三篇近世代數(shù)

1、第三篇 近世代數(shù) 代數(shù)系統(tǒng)是建立在集合論基礎(chǔ)上以代數(shù)運(yùn)算為研究對象的學(xué)科。本篇共三章，第五章代數(shù)系統(tǒng)基礎(chǔ)介紹代數(shù)系統(tǒng)的一般原理與性質(zhì)， 第六章群論，主要介紹具有代表性的代數(shù)系統(tǒng)群，最后第七章其它代數(shù)系統(tǒng)，介紹除群外常見的一些代數(shù)系統(tǒng)，如環(huán)、域、格與布爾代數(shù)等，這三章相互配合構(gòu)成了代數(shù)系統(tǒng)的完整的整體。1第八章 代數(shù)系統(tǒng) 8.1 代數(shù)系統(tǒng)一般概念 1代數(shù)系統(tǒng)中的基本概念 （1）代數(shù)系統(tǒng)：集合上具有封閉性的運(yùn)算組成代數(shù)系統(tǒng)（S , ）。 （2）子代數(shù)：代數(shù)系統(tǒng)（S, ），（S，）滿足： SS 如 a , bS，ab = a b 則稱（S，）為（S, ）的子代數(shù)。28.2 代數(shù)系統(tǒng)常見的一些性質(zhì)（3

2、）代數(shù)系統(tǒng)常見性質(zhì) 1）結(jié)合律：（a b） ca （b c） 2）交換律：a bb a 3）分配律：a （bc）（a b）（a c） 4）單位元：a 1a 5）逆元：a a11 6）零元：a 00 7）生成元3 8.3 同構(gòu)與同態(tài) （4）同構(gòu)：（X， ）與（Y，）存在一一對應(yīng)函數(shù)g : XY使得如x1 , x2X，則有：g（x1 x2）g（x1）g（x2）此時(shí)則稱（X, ）與（Y，）同構(gòu)。 （5）同態(tài)：（X , ）與（Y，）存在函數(shù)g : XY使得如x1 , x2X，則有：g（x1 x2）g（x1）g（x2）此時(shí)則稱（X， ）與（Y，）同態(tài)。 8.4 常用代數(shù)系統(tǒng) （6）代數(shù)系統(tǒng)的構(gòu)成4（一個(gè)

3、二元運(yùn)算 ）兩個(gè)運(yùn)算有逆元兩個(gè)運(yùn)算有單位元代數(shù)系統(tǒng)結(jié)合律 半群 單位元、逆元 群循環(huán)群可換群變換群子群循環(huán)半群單元半群可換半群整環(huán)域商環(huán)理想有補(bǔ)格有界格布爾代數(shù)正規(guī)子群、商群特殊環(huán)特殊子環(huán)兩個(gè)運(yùn)算的單位元、逆元 （兩個(gè)二元運(yùn)算：, )兩個(gè)運(yùn)算的結(jié)合律、交換律、吸收律 格 兩個(gè)運(yùn)算的分配律 分配格單位元，無零因子 （兩個(gè)二元運(yùn)算：, )可換群, 半群, 對分配群 環(huán) 交換律 可換環(huán) 單位元, 逆元交換律單位元生成元交換律生成元子集上的群特殊群特殊群5第九章 群論 9.1 一些群的定義 （7）半群代數(shù)系統(tǒng)滿足交換律 （8）單元半群半群存在單位元 （9）群半群存在單位元與逆元 （10）可換群群滿足交

4、換律 （11）變換群集合A上所有的變換構(gòu)成的集合E（A），對于復(fù)合變換所構(gòu)成的代數(shù)系統(tǒng)（E（A）, ）是一個(gè)群，稱變換群。 （12）循環(huán)群群有生成元。 （13）有限群：群（S, ）中S為有限集。 （14）子群：群（G，）上G的子集所構(gòu)成的群。6 （15）正規(guī)子群：（H，）是群（G，）的子群，如對aG都有：aH = Ha則稱（H，）是（G，）的正規(guī)子群。 （16）陪集：H是G的子群，Haha | hH, aH = ah | hH 分別稱H在G中的一個(gè)右陪集或左陪集。 （17）商群：H是G的正規(guī)子群，對Ha，HbG/H，二元運(yùn)算（Ha)(Hb)Hab構(gòu)成群，則稱H是G的商群。 （18）單元半群性質(zhì)

5、： 單元半群的子系統(tǒng)若包含單位元也是單元半群。 可列個(gè)元素的單元半群的運(yùn)算組合表每行（列）均不相同。 循環(huán)單元半群是可換單元半群。 可換單元半群的所有等冪元素是一個(gè)子單元半群。79.2 一些群的理論與半群性質(zhì)： 半群的子代數(shù)也是半群。 循環(huán)半群是可換半群。（19）關(guān)于群的基本理論 群方程可解性：a x = b（或x a = b）對x存在唯一解； 群的消去律：a b = a c（或b a = c a）必有b = c； 任一群必與變換群同構(gòu)； 與一個(gè)群同構(gòu)或滿同態(tài)的代數(shù)系統(tǒng)必為群； 一個(gè)代數(shù)系統(tǒng)有限群滿足結(jié)合律及消去律則必為群；8有限群必與置換群同構(gòu)；循環(huán)群要么與（I,）同構(gòu)，要么與（Zm，m）同

6、構(gòu)； 一個(gè)群子集H構(gòu)成群（H,o）的充分必要條件：a,bH 則a bH ,aH 則a1 H；一個(gè)群子集H構(gòu)成子群（H,o）的充分必要條件：a,b H 則a b1 H ；一個(gè)有限群的階一定被它的子群的階所等分（拉格朗日定理）；f是群（G, ）與（G，）的滿同態(tài)，K是f的核，則必有：（G/k , ）與（G，）同構(gòu)；9第十章 環(huán)論 10.1 環(huán)和域 （20）環(huán)：（R，, ），對的可換群，對 的半群， 對的分配律； （21）理想：（D，, ），環(huán)（R，, ）的子環(huán)，滿足：aR , bD，必有：a bD , b aD； （22）整環(huán)：環(huán)（R，, ）中，運(yùn)算 有單位元，無零因子； （23）域：環(huán)（P，,

7、）中，運(yùn)算 交換律，有單位元，逆元； 10（24）環(huán)的基本理論 環(huán)的基本運(yùn)算性質(zhì)： a 0 = 0 a = 0； a （b）=（a） b = （a b） (a) (b)a b 環(huán)中無零因子 環(huán)滿足消去律； 環(huán)中子系統(tǒng)S是子環(huán)的充要條件是as 則必有a1S。（25）域的基本理論 1）域是整環(huán)； 2）有限整環(huán)必是域。11第十一章 格與布爾代數(shù) 11.1 格與布爾代數(shù) （26）格：（P，, ）中，兩個(gè)運(yùn)算的結(jié)合律、吸收律、交換律； （27）布爾代數(shù)：格（B，, ）中，兩個(gè)運(yùn)算的分配律、單位元、逆元。12（28）格的基本理論 1） 一個(gè)偏序格必是一個(gè)代數(shù)格，反之亦然； 2）格的運(yùn)算性質(zhì)。 aab , bab （aba , abb） ac且bc abc （ac且bccab） aba , a