2020年級-量子力學試卷及答案B

1、2020級學年第1學期考試試題及答案（B）卷課程名稱 量子力學任課教師簽名 出題教師簽名 審題教師簽名 考試方式 （閉）卷適用專業(yè) 考試時間（120 ）分鐘7、（3分）設一個二能級體系的兩個能量本征值分別為 Ei和E2,相應的 本征矢量為|ni）和n。則在能量表象中，體系哈密頓量的矩陣表示題號一二三四五六七總分得分評卷人二、簡答題（10分）1 、（5分）簡述力學量和算符之間關系的一般假定2 、（5分）簡述波函數(shù)的物理意義。定值。已知F12.22sin一、填空題（20分）1、（2分）微觀粒子的波粒二象性是指。2、（2分）電子被200V的電壓加速，則電子的德布羅意波長為 。（電子的質量為9.1 1

2、0 31kg ,電子的電量為1.602 10 19庫侖）p0 x3、（4分）自由粒子平面波函數(shù)為x ce的動量不確定度p ,坐標的不確定度 x 。4、（4分）設在球坐標中，粒子波函數(shù)為nim r,，則在球殼（r,r+dr）中找到粒子的概率為 ;在 ， 方向的立體角d 中找到粒子的概率為。5、（2 分）設算符 A ieix ,算符 B eix,則 A,B =。dx6、（3分）波函數(shù)的標準條件為：、;三、證明題（15分）1、（7分）證明：若算符F和算符Gt一組共同的本征函數(shù)小，且小，組 成完全系，則算符F和G寸易。2、（8分）證明：r, , f r sin3 ei3為I?和2的共同的本征函數(shù)，并求

3、出相應的征信，說明當體系處于此狀態(tài)時，和？y沒有確1sin sin四、計算（55分）a ,1、（10分）一粒子在一維萬勢阱U x Uo,0 x 中運動，如圖所2a0, x a2示。把U（x）=-U0當作對無限深勢阱中運動粒子的微擾，計算在一級近似下粒子的基態(tài)能量。*U（x）,|iIa x-U02、（15分）一維無限深方勢阱中的粒子，設初始時刻（t=0）處于x,01 x 2 x /2 , 1 x和2 x分別為基態(tài)和第一激發(fā)態(tài)，求（a） x,t , x,t x x ； （b）能量平均值E ; （c）能量平方平均值E2。3、（15分）設已知在I?和仁的共同表象中，算符？x的矩陣為4、（15分）粒子在

4、半壁無限深勢阱U x 0 0 x a 中運動，求U 00 x a粒子束縛態(tài)能量（0EU0）所滿足的方程。求它的本征值和歸一化的本征函數(shù)量子力學試卷B答案及評分標準函數(shù)為空間坐標和時間的函數(shù)，即 x,y,z,t ,波函數(shù)模的平方表示了在某一、填空（共20分）1、粒子保持完整的顆粒結構在空間以概率波的形式運動的性質就是微觀粒子的波粒二象性。（2分）02、0.87 A （2 分）3、0,（4 分）2924、Rni r r dr ; %, d （4 分）5、e2ix （2 分）一時亥ij t粒子在空間某一點（x,y,z）處出現(xiàn)的概率。三、證明題（15分）1、（ 7分）證明：設入n和仙n分別為F?c?F

5、n nn,Gn n n將算符G和算符F分別作用在上述兩式上,熊郎n 0算符F和G的本征值，則并相減:6、有限性、連續(xù)性、單值性（3分）設為任意波函數(shù)，則7、Ei 00 E2（3分）F?（?郎an FG nannGF n為任意波函數(shù)，故FG? G?F?F和算符G對易。二、簡答題（共10分）1、（5分）答：力學量F由算符F表示，當微觀體系處于算符F的本征函數(shù)un（x）所描述的 狀態(tài)時，力學量F有唯一確定值，該值為算符F的第n個本征值入n；當體系處 于一般任意態(tài)也時，對力學量F進行測量，只能得到一系列的可能值，這些 值位于算符F的本征值值譜中，力學量F的值為第n個本征值的概率恰好是展 開式anUn

6、x中第n個展開系數(shù)an模的平方。n2、L2（8分）證明:L22、 （5 分）答：量子力學中用一個復數(shù)函數(shù)即波函數(shù)來描述微觀粒子的運動狀態(tài)，波2 ,12f rsin 3sinsin12 2i3 cos e13i3sin 9 e sin12 2Lz 3223g,Ly,?Z三者之間相互不對易，因此三者沒有共同的本征函數(shù)，當？有確定值時，？x,i2y沒有確定值。x,t四、計算題（55分）x,t x,t-E1t1eE2t2e-E1t1eE2t2e（5分）1、（10 分）12 cos-E1E2解：在無限深方勢阱中運動粒子的波函數(shù)和能量本征值分別為U（x）（b）EC12.2E1|C2 E2（5分）2 22n

7、2 . nEn -, n x ,，-Sinx, n 1,22maa a（2分）2（c）EG|2E；C22E2 : E11（5分）在微擾-Uo下，基態(tài)能量的一級修正值為E11 H11. 2 x ,sin dxaU02（4分）因此，在一級近似下,粒子的基態(tài)能量為E122maU02（4分）3、（15 分）解：設？x的本征值為,本征波函數(shù)為Lx于是，本征方程為2、（15 分）/ j 1解：（a）x，t2i一 Etx ei一E2t3分）久期方程行列式為零（3分）a（1,0,1）2a對應的本征值0,有:.2 b.212 b 1121a ,2對應的本征值（3分）1.2-212112有:（3分）b、2對應的本征值為4、（15 分）解：x 0b（1, 2, 1）2bb2b21.2（3分）d2dx2令kiAsin k1xB coskiXCe k2xCek2X舍去d2dx22 V。E0令