高中數(shù)學(xué)選修第一冊(cè)：選擇性必修第一冊(cè)第二章 2.3.1 兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)

1、2.3直線的交點(diǎn)坐標(biāo)與距離公式23.1兩條直線的交點(diǎn)坐標(biāo)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.會(huì)用解方程組的方法求兩條相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo).2.會(huì)根據(jù)方程解的個(gè)數(shù)判定兩條直線的位置關(guān)系知識(shí)點(diǎn)兩條直線的交點(diǎn)1兩直線的交點(diǎn)已知直線l1：A1xB1yC10；l2：A2xB2yC20.點(diǎn)A(a，b)(1)若點(diǎn)A在直線l1：A1xB1yC10上，則有A1aB1bC10 .(2)若點(diǎn)A是直線l1與l2的交點(diǎn)，則有eq blcrc (avs4alco1(A1aB1bC10，,A2aB2bC20. )2兩直線的位置關(guān)系方程組eq blcrc (avs4alco1(A1xB1yC10，,A2xB2yC20)的解一組無數(shù)組無解直線l1與l2

2、的公共點(diǎn)的個(gè)數(shù)一個(gè)無數(shù)個(gè)零個(gè)直線l1與l2的位置關(guān)系相交重合平行1若兩直線相交，則交點(diǎn)坐標(biāo)一定是兩直線方程所組成的二元一次方程組的解()2無論m為何值，xy10與x2my30必相交()3若兩直線的方程組成的方程組有解，則兩直線相交()4在兩直線斜率都存在的情況下，若斜率不相等，則兩直線相交()一、求相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)例1(1)求經(jīng)過點(diǎn)(2,3)且經(jīng)過直線l1：x3y40與l2：5x2y60的交點(diǎn)的直線方程；(2)求經(jīng)過兩條直線2x3y30和xy20的交點(diǎn)且與直線3xy10垂直的直線方程解(1)聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(x3y40，,5x2y60，)解得eq blcrc (av

3、s4alco1(x2，,y2，)所以直線l1與l2的交點(diǎn)為(2,2)由兩點(diǎn)式可得所求直線的方程為eq f(y3,23)eq f(x2,22)，即x4y100.(2)由方程組eq blcrc (avs4alco1(2x3y30，,xy20，)得eq blcrc (avs4alco1(xf(3,5)，,yf(7,5)，)因?yàn)樗笾本€和直線3xy10垂直，所以所求直線的斜率keq f(1,3)，所以有yeq blc(rc)(avs4alco1(f(7,5)eq f(1,3)eq blcrc(avs4alco1(xblc(rc)(avs4alco1(f(3,5)，即所求的直線方程為5x15y180.反

4、思感悟求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)(1)求兩相交直線的交點(diǎn)坐標(biāo)，關(guān)鍵是解方程組(2)解二元一次方程組的常用方法有代入消元法和加減消元法跟蹤訓(xùn)練1(1)已知直線l1：3x4y50與l2：3x5y60相交，則它們的交點(diǎn)是()A.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,3) B.eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,3)，1)C.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,3) D.eq blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,3)答案B(2)經(jīng)過直線2xy40與xy50的交點(diǎn)，且垂直于直線x2y0的直線方程是()A2xy80 B2xy80C2xy80 D2xy

5、80答案A二、直線系過定點(diǎn)問題例2無論m為何值，直線l：(m1)xy7m40恒過一定點(diǎn)P，求點(diǎn)P的坐標(biāo)解(m1)xy7m40，m(x7)(xy4)0，eq blcrc (avs4alco1(x70，,xy40，)eq blcrc (avs4alco1(x7，,y3.)點(diǎn)P的坐標(biāo)為(7,3)反思感悟解含參數(shù)的直線恒過定點(diǎn)問題的策略(1)方法一：任給直線中的參數(shù)賦兩個(gè)不同的值，得到兩條不同的直線，然后驗(yàn)證這兩條直線的交點(diǎn)就是題目中含參數(shù)直線所過的定點(diǎn)，從而問題得解(2)方法二：含有一個(gè)參數(shù)的二元一次方程若能整理為A1xB1yC1(A2xB2yC2)0，其中是參數(shù)，這就說明了它表示的直線必過定點(diǎn)，其

6、定點(diǎn)可由方程組eq blcrc (avs4alco1(A1xB1yC10，,A2xB2yC20)解得若整理成yy0k(xx0)的形式，則表示的所有直線必過定點(diǎn)(x0，y0)跟蹤訓(xùn)練2已知直線(a2)y(3a1)x1，求證：無論a為何值，直線總經(jīng)過第一象限證明將直線方程整理為a(3xy)(x2y1)0.因?yàn)橹本€3xy0與x2y10的交點(diǎn)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)，f(3,5)，即直線系恒過第一象限內(nèi)的定點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,5)，f(3,5)，所以無論a為何值，直線總經(jīng)過第一象限對(duì)稱問題典例光線通過點(diǎn)A(2,3)，在直線l：xy10上反

7、射，反射光線經(jīng)過點(diǎn)B(1,1)，試求入射光線和反射光線所在直線的方程解設(shè)點(diǎn)A(2,3)關(guān)于直線l的對(duì)稱點(diǎn)為A(x0，y0)，則eq blcrc (avs4alco1(f(2x0,2)f(3y0,2)10，,f(y03,x02)1，)解得A(4，3)由于反射光線經(jīng)過點(diǎn)A(4，3)和B(1,1)，所以反射光線所在直線的方程為y1(x1)eq f(13,14)，即4x5y10.解方程組eq blcrc (avs4alco1(4x5y10，,xy10，)得反射點(diǎn)Peq blc(rc)(avs4alco1(f(2,3)，f(1,3).所以入射光線所在直線的方程為y3(x2)eq f(3f(1,3),2f

8、(2,3)，即5x4y20.素養(yǎng)提升對(duì)稱問題中的直觀想象與數(shù)學(xué)運(yùn)算(1)可以通過直觀想象理解對(duì)稱問題中的點(diǎn)線位置關(guān)系(2)直線的對(duì)稱可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的對(duì)稱，其中的點(diǎn)、直線可以通過數(shù)學(xué)運(yùn)算確定1兩條直線l1：2xy10與l2：x3y110的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A(3,2) B(2,3)C(2，3) D(3，2)答案B解析解方程組eq blcrc (avs4alco1(2xy10，,x3y110，)得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y3.)2直線2xy10與直線xy20的交點(diǎn)在()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限答案B解析聯(lián)立eq blcrc (avs4alco1(2xy10，,

9、xy20，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y1.)交點(diǎn)(1,1)在第二象限故選B.3不論m為何實(shí)數(shù)，直線l：(m1)x(2m3)ym0恒過定點(diǎn)()A(3，1) B(2，1)C(3,1) D(2,1)答案C解析直線l的方程可化為m(x2y1)x3y0，令eq blcrc (avs4alco1(x2y10，,x3y0，)解得eq blcrc (avs4alco1(x3，,y1，)直線l恒過定點(diǎn)(3,1)故選C.4斜率為2，且過兩條直線3xy40和xy40交點(diǎn)的直線方程為_答案2xy40解析設(shè)所求直線方程為3xy4(xy4)0，即(3)x(1)y440，keq f(3,1)2，

10、解得5.所求直線方程為2xy40.5若三條直線2x3y80，xy10和xky0相交于一點(diǎn)，則k_.答案eq f(1,2)解析解方程組eq blcrc (avs4alco1(2x3y80，,xy10，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y2，)又該點(diǎn)(1，2)也在直線xky0上，12k0，keq f(1,2).1知識(shí)清單：(1)兩條直線的交點(diǎn)(2)直線過定點(diǎn)2方法歸納：消元法、加減消元法、直線系法3常見誤區(qū)：對(duì)兩直線相交條件認(rèn)識(shí)模糊：直線l1：A1xB1yC10與l2：A2xB2yC20相交的等價(jià)條件是A1B2A2B10.1直線x1和直線y2的交點(diǎn)坐標(biāo)是()A(2,2) B(1,

11、1) C(1,2) D(2,1)答案C解析由eq blcrc (avs4alco1(x1，,y2，)得交點(diǎn)坐標(biāo)為(1,2)，故選C.2直線3x2y60和2x5y70的交點(diǎn)坐標(biāo)為()A(4，3) B(4,3)C(4,3) D(3,4)答案C解析由方程組eq blcrc (avs4alco1(3x2y60，,2x5y70，)得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y3.)故選C.3經(jīng)過直線l1：x3y40和l2：2xy50的交點(diǎn)，且經(jīng)過原點(diǎn)的直線的方程是()A19x9y0 B9x19y0C3x19y0 D19x3y0答案C解析由eq blcrc (avs4alco1(x3y40，,2xy

12、50，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(19,7)，,yf(3,7).)故過點(diǎn)eq blc(rc)(avs4alco1(f(19,7)，f(3,7) 和原點(diǎn)的直線方程為yeq f(3,19)x，即3x19y0.4兩條直線2x3yk0和xky120的交點(diǎn)在y軸上，那么k的值是()A24 B6 C6 D24答案C解析因?yàn)閮蓷l直線2x3yk0和xky120的交點(diǎn)在y軸上，所以設(shè)交點(diǎn)為(0，b)，所以eq blcrc (avs4alco1(3bk0，,kb120，)消去b，可得k6.5當(dāng)a取不同實(shí)數(shù)時(shí)，直線(a1)xy2a10恒過一定點(diǎn)，這個(gè)定點(diǎn)是()A(2,3) B(2,3)C.e

13、q blc(rc)(avs4alco1(1，f(1,2) D(2,0)答案B解析直線化為a(x2)xy10.由eq blcrc (avs4alco1(x20，,xy10，)得eq blcrc (avs4alco1(x2，,y3，)直線過定點(diǎn)(2,3)6過兩直線2xy50和xy20的交點(diǎn)且與直線3xy10平行的直線方程為_答案3xy0解析由eq blcrc (avs4alco1(2xy50，,xy20，)得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y3，)則所求直線的方程為y33(x1)，即3xy0.7三條直線ax2y80,4x3y10,2xy10相交于一點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的值為_答案1解析由e

14、q blcrc (avs4alco1(4x3y10，,2xy10，)解得eq blcrc (avs4alco1(x4，,y2，)又點(diǎn)(4，2)在直線ax2y80上，所以4a2(2)80，解得a1.8已知直線ax2y10與直線2x5yc0垂直相交于點(diǎn)(1，m)，則a_，c_，m_.答案5122解析由兩直線垂直得2a100，解得a5.又點(diǎn)(1，m)在直線上得a2m10,25mc0，所以m2，c12.9求經(jīng)過直線l1：7x8y10和l2：2x17y90的交點(diǎn)，且垂直于直線2xy70的直線方程解由方程組eq blcrc (avs4alco1(2x17y90，,7x8y10，)解得eq blcrc (a

15、vs4alco1(xf(11,27)，,yf(13,27)，)所以交點(diǎn)坐標(biāo)為eq blc(rc)(avs4alco1(f(11,27)，f(13,27).又因?yàn)橹本€斜率為keq f(1,2)，所以，所求直線方程為yeq f(13,27)eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)eq blc(rc)(avs4alco1(xf(11,27)，即27x54y370.10若兩條直線l1：ykx2k1和l2：x2y40的交點(diǎn)在第四象限，求k的取值范圍解聯(lián)立兩直線的方程eq blcrc (avs4alco1(ykx2k1，,x2y40，)解得eq blcrc (avs4alco1(xf(24k

16、,2k1)，,yf(6k1,2k1)，)該交點(diǎn)落在平面直角坐標(biāo)系的第四象限，eq blcrc (avs4alco1(f(24k,2k1)0，,f(6k1,2k1)0，)解得eq blcrc (avs4alco1(f(1,2)kf(1,2)，,f(1,2)kf(1,6)，)即eq f(1,2)keq f(1,6).則k的取值范圍為eq blc(rc)(avs4alco1(f(1,2)，f(1,6).11直線kxy12k，當(dāng)k變動(dòng)時(shí)，所有直線都通過定點(diǎn)()A(2，1) B(2，1)C(2,1) D(2,1)答案A解析kxy12k，可化為y1k(2x)，故該直線恒過定點(diǎn)(2，1)12若三條直線l1：

17、axy10，l2：xay10，l3：xya0能構(gòu)成三角形，則a應(yīng)滿足的條件是()Aa1或a2 Ba1Ca1且a2 Da1且a2答案D解析 (1)若三條直線重合，由三條直線的方程可知a1.(2)若三條直線交于一點(diǎn)，由eq blcrc (avs4alco1(xay10，,xya0，)解得eq blcrc (avs4alco1(xa1，,y1，)將l2，l3的交點(diǎn)(a1,1)代入l1的方程解得a1(舍去)或a2.(3)若l1l2，由aa110，得a1，當(dāng)a1時(shí)，l1與l2重合(4)若l2l3，由11a10，得a1，當(dāng)a1時(shí)，l2與l3重合(5)若l1l3，由a1110，得a1，當(dāng)a1時(shí)，l1與l3重

18、合綜上，當(dāng)a1時(shí)，三條直線重合；當(dāng)a1時(shí)，l1l2；當(dāng)a2時(shí)，三條直線交于一點(diǎn)，所以要使三條直線能構(gòu)成三角形，需a1且a2.13若集合(x，y)|xy20且x2y40(x，y)|y3xb，則b_.答案2解析解方程組eq blcrc (avs4alco1(xy20，,x2y40，)得eq blcrc (avs4alco1(x0，,y2，)代入直線y3xb，得b2.14已知A(2,4)，B(4,2)，直線l：axy20與線段AB恒相交，則a的取值范圍為_答案(，31，)解析如圖所示，直線l：axy20經(jīng)過定點(diǎn)D(0，2)，a表示直線l的斜率，設(shè)線段AB與y軸交于點(diǎn)C，由圖形知，當(dāng)直線l：axy20

19、與線段AB的交點(diǎn)在線段CB上時(shí)，a大于或等于DB的斜率，即aeq f(22,40)1，即a1.當(dāng)直線l：axy20與線段AB的交點(diǎn)在線段AC上時(shí)，a小于或等于DA的斜率，即aeq f(42,20)3，即a3.綜上，a的取值范圍為(，31，)15已知A(3,1)，B(1,2)，若ACB的平分線方程為yx1，則AC所在直線方程為()Ay2x4 Byeq f(1,2)x3Cx2y10 D3xy10答案C解析設(shè)B關(guān)于直線yx1的對(duì)稱點(diǎn)B(x，y)，則eq blcrc (avs4alco1(f(y2,x1)1，,f(y2,2)f(x1,2)1，)即eq blcrc (avs4alco1(xy10，,xy

20、10，)解得eq blcrc (avs4alco1(x1，,y0，)即B(1,0)又B在直線AC上，則直線AC的方程為eq f(y1,01)eq f(x3,13)，即x2y10.16直線l過定點(diǎn)P(0,1)，且與直線l1：x3y100，l2：2xy80分別交于A，B兩點(diǎn)，若線段AB的中點(diǎn)為P，求直線l的方程解方法一設(shè)A(x0，y0)，由中點(diǎn)公式，有B(x0，2y0)，A在l1上，B在l2上，eq blcrc (avs4alco1(x03y0100，,2x02y080，)解得eq blcrc (avs4alco1(x04，,y02，)kAPeq f(12,04)eq f(1,4)，故所求直線l的方程為y