傅里葉變換應用于通信系統(tǒng)

1、第二講無失真?zhèn)鬏敽拖柌刈儞Q123(7通信系統(tǒng)的一個主要任務就是有效而可靠地傳輸信號。從信號的角度來看，希望所要傳送的信號能夠毫無阻礙地、毫無畸變地按照一定的方式通過傳輸系統(tǒng)。例如信息傳輸系統(tǒng)，總希望在接受端獲得和發(fā)送信號（語音、圖像和數(shù)據(jù)信號等）完全一樣的信號，即實現(xiàn)所謂波形的無失真?zhèn)鬏?；但是另一個方面，從傳輸系統(tǒng)的角度看，卻要求在最經(jīng)濟的條件下達到傳送信號的目的，這包括了功率的節(jié)省、設(shè)備的簡易性、頻帶的壓縮和作用的有效性等。因此，信號通過系統(tǒng)的傳輸過程，實質(zhì)上就是限制傳輸（有效性）和反限制傳輸（可靠性）之間取得最佳匹配的過程。一般情況下，傳輸系統(tǒng)的響應波形與激勵波形不相同，也就是說信號在

2、傳輸過程中將產(chǎn)生失真。信號無失真?zhèn)鬏敽吞幚淼臈l件所謂無失真?zhèn)鬏?，是指輸出信號是輸入信號的準確復制品，這個復制品可以有不同的幅度和出現(xiàn)時間，但是要求其波形形狀相同。systeme(I圖5-2-1無失真?zhèn)鬏斚到y(tǒng)假設(shè)輸入信號為員*）,輸出信號為廠卩）,則信號的無失真?zhèn)鬏敆l件在時域表示為：廠（“二慮（才一島）。式中，肚是一個常數(shù)，是滯后時間。當此條件滿足時，輸出波形尸（門就是輸入波形滅）滯后時間5的復制品，雖然其幅度變?yōu)樵瓉淼鸟獗?，但是其波形形狀保持不變。如果從頻域來看，無失真?zhèn)鬏斁褪菍ο到y(tǒng)的轉(zhuǎn)移函數(shù)提出約束條件:氏0盤）=書）曠曲遺=J-CO0LJ-M=危-嘰E（j）又=:Ke由此我們可以得出，要使

3、任意波形的信號通過線性系統(tǒng)不產(chǎn)生波形失真，系統(tǒng)必須滿足的兩個條件是：系統(tǒng)的幅頻特性在整個頻率范圍內(nèi)為常數(shù)，即系統(tǒng)有無限帶寬的通頻帶。系統(tǒng)的相頻特性是經(jīng)過原點的直線。這兩個條件的物理意義是不難理解的。因為廠?。┰诿奎c上都比HD大懇倍，所以尸（才）的每個頻率分量都應當比總吐）的相應分量大広倍，從而有冋0）|二疋，即對所有的頻率都是常數(shù)。另外，因為0）較炎）滯后一段時間5,所以的每個頻率分量都要比（*）的相應分量滯后時間5,在角頻率上，對應的是各個點的相位滯后了，即如。群延時和相位延時描述系統(tǒng)相移特性的另一種方法是群延時（或稱群時延）特性來表示。群延時定義為相移特性的微分:如）。群延時表示了一個載頻

4、信號的包絡的延遲，包絡是包含著一定的帶寬的，所以群延時表示了一定帶寬的一組頻率成分的延遲。在沒有產(chǎn)生相位失真的條件下，系統(tǒng)的群時延特性為常數(shù)。相位延時定義為：如普，它是系統(tǒng)對給定角頻率的簡諧信號所產(chǎn)生的延遲。相位延時出現(xiàn)在載波因子中，它表明的是單一頻率的載波的延遲。第二講無失真?zhèn)鬏敽拖柌刈儞Q123滿足不失真條件的系統(tǒng)只有兩種：一種是即時系統(tǒng)，也就是只有純電阻組成的系統(tǒng)。這種系統(tǒng)對信號只有衰減作用，系統(tǒng)在某時刻的響應僅僅取決于該時刻的激勵。另一種是匹配的高頻傳輸線，此時線上只有行波的作用。實際上，具有儲能元件的系統(tǒng)在傳輸信號的過程中都會產(chǎn)生失真，它是由兩個因素造成的：幅度失真和相位失真。幅度

5、失真和相位失真由于冋（j曲）卜K不能滿足而產(chǎn)生的失真叫做幅度失真。在這種情況下，系統(tǒng)對信號各個頻率分量的幅度有不同程度的衰減或放大，使得響應信號各頻率分量的相對幅度產(chǎn)生變化，從而引起幅度失真。由于）=-0不能滿足而引起的失真。在這種情況下，系統(tǒng)對信號各個頻率分量產(chǎn)生的相移不與頻率成正比，結(jié)果各個頻率分量的相位位置產(chǎn)生變化，造成相位失真。無論是振幅失真還是相位失真，信號并沒有產(chǎn)生新的頻率分量，所以它們屬于線性失真。它不同于非線性系統(tǒng)由于非線性特性而對所傳輸信號引起的非線性失真，非線性失真可能產(chǎn)生新的頻率分量。我們討論的是線性系統(tǒng)的幅度失真和相位失真，一般情況下，這兩種失真是同時存在而且無法區(qū)分的

6、。但是在某些情況下，一種失真所占的比重很小，可以忽略不計，從而另一種失真就突出地表現(xiàn)出來。實際上，前面所述的不失真條件沒有必要在無限寬的頻帶范圍內(nèi)都滿足，而是只要在信號有效占有的頻帶內(nèi)得到近似滿足就可以了。而且，如果滿足這兩個條件的頻帶太寬，即系統(tǒng)的通頻帶太寬，則不需要的信號也會通過系統(tǒng)，同時系統(tǒng)的噪聲也隨著頻帶的加寬而增大，這顯然是我們不希望的。所以，實際應用中，信號通過系統(tǒng)后，不可避免地要產(chǎn)生一些失真。我們所關(guān)心的是系統(tǒng)離開不失真到了怎樣的程度后，信號的失真仍然是可以允許的。這是一個較復雜的問題，不可能有一個普遍的解答，而要根據(jù)信號、具體系統(tǒng)以及給定的技術(shù)要求來分析。比如，如果我們的目的只

7、是要產(chǎn)生一個寬度與輸入脈沖的寬度大小接近的輸出脈沖，而保真度并不重要，則系統(tǒng)的通頻帶只要大約等于輸入脈沖的占有頻帶就夠了。在一個搜索雷達系統(tǒng)就是這樣，它只要求有一個可以辨認出來的脈沖，而波形是次要的。但是如果要求波形保真，則系統(tǒng)的通頻帶要數(shù)倍于信號的占有頻帶，實際上由所規(guī)定的脈沖上升時間來決定。例如，在跟蹤雷達系統(tǒng)中，各個脈沖到達的準確時刻必須準確地知道，因此,雷達接受機的輸出脈沖必須上升得很陡，以便準確地決定脈沖前沿的位置。在某些導航系統(tǒng)和脈沖調(diào)制系統(tǒng)中，通頻帶也取決于脈沖的上升時間。頻域均衡和時域均衡在實際的通信和信號處理問題中，經(jīng)常會遇到無滿足上述帶限無失真?zhèn)鬏敾蛱幚項l件的情況。但實際上

8、，并非絕對不允許失真，通常只要求把失真度限定在某個可接受的程度內(nèi)。若失真較嚴重時，將是不能接受的，一般需采用均衡技術(shù)來解決。所謂均衡就是信號通過實際傳輸或處理系統(tǒng)后，用另一個系統(tǒng)補償或校正該系統(tǒng)的非理想特性，使級聯(lián)后整個系統(tǒng)滿足或近似滿足無失真?zhèn)鬏敾蛱幚項l件。這個用于補償或校正的系統(tǒng)成為均衡器。在許多實際應用中，連續(xù)或離散時間傳輸或處理系統(tǒng)都可以等效成一個LTI系統(tǒng)，它們的均衡器也是LTI系統(tǒng)。這里要特別指出，對于一般的物理可實現(xiàn)系統(tǒng)，同時滿足兩個理想條件,不僅是在實際中，就是在理論上也是無法實現(xiàn)的。這是因為，理論上可以證明，也）|和炒（）之間存在著依賴關(guān)系，選定了一個，另一個也就隨之而定了。

9、第五章傅里葉變換應用于通信系統(tǒng)第二講無失真?zhèn)鬏敽拖柌刈儞Q123希爾伯特變換的概念由于系統(tǒng)因果性的限制，系統(tǒng)函數(shù)的冋（j血）1和0（釦之間存在著某種相互制約的關(guān)系，這種關(guān)系通過希爾伯特（Hilbert）變換的形式表現(xiàn)出來。希爾伯特變換在信號分析領(lǐng)域有著重要的作用，一方面它使得實信號可以很方便的表示成復解析信號，另一方面，它可以簡單地表明因果信號頻譜的實部和虛部之間的關(guān)系。希爾伯特變換的定義：正變換：召（0T邑飛）=丄廣如血jt，一0=1（i-r）1門/($)7T丄。=1(-T)dr因果系統(tǒng)H（j）的實部與虛部之間的關(guān)系假設(shè)對因果系統(tǒng)有町）=血（境，汕和山分別是其偶分量和奇分量，”九（門+札（

10、門。下面我們由此來證明系統(tǒng)函數(shù)的實部與虛部之間滿足希爾伯特變換關(guān)系。呻）二鵝+認）-力（一才）=九一日0則有：鵝（苦他丫（”對因果系統(tǒng)有：om因為述心h（詢）=R（）+j（a），由傅里葉變換的奇偶虛實關(guān)系可知，一個偶函數(shù)的傅里葉變換是實函數(shù)，一個奇函數(shù)的傅里葉變換為純虛函數(shù)。所以有：%（0R3久（右）o九（t）sgn（OjR（a）.hs（f）sgn（Qjl（勁應用傅里葉變換的頻域卷積定理，得：2兀juj-m7）s二丄鳳刃心7TJ-m（如一應（眄二丄口9）*，_二丄2ttjuJ_wy結(jié)論：實因果信號頻譜的實部和虛部是不獨立的，它們各自都包含了信號頻譜的全部信息。如果系統(tǒng)函數(shù)頻譜的實部和虛部滿足希爾伯特變換，那么該系統(tǒng)就是因果系統(tǒng)，反之亦然。波特關(guān)系式如果從系統(tǒng)函數(shù)的模與相位函數(shù)的角度考察，則有：H（斑）二舊0礪刃l(wèi)nR（j）二ln|F（j）|-b可以證明，對于最小相移函數(shù)，山冋（j砒和9）之間也存在著約束關(guān)系。對于可實現(xiàn)系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)，如果給定了1訶刃如）L那么卩（）也就被確定，它們構(gòu)成一個最小相移函數(shù)。具體可以查閱有關(guān)的參考文獻。（下面舉一個例子，進一步來說明希爾伯特的含義）設(shè)有一全通網(wǎng)絡，其幅頻特性和相頻如圖a、b所示。求系統(tǒng)的沖激響應。證明系統(tǒng)的輸入為e(t)時，其響應r(t)