微積分基本公式(497)課件

1、14.2 微積分基本公式 問(wèn)題的提出積分上限函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)牛頓 萊布尼茨公式小結(jié) 思考題 作業(yè) (v(t)和s(t)的關(guān)系)fundamental formula of calculus 第4章 定積分與不定積分2 通過(guò)定積分的物理意義,例變速直線運(yùn)動(dòng)中路程為另一方面這段路程可表示為(v(t)和s(t)的關(guān)系)設(shè)某物體作直線運(yùn)動(dòng),已知速度v = v(t)求物體在這段時(shí)間內(nèi)所經(jīng)過(guò)的路程.是時(shí)間間隔T1,T2上t 的一個(gè)連續(xù)函數(shù),一、問(wèn)題的提出其中分的有效、簡(jiǎn)便的方法.找到一個(gè)計(jì)算定積 4.2 微積分基本公式所以為了敘述上的方便,引入原函數(shù)的概念.3定義4.2例原函數(shù)的定義如果在區(qū)間I上,則稱(chēng)F(x

2、)為f (x)在I上的一原函數(shù).個(gè)或由知是原函數(shù).也是的原函數(shù),其中C為任意常數(shù). 4.2 微積分基本公式4一般,亦為f (x)的原函數(shù)(C為任意常數(shù)).因一個(gè)函數(shù)如果有原函數(shù),就有無(wú)窮多個(gè). 則若F(x)為f (x)的一個(gè)原函數(shù), 4.2 微積分基本公式 如果能從v(t)求出s(t),運(yùn)算.定積分運(yùn)算就可化為減法啟發(fā)？定積分的計(jì)算有捷徑可尋進(jìn)行一般性的討論.5定積分:積分上限函數(shù) 注一定要分清函數(shù)的如果上限 x 在區(qū)間a, b上任意變動(dòng),每一個(gè)取定的 x 值,則對(duì)于定積分有一個(gè)對(duì)應(yīng)值,所以它在a, b上定義了一個(gè)函數(shù),設(shè)f (x)在a, b中可積,則對(duì)任一點(diǎn)與自變量x積分變量t.二、積分上限

3、函數(shù)及其導(dǎo)數(shù)記為變上限定積分 4.2 微積分基本公式6 這個(gè)函數(shù)的幾何意義 下面討論這個(gè)函數(shù)的可導(dǎo)性.是如圖紅色部分的面積函數(shù). 4.2 微積分基本公式7練習(xí)考研數(shù)學(xué)一至四, 選擇題, 4分 如圖, 連續(xù)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間 上的圖形分別是直徑為1的上、下半圓周, 在區(qū)間 上的圖形分別是直徑為2的下、上半圓周. 則下列結(jié)論正確的是 4.2 微積分基本公式8練習(xí)2009年考研數(shù)學(xué)一,二,三, 選擇題, 4分 設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間 上的圖形為則函數(shù) 的圖形為 4.2 微積分基本公式9練習(xí)2009年考研數(shù)學(xué)一,二,三, 選擇題, 4分 設(shè)函數(shù) y = f (x)在區(qū)間 上的圖形

4、為則函數(shù) 的圖形為此題為定積分的應(yīng)用知識(shí)考核, 由y = f (x)的圖形可見(jiàn),其圖像與x軸, y軸及所圍圖形面積的代數(shù)和為所求函數(shù)F(x).從而可得出幾個(gè)方面的特征: 4.2 微積分基本公式10證定理4.3 (原函數(shù)存在定理)因?yàn)閺亩鴦t積分上限函數(shù)是a, b上的可導(dǎo)函數(shù),且對(duì)上限的導(dǎo)數(shù)等于被積函數(shù)在上限處的值. 即 4.2 微積分基本公式11積分中值定理故則同理可證則同理可證積分區(qū)間可加性 4.2 微積分基本公式12 定理4.3指出:和積分聯(lián)結(jié)為一個(gè)有機(jī)的整體(2) 連續(xù)函數(shù) f (x)一定有原函數(shù),就是f (x)的一個(gè)原函數(shù).(1) 積分運(yùn)算和微分運(yùn)算的關(guān)系,它把微分所以它是微積分學(xué)基本定

5、理.函數(shù) 微積分, 4.2 微積分基本公式13推論 4.2 微積分基本公式14例 解例 解 4.2 微積分基本公式15例 解 4.2 微積分基本公式16例解這是 型不定式,分析應(yīng)用洛必達(dá)法則 4.2 微積分基本公式17練習(xí)2009年考研數(shù)學(xué)(二), 填空, 4分 曲線 解在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為所以, 曲線在點(diǎn)(0,0)處的切線方程為: 4.2 微積分基本公式18練習(xí)考研數(shù)學(xué)(二), 填空, 4分 設(shè)函數(shù) 解 4.2 微積分基本公式19練習(xí)考研數(shù)學(xué)二 解答題, 10分 設(shè) f (x)在區(qū)間 且滿(mǎn)足 其中f -1 的是 f 的反函數(shù), 求f (x). 上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù), 解 兩邊對(duì)x求導(dǎo),

6、 得 4分 即 6分 4.2 微積分基本公式20練習(xí)考研數(shù)學(xué)二 解答題, 10分 設(shè) f (x)在區(qū)間 且滿(mǎn)足 其中f -1 的是 f 的反函數(shù), 求f (x). 上的單調(diào)、可導(dǎo)函數(shù), 8分 故 由題設(shè)知, 因此, 10分 積分 4.2 微積分基本公式21例 解求極限 考研數(shù)學(xué)(三) , 5分 用法則用法則 4.2 微積分基本公式22證例證明函數(shù)為單調(diào)增加函數(shù). 4.2 微積分基本公式23為單調(diào)增加函數(shù).故 4.2 微積分基本公式24證令為單調(diào)增加函數(shù).證明:只有一個(gè)解.例所以原方程只有一個(gè)解.或 4.2 微積分基本公式25定理4.5（牛頓-萊布尼茨公式）證牛頓(英) 16421727 萊布尼

7、茨(德) 16461716如果F(x)是連續(xù)函數(shù) f (x)在區(qū)間a, b上的一個(gè)原函數(shù),則都是 f (x)在因?yàn)镕 (x)及a, b上的原函數(shù),故有C是待定常數(shù),即有三、牛頓萊布尼茨公式 4.2 微積分基本公式26牛頓(Newton)萊布尼茨(Leibniz)公式微積分基本公式特別, 4.2 微積分基本公式27微積分基本公式表明注求定積分問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求原函數(shù)的問(wèn)題.一個(gè)連續(xù)函數(shù)在區(qū)間a, b上的定積分等于它的任意一個(gè)原函數(shù)在區(qū)間a, b上的增量.仍成立. 4.2 微積分基本公式28例 原式解 面積例 解平面圖形的面積.所圍成的 4.2 微積分基本公式29例 解注如被積函數(shù)是分段函數(shù), 再用牛萊

8、公式.積分,應(yīng)分段分成幾個(gè) 4.2 微積分基本公式30例 解由圖形可知 4.2 微積分基本公式所以31練習(xí)解 4.2 微積分基本公式32例解如被積函數(shù)有絕對(duì)值,注再用去掉后,N-L公式.應(yīng)分區(qū)間將絕對(duì)值 4.2 微積分基本公式33練習(xí)2009年考研數(shù)學(xué)三, 選擇題, 4分 使不等式 成立的x的范圍是解答原問(wèn)題可轉(zhuǎn)化為求成立時(shí)x的取值范圍, 4.2 微積分基本公式34例則(A) F(x)在x = 0點(diǎn)不連續(xù).(B) F(x)在內(nèi)連續(xù),在x = 0點(diǎn)不可導(dǎo).(C) F(x)在內(nèi)可導(dǎo),且滿(mǎn)足(D) F(x)在內(nèi)可導(dǎo),但不一定滿(mǎn)足考研數(shù)學(xué)(四)選擇題,4分 4.2 微積分基本公式35例已知函數(shù)求積分上

9、限的函數(shù)解分段函數(shù)?錯(cuò)! 4.2 微積分基本公式36已知函數(shù)求積分上限的函數(shù)正確做法 4.2 微積分基本公式37例 解此極限實(shí)為一積分和的極限.定積分是代數(shù)和的推廣,無(wú)窮小的無(wú)限項(xiàng)的代數(shù)和.即它表示每項(xiàng)為用定積分求極限時(shí),需將(1)式中的兩個(gè)任意量用特殊的值處理. 4.2 微積分基本公式38練習(xí)解原式= 4.2 微積分基本公式39練習(xí)考研數(shù)學(xué)(二)填空3分 填空題解原式 4.2 微積分基本公式40 微積分基本公式:積分上限函數(shù)(變上限積分): 積分上限函數(shù)的導(dǎo)數(shù): 牛頓萊布尼茨公式溝通了微分學(xué)與積分學(xué)之間的關(guān)系.四、小結(jié)注意其推論. 4.2 微積分基本公式原函數(shù)的概念:稱(chēng)F(x)為f (x)在I上的一個(gè)原函數(shù).41思考題1問(wèn):對(duì)嗎?錯(cuò)!分析其中的x對(duì)積分過(guò)程是常數(shù),而積分結(jié)果是x的函數(shù).若被積函數(shù)是積分上限(或下限)的函數(shù)中注意的變量 x 及積分變量 t 的函數(shù)時(shí),應(yīng)注意 x與t 的區(qū)別.對(duì) x求導(dǎo)時(shí),絕不能用積分上