(shù)(Real)的意思，I m是虛數(shù)(I m agine)的意思，采用復(fù)數(shù)的表 示方法把正余弦波組合起來進(jìn)行表示，但這里我們不考慮復(fù)數(shù)的其它 作用，只記住是一種組合方法而已，目的是為了便于表達(dá)(在后面我們會知道，復(fù)數(shù)形式的傅立葉變換長度是N,而不是N/2+1)。七

19、、用Matlab實(shí)現(xiàn)快速傅立葉變換？FFT是離散傅立葉變換的快速算 法，可以將一個信號變換到頻域。有些信號在時域上是很難看出什么 特征的，但是如果變換到頻域之后，就很容易看出特征了。這就是很多信號分析采用FFT變換的原因。另外，F(xiàn) FT可以將一個信號的頻譜提取出來，這在頻譜分析方面也是經(jīng)常用的。？?雖然很多人都知道 FFT是什么，可以用來做什么，怎么去做，但是卻不知道 FFT之后的 結(jié)果是什意思、如何決定要使用多少點(diǎn)來做 FFT。?現(xiàn)在就根據(jù)實(shí)際經(jīng)驗(yàn)來說說F FT結(jié)果的具體物理意義。一個模擬信 號，經(jīng)過A DC采樣之后，就變成了數(shù)字信號。采樣定理告訴我們 ，采 樣頻率要大于信號頻率的兩倍，這些

20、我就不在此啰嗦了。 ？采樣得到的數(shù)字信號，就可以做FF T變換了。N個采樣點(diǎn)，經(jīng)過F FT之后，就可以得到N個點(diǎn)的FFT結(jié)果。為了方便進(jìn)行 FFT運(yùn)算，通 常N取2的整數(shù)次方。假設(shè)采樣頻率為Fs,信號頻率F,采樣點(diǎn)數(shù)為No那么F FT之后結(jié)果 就是一個為N點(diǎn)的復(fù)數(shù)。每一個點(diǎn)就對應(yīng)著一個頻率點(diǎn)。這個點(diǎn)的 模值，就是該頻率值下的幅度特性。具體跟原始信號的幅度有什么關(guān) 系呢？假設(shè)原始信號的峰值為A,那么F FT的結(jié)果的每個點(diǎn)（除了第一 個點(diǎn)直流分量之外）的模值就是 A的N/2倍。而第一個點(diǎn)就是直流 分量，它的模值就是直流分量的 N倍。而每個點(diǎn)的相位呢，就是在該 頻率下的信號的相位。第一個點(diǎn)表示直流分

21、量（即0Hz），而最后一個 點(diǎn)N的再下一個點(diǎn)（實(shí)際上這個點(diǎn)是不存在的，這里是假設(shè)的第N+ 1個點(diǎn)，也可以看做是將第一個點(diǎn)分做兩半分，另一半移到最后）則表 示采樣頻率Fs，這中間被N-1個點(diǎn)平均分成N等份，每個點(diǎn)的頻率依 次增加。例如某點(diǎn)n所表示的頻率為：Fn= （n- l）*Fs/N。由上面的公式可以看出，F(xiàn)n所能分辨到頻率為為Fs/N ,如果采樣頻率F s 為1 0 2 4 H z,采樣點(diǎn)數(shù)為1024點(diǎn)，則可以分辨到1Hz。1 0 2 4Hz的 采樣率采樣1 0 2 4點(diǎn)，剛好是1秒，也就是說，采樣1秒時間的信號并 做FFT,則結(jié)果可以分析到1Hz,如果采樣2秒時間的信號并做 FFT, 則結(jié)

22、果可以分析到0.5H z。如果要提高頻率分辨力，則必須增加采樣 點(diǎn)數(shù)，也即采樣時間。頻率分辨率和采樣時間是倒數(shù)關(guān)系。？?假設(shè)FFT之后某點(diǎn)n用復(fù)數(shù)a + b i表示，那么這個復(fù)數(shù)的模就是A n =根 號a*a+b*b,相位就是Pn=atan2(b,a )。根據(jù)以上的結(jié)果，就可以 計(jì)算出n點(diǎn)(n # 1 ,且n=N/2 )對應(yīng)的信號的表達(dá)式為：An/ (N/2 ) *cos( 2 * p i*F n * t +P n )，即2*An/ N* c o s(2 * pi * F n * t +P n )。 對于n = 1點(diǎn)的信號，是直流分量，幅度即為A1 /No由于F FT結(jié)果 的對稱性，通常我們只

23、使用前半部分的結(jié)果，即小于采樣頻率一半的結(jié) 果。？下面以一個實(shí)際的信號來做說明。假設(shè)我們有一個信號，它含有 2V 的直流分量瀕率為50H z、相位為-30度、幅度為3V的交流信號，以 及一個頻率為7 5Hz、相位為9 0度、幅度為1 . 5V的交流信號。用 數(shù)學(xué)表達(dá)式就是如下：?S=2+ 3 *cos(2*pi * 5 0 *t- p i*30/ 1 8 0)+1.5 * cos(2*p i *75*t+ p i *90/180) 求中cos參數(shù)為弧度，所以一3 0度和9 0度 要分別換算成弧度。我們以25 6 Hz的采樣率對這個信號進(jìn)行采樣， 總共采樣2 5 6點(diǎn)。按照我們上面的分析,Fn=

24、 (n 1)*Fs/N,我們可 以知道，每兩個點(diǎn)之間的間距就是1Hz,第n個點(diǎn)的頻率就是n-1 。我們的信號有3個頻率：0Hz、5 0Hz、75Hz,應(yīng)該分別在第1個點(diǎn)、第51個點(diǎn)、第76個點(diǎn)上出現(xiàn)峰值，其它各點(diǎn)應(yīng)該接近0。實(shí)際情況如 何呢？我們來看看FFT的結(jié)果的模值如圖所示。？從圖中我們可以看到，在第1點(diǎn)、第5 1點(diǎn)、和第7 6點(diǎn)附近有比較大的值。我們分別將 這三個點(diǎn)附近的數(shù)據(jù)拿上來細(xì)看：1 點(diǎn)： 512+0 i2點(diǎn)：一2 .6195E- 1 4 - 1 .4 1 62E- 1 3 i3點(diǎn)：-2 .8586E-14 1 .18 9 8E-1 3 i5 0點(diǎn)：-6. 2 0 7 6 E 13 2.1 7 13E-1 2 i5 1 點(diǎn):3 3 2.5 5 - 1 9 2 152點(diǎn):-1. 6 7 0 7E- 1 2 - 1. 5 241 E-12i75 點(diǎn):-2.2 1 99 E-13 1. 0 0 7 6E-1 2 i76 點(diǎn):3.4 3 1 5 E-12 + 1 92i7 7點(diǎn):- 3.02 6 3E- 1 4 +7.5609 E-13 i?很明顯，1點(diǎn)、51點(diǎn)、76點(diǎn)的值都比較大，它附近的點(diǎn)值都很小，可以 認(rèn)為是0,即在那些頻率點(diǎn)上的信號幅度為 0。接著，我們來計(jì)算各點(diǎn) 的幅度值。分別計(jì)算這三個點(diǎn)的模值，結(jié)果如下：1 點(diǎn)：5