《利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題》教學設(shè)計

1、學習必備歡迎下載利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題教學設(shè)計授課班級：某高二（文）班1教學背景1.1學生特征分析我所試講班級是長溝中學高二文班，學生的平均年齡在16-17歲，多數(shù)學生對于所識記的材料，在再認和回憶時，沒有歪曲、遺漏、增補和臆測，初步具備在知覺某一事物時，能根據(jù)自己已有的知識、經(jīng)驗對事物加以解釋和判斷；具有一定的比較與分類思維，但是抽象概括及分析綜合思維欠缺。學生已經(jīng)系統(tǒng)的復習了函數(shù)、導數(shù)的相關(guān)知識，學生了解函數(shù)零點的定義，會利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。對導數(shù)有了一定的理解，學習積極性比較高，利用導數(shù)這一工具對函數(shù)的性質(zhì)研究比較好。但是理性思維比較欠缺，對于處理含參問題的能力還有待提高

2、，把新問題轉(zhuǎn)化問已解決問題的能力有待提高，缺乏選擇解決問題策略的能力。由于是借班作課，師生接觸少，師生之間的默契程度有待提高。1.2教師特點分析自己教學中的優(yōu)勢：注重學生自主學習、善于與信息技術(shù)的整合、善于鼓勵學生，能對學生進行有效指導。不足：由于是借班作課，與學生有效溝通較少。1.3學習內(nèi)容分析1、內(nèi)容分析：導數(shù)是微積分的核心概念之一。它是研究函數(shù)的單調(diào)性、最大（?。┲档葐栴}的最一般、最有效的工具,對我們描繪函數(shù)圖象帶來極大方便，高考對導數(shù)的考查重在導數(shù)的應(yīng)用，如求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間、極值最值、解決實際問題及與不等式的結(jié)合。而利用導數(shù)對函數(shù)性質(zhì)的研究有利于我們解決函數(shù)的零點問題。近幾年高考也出現(xiàn)

3、了一些函數(shù)零點問題或可轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題的題目，今年北京文科就出現(xiàn)了這樣的題目，所以本節(jié)課從三次函數(shù)出發(fā)探究函數(shù)零點問題，以簡單的含參數(shù)函數(shù)零點問題為載體，引導學生利用導數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值解決問題，突出數(shù)形結(jié)合思想、轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。2、例題分析：熱身練習：求函數(shù)f(x)x3x2x的單調(diào)區(qū)間和極值，并試求此函數(shù)的零點。題目比較簡單，學生可以獨立完成，目的是讓學生熟悉利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的基本過程；思考題：函數(shù)f(x)x3x2x1的圖像與x軸有幾個交點。讓學生認識到有些三次函數(shù)在現(xiàn)有水平上，無法求解，體會利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題的必要性和一般性。例1、已知函數(shù)f(x)x3x2xm（mR

4、），m取何值時，函數(shù)有一個零點，m取何值時，函數(shù)有兩個零點；m取何值時，函數(shù)有三個零點？是熱身練習的變式題，學生可以在練習的基礎(chǔ)上對本題分析，發(fā)現(xiàn)函數(shù)圖象與x交點個數(shù)與極值之間關(guān)系，引發(fā)解題策略的思考。學習必備歡迎下載練習：若曲線f(x)x2xsinxcosx與直線yb有兩個不同的交點，求b的取值范圍。請說明思路。思路比較簡單，可以用來檢查學生對于利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題的掌握情況及轉(zhuǎn)化思想的應(yīng)用。例2：討論函數(shù)f(x)2x33ax21有幾個零點。比較復雜，對學生來說比較難，教師要對學生出現(xiàn)的困難進行指導。2教學目標1、掌握函數(shù)零點的等價形式，能利用導數(shù)工具解決零點問題。2、學生經(jīng)歷利用導數(shù)對

5、例1、例2函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值的分析，結(jié)合函數(shù)圖象解決零點問題的過程，學生體會函數(shù)性質(zhì)與零點間的關(guān)系。3、通過例1、例2的不同解決，學生體會數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化數(shù)學思想的應(yīng)用，提高學生利用數(shù)學思想分析問題解決問題的能力?！窘虒W重點】利用導數(shù)分析函數(shù)性質(zhì)，解決函數(shù)零點問題及其轉(zhuǎn)化問題【教學難點】理解函數(shù)零點問題與兩個函數(shù)交點問題的轉(zhuǎn)化，解決問題策略的優(yōu)化選擇【教學方式】啟發(fā)式、探究式【輔助工具】多媒體課件，幾何畫板。3教學過程教學環(huán)節(jié)一、教學過程師生活動設(shè)計意圖教學策略1、函數(shù)零點的概念；學生回答2、函數(shù)零點問題的等價問題。教師展示課件知識準備3、如何求函數(shù)的零點。提出問題：求函數(shù)yf(x)

6、g(x)的復習鞏固舊知識，為本節(jié)課在零點問題等價問題是知識、方法上做什么？鋪墊。問答二、熱身練習1、求函數(shù)f(x)x3x2x的單調(diào)區(qū)間和極值，并試求此函數(shù)的零點。解：易求函數(shù)f(x)的單調(diào)增區(qū)通過本題的練習，學生復習利用導數(shù)研究函數(shù)的基本過程，學生求出函1數(shù)零點的個數(shù)間為(,1)和(,)3學生獨立完成，并展與導數(shù)確定零學生獨立1單調(diào)減區(qū)間為(1,)，所以示結(jié)果。教師針對學點個數(shù)的一致學習并展示3生出現(xiàn)的問題，及時性，初步體會導學習必備歡迎下載f(x)的極大值為f(1)1，指導，引導學生做出數(shù)解決函數(shù)零草圖點問題的作用。f(x)的極小值為2的設(shè)置目的15f()327.由函數(shù)f(x)的是讓學生認識

7、到有些三次函草圖可得函數(shù)有三個零點。問題2學生先思考，數(shù)在現(xiàn)有水平令f(x)0,即x3x2xx(x2x1)0解得函數(shù)的三個零點。,可教師引導學生結(jié)合函數(shù)的性質(zhì)利用圖象判斷零點個數(shù)。上，無法求解，體會利用導數(shù)研究函數(shù)零點三、2、函數(shù)f(x)x3x2x1的圖像與x軸有幾個交點。例1、已知函數(shù)f(x)x3x2xm問題的必要性和一般性。先請學生觀察熱身練習和例1合作探究教師引導學生觀察熱兩題的相同點（mR），m取何值時，函身練習與例1的不同。和不同點。數(shù)有一個零點，m取何值時，函數(shù)有兩個零點；m取何值時，函數(shù)有三個零點？學生發(fā)現(xiàn)單調(diào)性沒有通過本環(huán)節(jié)解：法一：在上一題的基礎(chǔ)上，變化，極值發(fā)生變化，的活動

8、，學生參容易得到：通過討論研究函數(shù)的與利用導數(shù)研f(x)的極大值為零點問題。f(1)m1，f(x)的極小值究函數(shù)性質(zhì)解決函數(shù)零點問題，體會導數(shù)的小組合作學習為f(1)m3527.由函數(shù)學生展示成果工具作用。學生注意到f(x)的草圖可得：（1）當m1或m527f(x)有一個零點；時，本題與熱身練習的區(qū)別與聯(lián)系，將問題轉(zhuǎn)化為研究函數(shù)極（2）當m1或m527時，值（含參數(shù)m，再討論隨著m互相討論f(x)有兩個零點；5（3）當1m時，f(x)27變化，函數(shù)圖象與x軸的交點，有三個零點法二學習必備歡迎下載教師利用幾何畫板展示另一種方法是兩個函數(shù)圖若f(x)x3x2xm0則x3x2xm(或mx3x2x)設(shè)

9、g(x)x3x2x(或g(x)x3x2x)結(jié)合復習的函數(shù)零點問題等價轉(zhuǎn)化形式，引象的交點，即定函數(shù)圖象與動直線的交點）為后面做鋪墊。通過圖像展示，學生體會函數(shù)零點的變化情況。小組合作討本題轉(zhuǎn)化為討論函數(shù)g(x)圖象m與直線y（或ym）交點的問題。(1)練習：若曲線f(x)x2xsinxcosx與導學生利用參數(shù)與變量分離的方法解決。學生結(jié)合圖象獨立完學生明白兩個函數(shù)圖象的交點問題與一個函數(shù)零點問題是等價問題檢查學生對論成直線yb有兩個不同的交點，求b的取值范圍。請說明思路于利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題的掌握情況及對函數(shù)零點等價問題的理解。學生說明自己的思路合作交流（選例2：討論函數(shù)當參數(shù)的位置f(x

10、)2x33ax21有幾個學生嘗試獨立完成，變化時，解決問題的策略如何講）零點。解：思路一：直接討論三次f(x)的單調(diào)性、極值即可。選擇，進行研教師巡視，及時指導。究，多角度啟發(fā)學生，激發(fā)學生方法一學生思路二：參數(shù)與變量分離的潛能。小組合作學11a(2x3x2)轉(zhuǎn)化為兩個學生展示自己的成果本題的難習點在于參數(shù)與學習必備歡迎下載函數(shù)交點問題。答案：a1時，f(x)有一個教師借助幾何畫板演示函數(shù)零點變化情況。變量分離后，對函數(shù)性質(zhì)的分析，函數(shù)圖像特方法二采取零點；a1時，f(x)有二個零點；a1時，f(x)有三個零點。問題：通過例1和例2的學習，點的剖析，教師要適時引導，學生能利用圖像正確確定零點情

11、況。替代式教學你獲得了什么經(jīng)驗？學生根據(jù)自己的理解，進行說明。及時反思總結(jié)，形成方法技能學生獨立完成四、總結(jié)1、哪些問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)零點問題？2、利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題學生自己說的策略通過小結(jié)使本節(jié)課的知識系統(tǒng)化，使學生深刻理解數(shù)學師生合作完成反思3、解決這類問題的關(guān)鍵是什么？教師做必要補充思想方法在解題中的地位和五、反應(yīng)用，培養(yǎng)學生養(yǎng)成對所學知識及時總結(jié)提煉的習慣，不斷提升自己。1、（2013北京文）已知函數(shù)學生課下獨立完成通過練習，饋練習f(x)x2xsinxcosx。（）若曲線yf(x)在點(a,f(a)處與直線yb相切，求a與b的值。（）若曲線yf(x)與直線檢測學生對方法掌握情況

12、。學生課下獨立完成學習必備歡迎下載yb有兩個不同的交點，求b的取值范圍。2、已知函數(shù)3f(x)ax3(a2)x26x32（選做）（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間（2）試討論曲線yf(x)與x軸公共點的個數(shù)。關(guān)于利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題教學反思教師是我從小的理想職業(yè)，現(xiàn)在我的職業(yè)理想是做一名研究性教師，工作總比較喜歡數(shù)學思考問題，一直認為數(shù)學學習不僅可以提高人的思考能力，而且可以提高人的素養(yǎng)。以“有志者，事竟成”為座右銘。6月21日，我在長溝中學借班講了一節(jié)利用導數(shù)研究函數(shù)的零點問題課的大致過程是：首先回憶導數(shù)的應(yīng)用和函數(shù)零點的概念及其等價轉(zhuǎn)化問題。接下來從研究一個具體函數(shù)f(x)x3x2x出發(fā)利用導數(shù)

13、研究了它的單調(diào)區(qū)間和極值，并嘗試求此函數(shù)的零點；之后學生通過思考函數(shù)f(x)x3x2x1的零點問題，意識到可以利用導數(shù)研究函數(shù)的性質(zhì)來確定函數(shù)零點問題。接下來又通過兩種策略研究了函數(shù)f(x)x3x2xm（mR）和f(x)2x33ax21的零點問題，最后總結(jié)方法和思想。課后經(jīng)過專家和各位教師的研究和討論，我對這節(jié)課的反思主要有兩個方面：一是課堂教學方面的；二是教師的個人專業(yè)發(fā)展方面。第一方面：反思習題設(shè)計和教學設(shè)計美國數(shù)學家哈爾莫斯(P.R.Halmos)認為，問題是數(shù)學的心臟。對于數(shù)學科學是如此，對于學校數(shù)學，問題也是它的心臟。波利亞強調(diào)指出：“中學數(shù)學教學首要的任務(wù)就是加強解題訓練?！彼幸?/p>

14、句名言：“掌握數(shù)學就是意味著善于解題。”因此數(shù)學習題課作為解題教學是中學數(shù)學教學的重要組成部分，其主要目的是教會學生如何分析問題，如何應(yīng)用所學知識尋找相應(yīng)對策，解決未知問題，提高學生的解題能力。習題的有效選擇是學生能力得以成功的基礎(chǔ)，教師的習題教學時，習題的選擇要有針對性（針對教學目標、知識點和學生的學習現(xiàn)狀）、應(yīng)在學生的“最近發(fā)展區(qū)”內(nèi)、要有典型性和研究性，目的在于提高學生分析問題的能力，在研究習題解決的過程中優(yōu)化解題策略。學習必備歡迎下載（高二文科已進入高考總復習階段，本學期復習的主要內(nèi)容之一就是函數(shù)與導數(shù)，這部分內(nèi)容也是是每年高考考查的重點內(nèi)容，結(jié)合實際教學我發(fā)現(xiàn)其實這部分內(nèi)容通過有效教

15、學，學生可以學會如何解決的。函數(shù)與導數(shù)綜合應(yīng)用的常見考點：1）利用導數(shù)研究曲線的切線；（2）利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；3）利用導數(shù)研究函數(shù)的極值最值；4）利用導數(shù)研究函數(shù)零點或方程實根；5）利用導數(shù)研究實際問題。這些考點的問題解決不可能一蹴而就，因此，我們的教學要經(jīng)歷從感性到理性的過程，讓學生逐漸領(lǐng)悟掌握。對于基礎(chǔ)相對薄弱的學生來說，可采取先分后合，循序漸進、螺旋上升。在這些考點中，利用導數(shù)研究函數(shù)零點問題講的不多，而且這個考點可以提高學生利用數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化的思想數(shù)學思想解決問題的意識，同時也是導數(shù)知識與函數(shù)零點的整合，所以在本次教學時，我就選擇了它。根據(jù)新課標導數(shù)要求的多項式函數(shù)不

16、超過三次，同時對于文科學生來說，題目設(shè)置不能太難，而且運算上不能給學生設(shè)置太多障礙，所以在選擇題目時就選擇一個簡單的三次函數(shù)f(x)x3x2x，并以這個函數(shù)為基礎(chǔ)進行了一些變式，思考函數(shù)f(x)x3x2x1f(x)2x33ax21的零點問題，研究了函數(shù)f(x)x3x2xm（mR）和的零點問題，在變式練習中學生體會函數(shù)零點隨著函數(shù)圖象與x軸相對位置的改變情況，希望在變式教學中，讓學生嘗到探究成功的喜悅，培養(yǎng)學生的觀察、分析、歸納能力等能力的提高，也有利于知識難點的突破。另外在研究函數(shù)f(x)x3x2xm（mR）零點過程中介紹參變分離的解題策略，目的是讓學生認識到兩個函數(shù)交點個數(shù)問題與函數(shù)的零點問

17、題是相互轉(zhuǎn)化的，學生可以據(jù)此解決有關(guān)兩個函數(shù)交點個數(shù)問題。然而好的設(shè)計必須與有效的課堂教學相結(jié)合，才能順利實現(xiàn)設(shè)計的初衷。在具體教學過程中還是出現(xiàn)了一些問題，比如熱身練習讓學生展示可以為后面例題教學節(jié)省時間，同時還可以通過學生表達，加深對題目的理解；其次就是問題情境設(shè)計不到位，教師的主導作用發(fā)揮不合理，參變分離方法的得出有些強加給學生的感覺；再有就是沒有把握好，結(jié)果函數(shù)f(x)2x33ax21的零點問題沒有讓學生來的急思考，只能展示。通過專家的點評，我真正發(fā)現(xiàn)問題的所在，即對于數(shù)學中的基本問題解決不到位，關(guān)鍵是方程的實根、函數(shù)的零點及函數(shù)與x軸的交點這三者之間為什么是可以相互轉(zhuǎn)化的，方程的實根

18、是代數(shù)問題，而函數(shù)與x軸的交點是幾何問題，它們兩者之間的轉(zhuǎn)化原因，如果給學生講清楚了，學生在解決含參數(shù)函數(shù)零點問題時就有了思考的方向，即思考通過方程觀察分析零點問題可以轉(zhuǎn)化為哪兩個函數(shù)交點問題，同時兩個函數(shù)交點問題可以通過聯(lián)立方程組分析可以轉(zhuǎn)化為哪個函數(shù)零點問題，這樣函數(shù)零點問題與兩個函數(shù)交點問題之間的轉(zhuǎn)化就有了基礎(chǔ)。如解決函數(shù)的f(x)x3x2xm的零點問題，可以令f(x)0的方程xxxm0，即xxxm，從而等價于解方程組3232學習必備歡迎下載yx3x2xym，這一方程組的幾何意義就是函數(shù)yx3x2x與函數(shù)ym的交點個數(shù)問題；反之亦然。經(jīng)過y4x20這樣的思考，我又對教學設(shè)計進行了修改，先讓學生研究（1）二元方程組；y2x+1=0（2）拋物線y4x2與直線y=2x-1交點個數(shù)問題；3）求函數(shù)f(x)4x22x1的零點；這三個簡單問題之間的關(guān)系，學生在解決過程中發(fā)現(xiàn)，它們其實是方程、幾何、函數(shù)三個角度對同一問題的不同表征，學生明白了這一問題之后，再讓學生對f(x)x3x2xm零點問題進行多角度轉(zhuǎn)化就容易了，學生很快就能發(fā)現(xiàn)多種轉(zhuǎn)化方向，而且遇到兩個函數(shù)交點個數(shù)問題也可以通過上面過程向函數(shù)零點問題轉(zhuǎn)化，即學生會分析問