高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：2.3.2 分層演練 綜合提升

1、A級(jí)基礎(chǔ)鞏固1.已知ABC的頂點(diǎn)分別為A(7,8),B(10,4),C(2,-4),則BC邊上的中線AM的長為 ()A.8 B.13 C.215 D.65解析:由B(10,4),C(2,-4),得中點(diǎn)M的坐標(biāo)為(6,0).因?yàn)辄c(diǎn)A的坐標(biāo)為(7,8),所以|AM|=(6-7)2+(0-8)2=65.答案:D2.已知ABC的頂點(diǎn)分別為A(2,3),B(-1,0),C(2,0),則ABC的周長是 ()A.23 B.3+23 C.6+32 D.6+10解析:由兩點(diǎn)間距離公式,得|AB|=(2+1)2+32=32,|BC|=(2+1)2+02=3,|AC|=(2-2)2+32=3,所以ABC的周長為6+

2、32.答案:C3.已知兩點(diǎn)A(-3,4)和B(0,b),且|AB|=5,則b等于()A.0或8 B.0或-8 C.0或6 D.0或-6解析:由兩點(diǎn)間距離公式,得|AB|=32+(b-4)2=5,解得b=0或b=8.答案:A4.已知兩點(diǎn)A(5,2a-1),B(a+1, a-4),當(dāng)|AB|取最小值時(shí),a= 12 .解析:由兩點(diǎn)間距離公式,得|AB|=(5-a-1)2+(2a-1-a+4)2=(a-4)2+(a+3)2=a2-8a+16+a2+6a+9=2a2-2a+25=2a-122+492,所以當(dāng)a=12時(shí),|AB|取最小值.5.設(shè)點(diǎn)A在x軸上,點(diǎn)B在y軸上,AB的中點(diǎn)是P(2,-1),則|A

3、B|等于25.解析:設(shè)A(x,0),B(0,y).因?yàn)锳B的中點(diǎn)是P(2,-1),所以x2=2,y2=-1,所以x=4,y=-2,即A(4,0),B(0,-2),所以|AB|=42+22=25.6.已知點(diǎn)A(0,-4),B(2,0),C(4,4),D(-5,1).(1)判斷A,B,C,D四點(diǎn)能否圍成四邊形,并說明理由;(2)求ACD的面積.解:(1)不能.理由:因?yàn)閗AB=0-(-4)2-0=2,kBC=4-04-2=2,所以kAB=kBC,所以A,B,C三點(diǎn)共線,所以A,B,C,D四點(diǎn)不能圍成四邊形.(2)因?yàn)閗CD=4-14-(-5)=13,所以直線CD的方程為y-4=13(x-4),即y

4、=13x+83.令x=0,得y=83,即直線CD與y軸的交點(diǎn)為E0,83,所以|AE|=203,所以SACD=12|AE|xC-xD|=122034-(-5)=30.B級(jí)拓展提高7.已知點(diǎn)A(0,1),點(diǎn)B在直線x+y+1=0上運(yùn)動(dòng).當(dāng)|AB|最小時(shí),點(diǎn)B的坐標(biāo)是()A.(-1,1) B.(-1,0) C.(0,-1) D.(-2,1)解析:因?yàn)辄c(diǎn)B在直線x+y+1=0上運(yùn)動(dòng),所以設(shè)點(diǎn)B的坐標(biāo)為(x,-x-1).由兩點(diǎn)間距離公式可知|AB|=(x-0)2+(-x-1-1)2=2x2+4x+4=2(x+1)2+2,顯然,當(dāng)x=-1時(shí), |AB|有最小值,此時(shí)點(diǎn)B的坐標(biāo)是(-1,0).答案:B8.

5、已知兩點(diǎn)P(cos ,sin ),Q(cos ,sin ),則|PQ|的最大值為 ()A.2 B.2 C.4 D.22解析:因?yàn)镻(cos ,sin ),Q(cos ,sin ),所以|PQ|=(cos-cos)2+(sin-sin)2=cos 2+cos 2-2coscos+sin 2+sin 2-2sinsin=2-2(coscos+sinsin)=2-2cos(-).因?yàn)閏os(-)-1,1,所以|PQ|0,2,即|PQ|的最大值為2.答案:B9.函數(shù)y=x2-2x+10+x2+1的最小值為17.解析:因?yàn)閥=x2-2x+10+x2+1=(x-1)2+(0+3)2+(x-0)2+(0-1

6、)2,它表示x軸上的點(diǎn)(x,0)與點(diǎn)(1,-3)以及點(diǎn)(0,1)距離之和的最小值,所以(1,-3)與(0,1)之間的距離即為所求最小值,最小值為(0-1)2+(1+3)2=17.10.求證:等腰梯形的對(duì)角線相等.證明:如圖,在等腰梯形ABCD中,以AB邊所在直線為x軸,以AB邊的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn),建立平面直角坐標(biāo)系.設(shè)A(-a,0),D(b,c),由等腰梯形的性質(zhì)知B(a,0),C(-b,c).所以|AC|=(-b+a)2+(c-0)2 =(a-b)2+c2,|BD|=(b-a)2+(c-0)2=(a-b)2+c2,所以|AC|=|BD|,即等腰梯形的對(duì)角線相等.11.已知點(diǎn)A(-3,4),B(

7、2,3),在x軸上找一點(diǎn)P,使得|PA|=|PB|,并求出|PA|的值.解:設(shè)P(x,0),則|PA|=(-3-x)2+(4-0)2=x2+6x+25,|PB|=(x-2)2+(0-3)2=x2-4x+7.因?yàn)閨PA|=|PB|,所以x2+6x+25=x2-4x+7,解得x=-95,所以P-95,0,所以|PA|=-3-952+(4-0)2=21095. C級(jí)挑戰(zhàn)創(chuàng)新12.多選題在等腰直角三角形ABC中,C=90,若點(diǎn)A,C的坐標(biāo)分別為(0,4),(3,3),則點(diǎn)B的坐標(biāo)可能是()A.(2,0) B.(6,4) C.(4,6) D.(0,2)解析:設(shè)B(x,y),則y-3x-34-30-3=-

8、1,(x-3)2+(y-3)2=(0-3)2+(4-3)2,解得x=2,y=0或x=4,y=6.故點(diǎn)B的坐標(biāo)是(2,0)或(4,6).答案:AC13.多空題已知M(-1,3),N(2,1),點(diǎn)P在x軸上,且使|PM|+|PN|取得最小值,則最小值為5,此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)為54,0.解析:易知點(diǎn)M(-1,3)關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)是A(-1,-3).因?yàn)閨PM|+|PN|=|PA|+|PN|AN|=32+42=5,當(dāng)且僅當(dāng)A,P,N三點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立,所以|PM|+|PN|的最小值為5.因?yàn)閗AN=-3-1-1-2=43,所以直線AN的方程為y-(-3)=43x-(-1),即4x-3y-5=0.令y=0,得x=54,所以點(diǎn)P的坐標(biāo)為54,0.14.多空題已知直線3ax-y-2=0過定點(diǎn)A(0,-2),則直線(2a-1)x+5ay-1=0過定點(diǎn)B為-1,25,且|AB|=135