高中數(shù)學選修第一冊：課時跟蹤檢測（十八） 橢圓及其標準方程

1、課時跟蹤檢測（十八） 橢圓及其標準方程1若橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,4)1上一點P到焦點F1的距離為3，則點P到另一焦點F2的距離為()A6B7C8D9解析：選B根據(jù)橢圓的定義知，|PF1|PF2|2a2510，因為|PF1|3，所以|PF2|7.2若橢圓eq f(x2,m)eq f(y2,4)1的焦距為2，則m的值為()A5B3C5或3D8解析：選C由題意得c1，a2b2c2.當m4時，m415；當m|F1F2|8，則其軌跡是橢圓，所以C正確；D中，軌跡應是線段F1F2的垂直平分線，所以D錯誤故選A、C.4“1m3”是“方程eq f(x2,m1)eq f(y2,3m)1表示橢

2、圓”的()A充分不必要條件B必要不充分條件C充要條件D既不充分也不必要條件解析：選B當方程eq f(x2,m1)eq f(y2,3m)1表示橢圓時，必有eq blcrc (avs4alco1(m10，,3m0，,m13m，)所以1m3且m2；當m2時，方程變?yōu)閤2y21，它表示一個圓故選B.5已知P為橢圓C上一點，F(xiàn)1，F(xiàn)2為橢圓的焦點，且|F1F2|2eq r(3)，若2|F1F2|PF1|PF2|，則橢圓C的標準方程為()A.eq f(x2,12)eq f(y2,9)1B.eq f(x2,12)eq f(y2,9)1或eq f(x2,9)eq f(y2,12)1C.eq f(x2,9)eq

3、 f(y2,12)1D.eq f(x2,48)eq f(y2,45)1或eq f(x2,45)eq f(y2,48)1解析：選B由已知2c|F1F2|2eq r(3)，ceq r(3).2a|PF1|PF2|2|F1F2|4eq r(3)，a2eq r(3).b2a2c29.故橢圓C的標準方程是eq f(x2,12)eq f(y2,9)1或eq f(x2,9)eq f(y2,12)1.6若ABC的兩個頂點坐標為A(4,0)，B(4,0)，ABC的周長為18，則頂點C的軌跡方程為_解析：ABC的兩個頂點坐標為A(4,0)，B(4,0)，周長為18，|AB|8，|BC|AC|10.|BC|AC|8

4、，點C到兩個定點A，B的距離之和為定值，點C的軌跡是以A，B為焦點，去除直線AB上的點的橢圓2a10,2c8，b3.頂點C的軌跡方程是eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0)答案：eq f(x2,25)eq f(y2,9)1(y0)7已知橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,2)1的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，點P在橢圓上若|PF1|4，則|PF2|_，F(xiàn)1PF2的大小為_解析：|PF1|PF2|2a6，|PF2|6|PF1|2.在F1PF2中，由余弦定理得cosF1PF2eq f(|PF1|2|PF2|2|F1F2|2,2|PF1|PF2|)eq f(16428,242)eq

5、f(1,2)，F(xiàn)1PF2120.答案：21208橢圓的兩焦點為F1(4,0)，F(xiàn)2(4,0)，點P在橢圓上，若PF1F2的面積最大為12，則橢圓的方程為_解析：如圖，當P在y軸上時PF1F2的面積最大，eq f(1,2)8b12，b3.又c4，a2b2c225.橢圓的標準方程為eq f(x2,25)eq f(y2,9)1.答案：eq f(x2,25)eq f(y2,9)19求符合下列條件的橢圓的標準方程(1)過點eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)，r(3)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)，1)；(2)過點(3,2)且與橢圓eq f(x2

6、,9)eq f(y2,4)1有相同的焦點解：(1)設所求橢圓方程為mx2ny21(m0，n0，mn)橢圓過點eq blc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)，r(3)和eq blc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)，1)，eq blcrc (avs4alco1(mblc(rc)(avs4alco1(f(r(6),3)2nr(3)21，,mblc(rc)(avs4alco1(f(2r(2),3)2n121，)解得eq blcrc (avs4alco1(m1，,nf(1,9).)所求橢圓的標準方程為x2eq f(y2,9)1.(2)由題意得已知橢圓eq f(x2,9)e

7、q f(y2,4)1中a3，b2，且焦點在x軸上，c2945.設所求橢圓方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,a25)1.點(3,2)在所求橢圓上，eq f(9,a2)eq f(4,a25)1.a215或a23(舍去)所求橢圓的標準方程為eq f(x2,15)eq f(y2,10)1.10已知點P在橢圓上，且P到橢圓的兩個焦點的距離分別為5,3.過P且與橢圓的長軸垂直的直線恰好經(jīng)過橢圓的一個焦點，求橢圓的標準方程解：法一：設所求的橢圓方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)或eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，由已知條件得eq blcrc (a

8、vs4alco1(2a53，,2c25232，)解得eq blcrc (avs4alco1(a4，,c2，)所以b2a2c212.于是所求橢圓的標準方程為eq f(x2,16)eq f(y2,12)1或eq f(y2,16)eq f(x2,12)1.法二：設所求的橢圓方程為eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1(ab0)或eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)，兩個焦點分別為F1，F(xiàn)2.由題意知2a|PF1|PF2|358，所以a4.在方程eq f(x2,a2)eq f(y2,b2)1中，令xc，得|y|eq f(b2,a)；在方程eq f(y2,a2)eq f(x2

9、,b2)1中，令yc，得|x|eq f(b2,a).依題意有eq f(b2,a)3，得b212.于是所求橢圓的標準方程為eq f(x2,16)eq f(y2,12)1或eq f(y2,16)eq f(x2,12)1.B級綜合運用11橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,9)1的焦點為F1，F(xiàn)2，P為橢圓上的一點，已知eq o(PF1,sup7()eq o(PF2,sup7()0，則F1PF2的面積為()A9B12C10D8解析：選Aeq o(PF1,sup7()eq o(PF2,sup7()0，PF1PF2.|PF1|2|PF2|2|F1F2|2且|PF1|PF2|2a.又a5，b3，c4

10、，eq blcrc (avs4alco1(|PF1|2|PF2|264，,|PF1|PF2|10. )2，得2|PF1|PF2|36，|PF1|PF2|18，F(xiàn)1PF2的面積為Seq f(1,2)|PF1|PF2|9.12已知P為橢圓eq f(x2,25)eq f(y2,16)1上的一點，M，N分別為圓(x3)2y21和圓(x3)2y24上的點，則|PM|PN|的最小值為()A5B7C13D15解析：選B由題意知橢圓的兩個焦點F1，F(xiàn)2分別是兩圓的圓心，且|PF1|PF2|10，從而|PM|PN|的最小值為|PF1|PF2|127.13橢圓具有如下的光學性質：從一個焦點發(fā)出的光線經(jīng)過橢圓內(nèi)壁反

11、射后恰好穿過另一個焦點現(xiàn)從橢圓eq f(x2,9)eq f(y2,5)1的左焦點F發(fā)出的一條光線，經(jīng)過橢圓內(nèi)壁兩次反射后，回到點F，則光線所經(jīng)過的總路程為_解析：依題意可知光線經(jīng)兩次橢圓壁反射后回到F點，故根據(jù)橢圓的定義可知所走的路程正好是4a4312.答案：1214已知橢圓eq f(y2,a2)eq f(x2,b2)1(ab0)的焦點分別是F1(0，1)，F(xiàn)2(0,1)，且3a24b2.(1)求橢圓的標準方程；(2)設點P在這個橢圓上，且|PF1|PF2|1，求F1PF2的余弦值解：(1)依題意，知c21，又c2a2b2，且3a24b2，所以a2eq f(3,4)a21，即eq f(1,4)

12、a21，所以a24，b23，故橢圓的標準方程為eq f(y2,4)eq f(x2,3)1.(2)由于點P在橢圓上，所以|PF1|PF2|2a224.又|PF1|PF2|1，所以|PF1|eq f(5,2)，|PF2|eq f(3,2).又|F1F2|2c2，所以由余弦定理得cos F1PF2eq f(blc(rc)(avs4alco1(f(5,2)2blc(rc)(avs4alco1(f(3,2)222,2f(5,2)f(3,2)eq f(3,5).故F1PF2的余弦值等于eq f(3,5).C級拓展探究15設F1，F(xiàn)2分別是橢圓eq f(x2,4)y21的兩焦點，B為橢圓上的點且坐標為(0，1)(1)若P是該橢圓上的一個動點，求|PF1|PF2|的最大值；(2)設M是該橢圓上的一個動點，求MBF1的周長的最大值解：(1)因為橢圓的方程為eq f(x2,4)y21，所以a2，b1，ceq r(3)，即|F1F2|2eq r(3)，又因為|PF1|PF2|2a4，所以|PF