《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)教程朱慶峰》第2章隨機(jī)變量及其分布課件

1、2.1 隨機(jī)變量及其分布2.2 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望2.3 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差2.4 常用離散分布2.5 常用連續(xù)分布2.6 隨機(jī)變量函數(shù)的分布2.7 分布的其他特征數(shù)第二章 隨機(jī)變量及其分布第1頁，共126頁。2.1 隨機(jī)變量及其分布 (1) 擲一顆骰子， 出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù) X1，2，6. (2) n個(gè)產(chǎn)品中的不合格品個(gè)數(shù) Y 0，1，2，n (3) 某商場一天內(nèi)來的顧客數(shù) Z 0，1，2， (4) 某種型號(hào)電視機(jī)的壽命 T : 0, +)第2頁，共126頁。2.1.1 隨機(jī)變量的定義定義2.1.1設(shè) =為某隨機(jī)現(xiàn)象的樣本空間， 稱定義在上的實(shí)值函數(shù)X=X()為隨機(jī)變量. 隨機(jī)變量通常用大寫字母

2、X,Y,Z,或小寫希臘字母 , ,.等表示.按一定法則第3頁，共126頁。隨機(jī)變量的特點(diǎn)(1) 隨機(jī)變量X()是樣本點(diǎn)的函數(shù)， 其定義域?yàn)?，其值域?yàn)镽=(，) （2）隨機(jī)性 r.v. X 的可能取值不止一 個(gè),試驗(yàn) 前只能預(yù)知它的可能取值，但不能預(yù)知取哪個(gè)值（3） 概率特性 X 以一定的概率取某個(gè)值 第4頁，共126頁。 若 X 為隨機(jī)變量，則 X = k 、 a X b 、均為隨機(jī)事件.-由r.v.X生成的事件即 a X b =|a X() b 注 意 點(diǎn) (1)隨機(jī)變量的取值表示事件第5頁，共126頁。(2) 注意以下一些表達(dá)式： X = k= X kX k； a b = X b.(3)

3、 同一樣本空間可以定義不同的隨機(jī)變量.第6頁，共126頁。若隨機(jī)變量 X 可能取值的個(gè)數(shù)為有限個(gè)或 可列個(gè)，則稱 X 為離散隨機(jī)變量.若隨機(jī)變量 X 的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間 a, b，則稱 X 為連續(xù)隨機(jī)變量.前例中的 X, Y, Z 為離散隨機(jī)變量； 而 T 為連續(xù)隨機(jī)變量.兩類隨機(jī)變量第7頁，共126頁。定義2.1.2 設(shè)X為一個(gè)隨機(jī)變量，對任意實(shí)數(shù) x， 稱 F(x)=P( X x) 為 X 的分布函數(shù).基本性質(zhì)： (1) F(x) 單調(diào)不降； (2) 有界：0F(x)1，F(xiàn)()=0，F(xiàn)(+)=1； (3) 右連續(xù).2.1.2 隨機(jī)變量的分布函數(shù)第8頁，共126頁。上述三條基本性質(zhì)是鑒別

4、一個(gè)函數(shù)是否是分布函數(shù)的充分必要條件.注：只要知道了隨機(jī)變量的分布函數(shù)， 它的統(tǒng)計(jì)特性就可以得到全面的描述.第9頁，共126頁。請?zhí)羁盏?0頁，共126頁。2.1.3 離散隨機(jī)變量的分布列設(shè)離散隨機(jī)變量 X 的可能取值為：x1，x2，xn， 稱 pi=P(X=xi)， i =1, 2, 為 X 的分布列.分布列也可用表格形式表示：X x1 x2 xn P p1 p2 pn 第11頁，共126頁。分布列的基本性質(zhì) (1) pi 0， (2)(正則性)(非負(fù)性)注：凡滿足(1)(2)的一組數(shù)都可以成為一個(gè)D.r.v.的概率分布。第12頁，共126頁。對于任意的實(shí)數(shù)ab, 由概率的 可列可加性第13

5、頁，共126頁。注 意 點(diǎn) (1)求離散隨機(jī)變量的分布列應(yīng)注意： (1) 確定隨機(jī)變量的所有可能取值; (2) 計(jì)算每個(gè)取值點(diǎn)的概率. 例2.1.5第14頁，共126頁。分布函數(shù)分布律分布列與分布函數(shù)相互確定第15頁，共126頁。例1 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列如下 ，求X的分布函數(shù)F(x)，并畫出F(x)的圖形.解：第16頁，共126頁。第17頁，共126頁。離散隨機(jī)變量分布函數(shù)的特征 (1) F(x)是遞增的階梯函數(shù); (2) 其間斷點(diǎn)均為右連續(xù)的; (3) 其間斷點(diǎn)即為X的可能取值點(diǎn); (4) 其間斷點(diǎn)的跳躍高度是對應(yīng)的概率值.第18頁，共126頁。例2已知 X 的分布列如下：X 0 1

6、 2P 1/3 1/6 1/2求 X 的分布函數(shù).解：第19頁，共126頁。X 0 1 2P 0.4 0.4 0.2解：例3已知 X 的分布函數(shù)如下,求 X 的分布列.第20頁，共126頁。2.1.4 連續(xù)隨機(jī)變量的密度函數(shù)連續(xù)隨機(jī)變量X的可能取值充滿某個(gè)區(qū)間 (a, b).因?yàn)閷B續(xù)隨機(jī)變量X，有P(X=x)=0， 所以無法仿離散隨機(jī)變量用 P(X=x) 來描述連續(xù)隨機(jī)變量X的分布.注意離散隨機(jī)變量與連續(xù)隨機(jī)變量的差別.第21頁，共126頁。定義2.1.4設(shè)隨機(jī)變量X 的分布函數(shù)為F(x),則稱 X 為連續(xù)隨機(jī)變量，若存在非負(fù)可積函數(shù) p(x) ，滿足：稱 p(x)為概率密度函數(shù)，簡稱密度函

7、數(shù).第22頁，共126頁。xp( x)F ( x )分布函數(shù)與密度函數(shù)幾何意義第23頁，共126頁。密度函數(shù)的基本性質(zhì)滿足(1) (2)的函數(shù)都可以看成某個(gè)連續(xù)隨機(jī)變量的概率密度函數(shù).(非負(fù)性)(正則性)第24頁，共126頁。注意點(diǎn) (1) F(x) 是 (, +) 上的連續(xù)函數(shù);(2) P(X=x) = F(x)F(x0) = 0; (3) PaXb = PaXb= PaXb = PaXb= F(b)F(a).第25頁，共126頁。(4) 當(dāng)F(x) 在x點(diǎn)可導(dǎo)時(shí), p(x) =當(dāng)F(x) 在x點(diǎn)不可導(dǎo)時(shí), 可令p(x) =0.例2.1.8第26頁，共126頁。連續(xù)型密度函數(shù) X p(x)

8、( 不唯一 )2.4. P(X=a) = 0離散型分布列: pn = P(X=xn) ( 唯一 ) 2. F(x) = 3. F(a+0) = F(a); P(a0，有( ) F(a) =1 F(a)= F(a) = F(a) F(a) = 2F(a) 1課堂練習(xí)第32頁，共126頁。習(xí)題2.1：1；3；4；8；9；11；13；14；15；16；18；19作業(yè)第33頁，共126頁。2.2 隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望分賭本問題(17世紀(jì)) 甲乙兩賭徒賭技相同，各出賭注50元.無平局，誰先贏3局，則獲全部賭注.當(dāng)甲贏2局、乙贏1局時(shí)，中止了賭博.問如何分賭本?第34頁，共126頁。兩種分法 1. 按已賭局

9、數(shù)分： 則甲分總賭本的2/3、乙分總賭本的1/3 2. 按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望” 分： 因?yàn)樵儋€兩局必分勝負(fù)，共四種情況：甲甲、甲乙、乙甲、乙乙所以甲分總賭本的3/4、乙分總賭本的1/4 第35頁，共126頁。2.2.1 數(shù)學(xué)期望的概念 若按已賭局?jǐn)?shù)和再賭下去的“期望” 分， 則甲的所得 X 是一個(gè)可能取值為0 或100 的隨機(jī)變量，其分布列為： X 0 100P 1/4 3/4甲的“期望” 所得是：01/4 +100 3/4 = 75.第36頁，共126頁。2.2.2 數(shù)學(xué)期望的定義定義2.2.1 設(shè)離散隨機(jī)變量X的分布列為P(X=xn) = pn, n = 1, 2, . 若級(jí)數(shù)絕對

10、收斂，則稱該級(jí)數(shù)為X 的數(shù)學(xué)期望，記為第37頁，共126頁。連續(xù)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望定義2.2.2 設(shè)連續(xù)隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為p(x), 若積分絕對收斂，則稱該積分為X 的數(shù)學(xué)期望，記為第38頁，共126頁。例1則E(X) = 10.2+00.1+10.4+20.3 = 0.8.X 1 0 1 2P 0.2 0.1 0.4 0.3例2.2.4例2.2.5第39頁，共126頁。數(shù)學(xué)期望簡稱為期望.數(shù)學(xué)期望又稱為均值.數(shù)學(xué)期望是一種加權(quán)平均.注 意 點(diǎn)第40頁，共126頁。2.2.3 數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)定理2.2.1 設(shè) Y=g(X) 是隨機(jī)變量X的函數(shù)， 若 E(g(X) 存在，則第41頁，共126

11、頁。例2.2.2 設(shè)隨機(jī)變量 X 的概率分布為求 E(X2+2).= (02+2)1/2+(12+2)1/4+(22+2)1/4= 1+3/4+6/4 = 13/4解: E(X2+2)X 0 1 2P 1/2 1/4 1/4第42頁，共126頁。數(shù)學(xué)期望的性質(zhì)(1) E(c) = c(2) E(aX) = aE(X)(3) E(g1(X)+g2(X) = E(g1(X)+E(g2(X)第43頁，共126頁。例2.2.3設(shè) X 求下列 X 的函數(shù)的數(shù)學(xué)期望.(1) 2X1, (2) (X 2)2解: (1) E(2X 1) = 1/3, (2) E(X 2)2 = 11/6. 第44頁，共126

12、頁。習(xí)題2.2：1；3；4；8；9；12； 13； 15；16；17；18作業(yè)第45頁，共126頁。2.3 隨機(jī)變量的方差與標(biāo)準(zhǔn)差數(shù)學(xué)期望反映了X 取值的中心.方差反映了X 取值的離散程度.第46頁，共126頁。2.3.1 方差與標(biāo)準(zhǔn)差的定義定義2.3.1 若 E(XE(X)2 存在，則稱 E(XE(X)2 為 X 的方差，記為Var(X)=D(X)= E(XE(X)2 第47頁，共126頁。(2) 稱注 意 點(diǎn)X = (X)=(1) 方差反映了隨機(jī)變量相對其均值的偏離程度. 方差越大, 則隨機(jī)變量的取值越分散.為X 的標(biāo)準(zhǔn)差.標(biāo)準(zhǔn)差的量綱與隨機(jī)變量的量綱相同.第48頁，共126頁。2.3.2

13、 方差的性質(zhì)(1) Var(c)=0. 性質(zhì) 2.3.2(2) Var(aX+b) = a2 Var(X). 性質(zhì) 2.3.3(3) Var(X)=E(X2)E(X)2. 性質(zhì) 2.3.1第49頁，共126頁。例2.3.1 設(shè) X , 求 E(X), Var(X).解: (1) E(X)= 1(2) E(X2) = 7/6所以,Var(X) = E(X2)E(X)2= 7/6 1 = 1/6第50頁，共126頁。課堂練習(xí) 設(shè)則方差 Var(X)=( )。答案：Var(X) = 1/6參看P87 例2.3.1第51頁，共126頁。隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)化 設(shè) Var(X)0, 令則有 E(Y)=0, V

14、ar(Y)=1.稱 Y 為 X 的標(biāo)準(zhǔn)化.第52頁，共126頁。2.3.3 切比雪夫不等式 設(shè)隨機(jī)變量X的方差存在(這時(shí)均值也存在), 則 對任意正數(shù)，有下面不等式成立第53頁，共126頁。 例2.3.2設(shè) X證明證明:E(X) = n+1E(X2) = (n+1)(n+2)所以,Var(X) = E(X2)(EX)2 = n+1,(這里, = n+1)由此得第54頁，共126頁。定理 2.3.2 Var(X)=0P(X=a)=1若隨機(jī)變量X取常數(shù)值a的概率為1,即則稱 X服從退化分布.第55頁，共126頁。習(xí)題2.3：1；3；4；7； 9；14作業(yè)第56頁，共126頁。2.4 常用離散分布

15、2.4.1 二項(xiàng)分布 記為 X b(n, p).X為n重伯努里試驗(yàn)中“成功”的次數(shù),當(dāng)n=1時(shí)，稱 b(1, p) 為 0-1分布.第57頁，共126頁。0-1分布（兩點(diǎn)分布）則稱 X 服從參數(shù) p 的 0-1分布或兩點(diǎn)分布。(2)描述對象：只有兩種可能結(jié)果的隨機(jī)試驗(yàn) （貝努利試驗(yàn)）第58頁，共126頁。 試驗(yàn)次數(shù)為 n=4, “成功”即取得合格品的概率為 p=0.8, 所以, X b(4, 0.8)思考： 若 Y 為不合格品件數(shù)，Y ？Y b(4, 0.2) 一批產(chǎn)品的合格率為0.8, 有放回地抽取4次, 每次一件, 則取得合格品件數(shù) X 服從二項(xiàng)分布.第59頁，共126頁。從圖2.4.1可

16、以看出，當(dāng)投中次數(shù)增加時(shí)，相應(yīng)的概率先是單調(diào)上升到最大值后，再單調(diào)下降.這是二項(xiàng)分布中的一般性趨勢.設(shè) ，其中使 達(dá)到最大的點(diǎn)k，記為 ，稱 為二項(xiàng)分布的最可能出現(xiàn)次數(shù)或最可能值.第60頁，共126頁。結(jié)論：若 是正整數(shù)，則 或 此時(shí)有兩個(gè)最大值，若 不是正整數(shù)，則 ， （ 表示 的整數(shù)部分）.此時(shí)有一個(gè)最大值 第61頁，共126頁。 例2.4.1 設(shè)X b(2, p)， Y b(4, p)， 已知 P(X1) = 8/9， 求 P(Y1).解: 由 P(X1) = 8/9 ，知 P(X=0) = 1/9. 由此得： P(Y1) = 1 P(Y=0)所以 1/ 9 = P(X=0) =(1p)

17、2，從而解得: p = 2/3.= 1- (1p)4 = 80/81.第62頁，共126頁。若隨機(jī)變量 X 的概率分布為則稱 X 服從參數(shù)為 的泊松分布, 記為 X P().2.4.2 泊松分布應(yīng)用背景-描述“稀有事件”發(fā)生的次數(shù)P98例2.4.5 第63頁，共126頁。泊松定理定理2.4.1(二項(xiàng)分布的泊松近似)在n重伯努里試驗(yàn)中，記 pn 為一次試驗(yàn)中成功的概率.若 npn ，則第64頁，共126頁。二項(xiàng)分布 泊松分布n很大, p 很小上面我們提到P100例2.4.7 第65頁，共126頁。記為 X h(n, N, M).2.4.3 超幾何分布k=0,1,2,r r=minM,n, MN,

18、nN第66頁，共126頁。超幾何分布與二項(xiàng)分布的關(guān)系超幾何分布對應(yīng)于不返回抽樣模型 ： N 個(gè)產(chǎn)品中有 M 個(gè)不合格品， 從中抽取n個(gè)，不合格品的個(gè)數(shù)為X .第67頁，共126頁。記為 X Ge(p) X 為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中， “首次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù). 幾何分布具有無記憶性，即： P( X m+n | X m ) = P( X n )2.4.4 幾何分布第68頁，共126頁。負(fù)二項(xiàng)分布(巴斯卡分布)記為X Nb(r, p). X 為獨(dú)立重復(fù)的伯努里試驗(yàn)中， “第 r 次成功”時(shí)的試驗(yàn)次數(shù).第69頁，共126頁。注 意 點(diǎn) (1) 二項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立 0-1 隨機(jī)變量之和. (2) 負(fù)二

19、項(xiàng)隨機(jī)變量是獨(dú)立幾何隨機(jī)變量之和.第70頁，共126頁。常用離散分布的數(shù)學(xué)期望 幾何分布Ge(p) 的數(shù)學(xué)期望 = 1/p 0-1 分布的數(shù)學(xué)期望 = p 二項(xiàng)分布 b(n, p)的數(shù)學(xué)期望 = np 泊松分布 P() 的數(shù)學(xué)期望 = 第71頁，共126頁。常用離散分布的方差 0-1 分布的方差 = p(1p) 二項(xiàng)分布 b(n, p)的方差 = np(1p) 泊松分布 P() 的方差= 幾何分布Ge(p) 的方差 = (1p)/p2第72頁，共126頁。習(xí)題2.4：1；3；5；6；7； 8；12；14；15作業(yè)第73頁，共126頁。2.5 常用連續(xù)分布正態(tài)分布、均勻分布、指數(shù)分布、伽瑪分布、

20、貝塔分布。第74頁，共126頁。記為X N(, 2),其中 0， 是任意實(shí)數(shù). 是位置參數(shù). 是尺度參數(shù).2.5.1 正態(tài)分布第75頁，共126頁。yxO第76頁，共126頁。正態(tài)分布的性質(zhì)(1) p(x) 關(guān)于 是對稱的.p(x)x0在 點(diǎn) p(x) 取得最大值.(2) 若 固定, 改變, (3) 若 固定, 改變,小大p(x)左右移動(dòng), 形狀保持不變. 越大曲線越平坦; 越小曲線越陡峭.第77頁，共126頁。p(x)x0 xx標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布N(0, 1)密度函數(shù)記為 (x),分布函數(shù)記為 (x).第78頁，共126頁。(x) 的計(jì)算(1) x 0 時(shí), 查標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)表.(2) x a)

21、 =1(a); (3) P(aXb) = (b)(a); (4) 若a 0, 則 P(|X|a) = P(aX1.96) , P(|X|1.96)P(|X|1/2, 所以 b 0, 反查表得: (1.66) = 0.9515, 故 b = 1.66而 (a) = 0.0495 1/2,所以 a 0, (a) = 0.9505, 反查表得: (1.65) = 0.9505, 故 a = 1.65例2.5.2第81頁，共126頁。一般正態(tài)分布的標(biāo)準(zhǔn)化定理2.5.1 設(shè) X N(, 2),則 Y N(0, 1).推論: 若 X N(, 2), 則第82頁，共126頁。若 X N(, 2), 則 P(

22、Xa) = 第83頁，共126頁。 設(shè) X N(10, 4), 求 P(10X13), P(|X10|2).解: P(10X13) = (1.5)(0)= 0.9332 0.5P(|X10|2) = P(8Xk = PXk, 則 k = ( ).3課堂練習(xí)(1)第86頁，共126頁。 設(shè) X N(, 42), Y N(, 52), 記 p1 = PX 4，p2 = PY +5, 則( ) 對任意的 ，都有 p1 = p2 對任意的 ，都有 p1 p2課堂練習(xí)(2)第87頁，共126頁。 設(shè) X N( , 2), 則隨 的增大， 概率 P| X | ( ) 單調(diào)增大 單調(diào)減少 保持不變 增減不定

23、課堂練習(xí)(3)第88頁，共126頁。正態(tài)分布的 3 原則設(shè) X N(, 2), 則 P( | X | ) = 0.6828. P( | X | 2 ) = 0.9545. P( | X | 3 , 則 P(A) = P( X 3) = 2/3設(shè) Y 表示三次獨(dú)立觀測中 A 出現(xiàn)的次數(shù),則 Y b(3, 2/3)，所求概率為 P(Y2) =P(Y=2)+P(Y=3)=20/27例2.5.5第91頁，共126頁。2.5.3 指數(shù)分布記為 X Exp(), 其中 0.特別：指數(shù)分布具有無憶性，即：P( X s+t | X s )=P( X t )P114例2.5.5第92頁，共126頁。2.5.4

24、伽瑪分布記為 X Ga(, ),其中 0， 0.為伽瑪函數(shù).稱第93頁，共126頁。注意點(diǎn) (1)(1) = 1, (1/2) =(n+1) = n! (2)Ga(1, ) = Exp()Ga(n/2, 1/2) = 2(n)第94頁，共126頁。第95頁，共126頁。2.5.5 貝塔分布記為 X Be(a, b), 其中a 0，b 0.稱為貝塔函數(shù).第96頁，共126頁。注意點(diǎn) (1) (2) B(a, b) =B(b, a)B(a, b) =(a)(b) /(a+b) (3) Be(1, 1) = U(0, 1)第97頁，共126頁。常用連續(xù)分布的數(shù)學(xué)期望 均勻分布 U(a, b) : E

25、(X) = (a+b)/2 指數(shù)分布 Exp() : E(X) = 1/ 正態(tài)分布 N(, 2) : E(X) = 伽瑪分布 Ga(, ) : E(X) = / 貝塔分布 Be(a, b) : E(X) = a/(a+b)第98頁，共126頁。常用連續(xù)分布的方差 均勻分布 U(a, b) 的方差 = (b a)2/12 指數(shù)分布 Exp() 的方差= 1/2 正態(tài)分布 N(, 2) 的方差= 2第99頁，共126頁。例2.5.6 已知隨機(jī)變量 X 服從二項(xiàng)分布，且 E(X)= 2.4, Var(X)=1.44, 則參數(shù) n, p 的值為多少？例2.5.7 設(shè) X 表示 10 次獨(dú)立重復(fù)射擊命中

26、目標(biāo) 的次數(shù),每 次射中目標(biāo)的概率為0.4, 則 E(X2)的值為多少？解：從 2.4= np, 1.44 = np(1p) 中解得解：因?yàn)?E(X) = np = 4, Var(X)= 2.4, 所以n=6, p=0.4. E(X2) = Var(X)+(E(X)2= 2.4+16=18.4第100頁，共126頁。 設(shè) E(X)=，Var(X)=2，則對任意常 數(shù) C， 必有（ ）.課堂練習(xí)第101頁，共126頁。習(xí)題2.5：1；3；4； 8；9；11；12；17；19；20作業(yè)第102頁，共126頁。2.6 隨機(jī)變量函數(shù)的分布問題：已知 X 的分布，求 Y = g(X) 的分布。例如： Y

27、1 = 4X +3； Y2 = |X|； Y3 = X2 .第103頁，共126頁。 當(dāng) X 為離散隨機(jī)變量時(shí)， Y = g(X) 為離散隨機(jī)變量. 將g(xi) 一一列出, 再將相等的值合并,并把對應(yīng)的概率相加即可. 2.6.1 離散隨機(jī)變量函數(shù)的分布P123例2.6.1練習(xí)：P1128 1。第104頁，共126頁。2.6.2 連續(xù)隨機(jī)變量函數(shù)的分布定理2.6.1 設(shè) X pX(x)，y = g(x) 是 x 的嚴(yán)格 單調(diào)函數(shù)，記 x = h(y) 為 y = g(x) 的反函數(shù), 且h(y)連續(xù)可導(dǎo)，則Y = g(X)的密度函數(shù)為:第105頁，共126頁。例2.6.1 設(shè) X 求 Y =eX 的分布.y = ex 單調(diào)可導(dǎo),反函數(shù) x = h(y) = lny,所以當(dāng) y 0 時(shí),由此得解：第106頁，共126頁。線性函數(shù)結(jié)論：第107頁，共126頁。正態(tài)變量的線性不變性定理2.6.2 設(shè) X N (, 2)，則當(dāng)a 0 時(shí)， Y = aX+b N (a +b, a22).由此得： 若 X N (, 2)， 則 Y = (X )/ N(0, 1).第108頁，共126頁。練習(xí)第109頁，共126頁。第110頁，共126頁。對數(shù)正態(tài)分布定理2.6.3 設(shè) X N (, 2)，則 Y = e X 的服從LN (, 2)第111頁，共126頁。伽瑪分