大二下信號與系統(tǒng)講義chapter3

1、Fourier Series Representation of Periodic Signals第三章 周期信號的傅里葉級數(shù)表示本章內(nèi)容：. 周期信號的頻域分析. LTI系統(tǒng)的頻域分析. 傅立葉級數(shù)的性質(zhì)3.0 引言 Introduction 時域分析方法的基礎(chǔ)：信號在時域的分解。LTI系統(tǒng)滿足線性、時不變性。2.具有普遍性，能夠用以構(gòu)成相當廣泛的信號。 1.本身簡單，且LTI系統(tǒng)對它的響應(yīng)能簡便得到。 從分解信號的角度出發(fā)，基本信號單元必須滿足兩個要求：3.1歷史的回顧 （A Historical Perspective） 任何科學(xué)理論, 科學(xué)方法的建立都是經(jīng)過許多人不懈的努力而得來的,

2、其中有爭論, 還有人為之獻出了生命。 歷史的經(jīng)驗告訴我們, 要想在科學(xué)的領(lǐng)域有所建樹，必須傾心盡力為之奮斗。今天我們將要學(xué)習(xí)的傅立葉分析法，也經(jīng)歷了曲折漫長的發(fā)展過程，剛剛發(fā)布這一理論時，有人反對，也有人認為不可思議。但在今天，這一分析方法在許多領(lǐng)域已發(fā)揮了巨大的作用。1768年生于法國1807年提出“任何周期信號都可以用正弦函數(shù)的級數(shù)來表示”拉格朗日反對發(fā)表1822年首次發(fā)表“熱的分析理論”1829年狄里赫利第一個給出收斂條件傅里葉生平17681830傅里葉的兩個最重要的貢獻“周期信號都可以表示為成諧波關(guān)系的正弦信號的加權(quán)和”傅里葉的第一個主要論點“非周期信號都可以用正弦信號的加權(quán)積分來表示

3、”傅里葉的第二個主要論點由時域分析方法有，3.2 LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)The Response of LTI Systems to Complex Exponentials 考查LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號 和 的響應(yīng) 可見LTI系統(tǒng)對復(fù)指數(shù)信號的響應(yīng)是很容易求得的。這說明 和 符合對單元信號的第一項要求。特征函數(shù) (Eigenfunction) 如果系統(tǒng)對某一信號的響應(yīng)只不過是該信號乘以一個常數(shù)，則稱該信號是這個系統(tǒng)的特征函數(shù)。系統(tǒng)對該信號加權(quán)的常數(shù)稱為系統(tǒng)與特征函數(shù)相對應(yīng)的特征值。結(jié)論： 只有復(fù)指數(shù)函數(shù)才能成為一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 復(fù)指數(shù)函數(shù) 、 是一切LTI系統(tǒng)的特征函數(shù)。 、

4、分別是LTI系統(tǒng)與復(fù)指數(shù)信號相對應(yīng)的特征值。對時域的任何一個信號 或者 ,若能將其表示為下列形式：利用系統(tǒng)的齊次性與疊加性同理：即：*問題：究竟有多大范圍的信號可以用復(fù)指數(shù)信號的線性組合來表示？所以有由于Fourier Series Representation of Continuous-Time Periodic Signals3.3 連續(xù)時間周期信號的傅里葉級數(shù)表示如果將該信號集中所有的信號線性組合起來，一. 連續(xù)時間傅里葉級數(shù) 成諧波關(guān)系的復(fù)指數(shù)信號集: ，其中每個信號都是以 為周期的，它們的公共周期為 ，且該集合中所有的信號都是彼此獨立的。 例1： 顯然 也是以 為周期的。該級數(shù)就是

5、傅里葉級數(shù)， 稱為傅立葉級數(shù)的系數(shù)。 這表明用傅里葉級數(shù)可以表示連續(xù)時間周期信號，即: 連續(xù)時間周期信號可以分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù)諧波分量。有例2： 顯然該信號中，有兩個諧波分量， 為相應(yīng)分量的加權(quán)因子，即傅立葉系數(shù)。 在該信號中，有四個諧波分量，即時對應(yīng)的諧波分量。傅里葉級數(shù)表明：連續(xù)時間周期信號可以按傅立葉級數(shù)分解成無數(shù)多個復(fù)指數(shù)諧波分量的線性組合。二.頻譜（Spectral）的概念 在傅里葉級數(shù)中，各個信號分量（諧波分量） 間的區(qū)別也僅僅是幅度（可以是復(fù)數(shù)）和頻率不同。因此，可以用一根線段來表示某個分量的幅度，用線段的位置表示相應(yīng)的頻率。 信號集 中的每一個信號，除了成諧波關(guān)系外，每個信號

6、隨時間 的變化規(guī)律都是一樣的，差別僅僅是頻率不同。分量 可表示為 因此，當把周期信號 表示為傅里葉級數(shù) 時，就可以將 表示為這樣繪出的圖稱為頻譜圖表示為 頻譜圖其實就是將 隨頻率的分布表示出來，即 的關(guān)系。由于信號的頻譜完全代表了信號，研究它的頻譜就等于研究信號本身。因此，這種表示信號的方法稱為頻域表示法。三.傅里葉級數(shù)的其它形式 或 若 是實信號,則有，于是若令，則 為實數(shù)。于是即：表明 的模關(guān)于 偶對稱，幅角關(guān)于 奇對稱。 傅里葉級數(shù)的三角函數(shù)表示式 若令則因此即 的實部關(guān)于 偶對稱，虛部關(guān)于 奇對稱。 傅里葉級數(shù)的另一種三角函數(shù)形式將此關(guān)系代入，可得到四.連續(xù)時間傅里葉級數(shù)系數(shù)的確定對兩

7、邊同時在一個周期內(nèi)積分，有則有如果周期信號 可以表示為傅里葉級數(shù)即 在確定此積分時，只要積分區(qū)間是一個周期即可，對積分區(qū)間的起止并無特別要求，因此可表示為是信號在一個周期的平均值，通常稱直流分量。五.周期性矩形脈沖信號的頻譜其中 根據(jù) 可繪出 的頻譜圖。 稱為占空比不變 時不變 時周期性矩形脈沖信號的頻譜特征： 1. 離散性 2. 諧波性 3. 收斂性 考查周期 和脈沖寬度 改變時頻譜的變化：當 不變，改變 時，隨 使占空比減小，譜線間隔變小，幅度下降。但頻譜包絡(luò)的形狀不變，包絡(luò)主瓣內(nèi)包含的諧波分量數(shù)增加。2. 當 改變， 不變時，隨 使占空比減小，譜線間隔不變，幅度下降。頻譜的包絡(luò)改變，包絡(luò)主瓣變寬。主瓣內(nèi)包含的諧波數(shù)量也增加。當 時，有當 時，