河南省延津縣2022-2023學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)第一學(xué)期期末考試試題含解析

1、2022-2023學(xué)年八上數(shù)學(xué)期末模擬試卷注意事項(xiàng):1答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題(每小題3分,共30分)1已知A(a，b)，B(c，d)是一次函數(shù)y=kx3x+2圖象上的不同兩個(gè)點(diǎn)，m=(ac)(bd)，則當(dāng)m0時(shí)，k的取值范圍是()Ak3Bk3Ck2Dk22我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作增刪

2、算法統(tǒng)宗記載”繩索量竿”問(wèn)題：“一條竿子一條索，索比竿子長(zhǎng)一托折回索子卻量竿，卻比竿子短一托“其大意為：現(xiàn)有一根竿和一條繩索，用繩索去量竿，繩索比竿長(zhǎng)5尺；如果將繩索對(duì)半折后再去量竿，就比竿短5尺設(shè)繩索長(zhǎng)x尺，竿長(zhǎng)y尺，則符合題意的方程組是（）ABCD3下列計(jì)算正確的是（ ）AB=1CD4我國(guó)的紙傘工藝十分巧妙,如圖,傘圈 D 能沿著傘柄滑動(dòng),傘不論張開(kāi)還是縮攏,傘柄 AP 始終平分同一平面內(nèi)所成的角BAC,為了證明這個(gè)結(jié)論,我們的依據(jù)是ASASBSSSCAASDASA5下列計(jì)算不正確的是( )ABCD6由方程組可得出與之間的關(guān)系是（ ）ABCD7點(diǎn)P(2，4)與點(diǎn)Q(6，4)的位置關(guān)系是（

3、）A關(guān)于直線x2對(duì)稱B關(guān)于直線y2對(duì)稱C關(guān)于x軸對(duì)稱D關(guān)于y軸對(duì)稱8如果是一個(gè)完全平方式，那么k的值是（ ）A3B6C6D39如圖，AB=AD，要說(shuō)明ABCADE，需添加的條件不能是（）AE=CBAC=AECADE=ABCDDE=BC10已知銳角AOB如圖，（1）在射線OA上取一點(diǎn)C，以點(diǎn)O為圓心，OC長(zhǎng)為半徑作，交射線OB于點(diǎn)D，連接CD；（2）分別以點(diǎn)C，D為圓心，CD長(zhǎng)為半徑作弧，交于點(diǎn)M，N；（3）連接OM，MN根據(jù)以上作圖過(guò)程及所作圖形，下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是（ ）ACOM=CODB若OM=MN，則AOB=20CMNCDDMN=3CD二、填空題(每小題3分,共24分)11對(duì)于一次函數(shù)y=

4、2x+1，當(dāng)2x3時(shí)，函數(shù)值y的取值范圍是_12用四舍五入法把1.23536精確到百分位，得到的近似值是_13在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1l2，直線l1對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為，直線l2分別與x軸、y軸交于點(diǎn)A，B，OA=4，則OB=_14如圖，在直線上，與的角平分線交于點(diǎn)，則_；若再作的平分線，交于點(diǎn)；再作的平分線，交于點(diǎn)；依此類(lèi)推， _15已知是方程3xmy=7的一個(gè)解，則m= 16如圖，在中，分別以點(diǎn)A和點(diǎn)C為圓心，大于長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧相交于點(diǎn)M、N；作直線MN分別交BC、AC于點(diǎn)D、點(diǎn)E，若，的周長(zhǎng)為13cm，則的周長(zhǎng)為_(kāi).17如圖，一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，則關(guān)于的不等式的解集為

5、_18化簡(jiǎn)：=_三、解答題(共66分)19（10分）如圖是108的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)稱為格點(diǎn)，每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)都是1個(gè)單位，線段的端點(diǎn)均在格點(diǎn)上，且點(diǎn)的坐標(biāo)為，按下列要求用沒(méi)有刻度的直尺畫(huà)出圖形（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找到原點(diǎn)的位置，并建立平面直角坐標(biāo)系；（2）將線段平移到的位置，使與重合，畫(huà)出線段，然后作線段關(guān)于直線對(duì)稱線段，使的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為，畫(huà)出線段；（3）在圖中找到一個(gè)各點(diǎn)使，畫(huà)出并寫(xiě)出點(diǎn)的坐標(biāo)20（6分）甲、乙兩車(chē)從城出發(fā)勻速行駛至城，在整個(gè)行駛過(guò)程中，甲、乙離開(kāi)城的距離（千米）與甲車(chē)行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，根據(jù)圖象信息解答下列問(wèn)題：（1）乙車(chē)比甲車(chē)晚出發(fā)多少時(shí)間？（

6、2）乙車(chē)出發(fā)后多少時(shí)間追上甲車(chē)？（3）求在乙車(chē)行駛過(guò)程中，當(dāng)為何值時(shí)，兩車(chē)相距20千米？21（6分）如圖，在ABC中，A30，B60(1)作B的平分線BD，交AC于點(diǎn)D；作AB的中點(diǎn)E(要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不必寫(xiě)作法和證明)；(2)連接DE，求證：ADEBDE22（8分）某開(kāi)發(fā)公司生產(chǎn)的 960 件新產(chǎn)品需要精加工后，才能投放市場(chǎng)，現(xiàn)甲、乙兩個(gè)工廠都想加工這批產(chǎn)品，已知甲工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品比乙工廠單獨(dú)加工完成這批產(chǎn)品多用 20 天，而甲工廠每天加工的數(shù)量是乙工廠每天加工的數(shù)量的，公司需付甲工廠加工費(fèi)用為每天 80 元，乙工廠加工費(fèi)用為每天 120 元（1）甲、乙兩個(gè)工廠每天各能

7、加工多少件新產(chǎn)品？（2）公司制定產(chǎn)品加工方案如下：可以由每個(gè)廠家單獨(dú)完成，也可以由兩個(gè)廠家合作完成在加工過(guò)程中，公司派一名工程師每天到廠進(jìn)行技術(shù)指導(dǎo)，并負(fù)擔(dān)每天 15 元的午餐補(bǔ)助費(fèi)， 請(qǐng)你幫公司選擇一種既省時(shí)又省錢(qián)的加工方案，并說(shuō)明理由23（8分）已知：中，過(guò)B點(diǎn)作BEAD，(1)如圖1，點(diǎn)在的延長(zhǎng)線上，連，作于，交于點(diǎn)求證：；(2)如圖2，點(diǎn)在線段上，連，過(guò)作，且，連交于，連，問(wèn)與有何數(shù)量關(guān)系，并加以證明；(3)如圖3，點(diǎn)在CB延長(zhǎng)線上，且，連接、的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，若，請(qǐng)直接寫(xiě)出的值24（8分）（1）如圖1，是的中線，求的取值范圍，我們可以延長(zhǎng)到點(diǎn)，使，連接（如圖2所示），這樣就可以求出的取

8、值范圍，從而得解，請(qǐng)寫(xiě)出解題過(guò)程；（2）在（1）問(wèn)的啟發(fā)下，解決下列問(wèn)題：如圖3，是的中線，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，且，求證：25（10分）客運(yùn)公司規(guī)定旅客可免費(fèi)攜帶一定質(zhì)量的行李，當(dāng)行李質(zhì)量超過(guò)規(guī)定時(shí)，需付的行李費(fèi)y（元）是行李質(zhì)量x（kg）的一次函數(shù)，這個(gè)函數(shù)的圖象如圖所示（1）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式；（2）求旅客最多可免費(fèi)攜帶行李的質(zhì)量26（10分）兩個(gè)大小不同的等腰直角三角形三角板如圖1所示放置，圖2是由它抽象出的幾何圖形，其中，、在同一條直線上，連結(jié)（1）請(qǐng)?jiān)趫D2中找出與全等的三角形，并給予證明（說(shuō)明：結(jié)論中不得含有未標(biāo)識(shí)的字母）；（2）證明：參考答案一、選擇題(每小題3分,共30分)1、A

9、【分析】將點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)代入解析式可求k1，即可求解【詳解】A(a，b)，B(c，d)是一次函數(shù)y=kx1x+2圖象上的不同兩個(gè)點(diǎn)，b=ka1a+2，d=kc1c+2，且ac，k1=m=(ac)(bd)0，k1故選：A【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系，一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，求出k1是關(guān)鍵，是一道基礎(chǔ)題2、A【分析】設(shè)索長(zhǎng)為x尺，竿子長(zhǎng)為y尺，根據(jù)“索比竿子長(zhǎng)一托，折回索子卻量竿，卻比竿子短一托”，即可得出關(guān)于x、y的二元一次方程組【詳解】設(shè)索長(zhǎng)為x尺，竿子長(zhǎng)為y尺，根據(jù)題意得：故選A【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程組是解題的關(guān)鍵3、D【

10、分析】先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式，再合并同類(lèi)二次根式，或者根據(jù)乘法公式進(jìn)行計(jì)算.【詳解】A選項(xiàng)：,本選項(xiàng)錯(cuò)誤;B選項(xiàng)：，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;C選項(xiàng)：，本選項(xiàng)錯(cuò)誤;D選項(xiàng)：，本選項(xiàng)正確.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查了二次根式的混合運(yùn)算,關(guān)鍵要先把各二次根式化為最簡(jiǎn)二次根式4、B【分析】根據(jù)確定三角形全等的條件進(jìn)行判定即可得解【詳解】解：根據(jù)傘的結(jié)構(gòu)，AE=AF，傘骨DE=DF，AD是公共邊，在ADE和ADF中，ADEADF（SSS），DAE=DAF，即AP平分BAC故選B【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的應(yīng)用，理解題意確定出全等的三角形以及全等的條件是解題的關(guān)鍵5、A【分析】根據(jù)無(wú)理數(shù)的混合運(yùn)算法則，逐一計(jì)

11、算，即可判定.【詳解】A選項(xiàng)，錯(cuò)誤；B選項(xiàng)，正確；C選項(xiàng)，正確；D選項(xiàng)，正確；故答案為A.【點(diǎn)睛】此題主要考查無(wú)理數(shù)的混合運(yùn)算，熟練掌握運(yùn)算法則，即可解題.6、B【分析】根據(jù)題意由方程組消去m即可得到y(tǒng)與x的關(guān)系式，進(jìn)行判斷即可【詳解】解，把代入得：x+y-3=-4，則x+y=-1.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查解二元一次方程組，注意掌握利用消元的思想，消元的方法有：代入消元法與加減消元法7、A【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)解決問(wèn)題即可【詳解】解：點(diǎn)P（2，4）與點(diǎn)Q（6，4）的位置關(guān)系是關(guān)于直線x2對(duì)稱，故選：A【點(diǎn)睛】此題主要考查坐標(biāo)與圖形，解題的關(guān)鍵是熟知軸對(duì)稱的性質(zhì)8、B【分析】根據(jù)完全平方式得出

12、k113，求出即可【詳解】x1kxy9y1是一個(gè)完全平方式，x1kxy9y1x11x3y（3y）1，即k6，故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了對(duì)完全平方式的應(yīng)用，注意：完全平方式有兩個(gè)：a11abb1和a11abb19、D【解析】AB=AD，且A=A，當(dāng)E=C時(shí),滿足AAS,可證明ABCADE，當(dāng)AC=AE時(shí),滿足SAS,可證明ABCADE，當(dāng)ADE=ABC時(shí),滿足ASA,可證明ABCADE，當(dāng)DE=BC時(shí),滿足SSA,不能證明ABCADE，故選D.10、D【分析】由作圖知CM=CD=DN，再利用圓周角定理、圓心角定理逐一判斷可得【詳解】解：由作圖知CM=CD=DN，COM=COD，故A選項(xiàng)正確；OM

13、=ON=MN，OMN是等邊三角形，MON=60，CM=CD=DN，MOA=AOB=BON=MON=20，故B選項(xiàng)正確；MOA=AOB=BON，OCD=OCM= ，MCD=，又CMN=AON=COD，MCD+CMN=180，MNCD，故C選項(xiàng)正確；MC+CD+DNMN，且CM=CD=DN，3CDMN，故D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選D【點(diǎn)睛】本題主要考查作圖-復(fù)雜作圖，解題的關(guān)鍵是掌握?qǐng)A心角定理和圓周角定理等知識(shí)點(diǎn)二、填空題(每小題3分,共24分)11、-1y1【分析】根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性解答即可【詳解】對(duì)于一次函數(shù)y=2x+1，k=-20，y隨x的增大而減小，當(dāng)x=-2時(shí)，y=1，當(dāng)x=3時(shí)，y=-1，當(dāng)2

14、x3時(shí)，-1y1，故答案為：-1y1【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的增減性，熟練掌握由k的符號(hào)判斷一次函數(shù)的增減性是解答的關(guān)鍵12、1.1【分析】把千分位上的數(shù)字5進(jìn)行四舍五入即可【詳解】解：1.23536精確到百分位，得到的近似值是1.1故答案為1.1【點(diǎn)睛】本題考查了近似數(shù)和有效數(shù)字：近似數(shù)與精確數(shù)的接近程度，可以用精確度表示一般有，精確到哪一位，保留幾個(gè)有效數(shù)字等說(shuō)法13、1【詳解】直線，直線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式為， 可以假設(shè)直線的解析式為， ， 代入得到 故答案為114、（） （） 【分析】根據(jù)“角平分線定義”和“三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和”求出規(guī)律，直接利用規(guī)律解題【詳解】解：A

15、1=A1CE-A1BC=ACE-ABC=（ACE-ABC）=A=依此類(lèi)推A2=，A3=，A10=故答案為：；【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形的內(nèi)角和外角之間的關(guān)系以及角平分線的定義，三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角和15、【解析】試題分析：是方程3xmy=7的一個(gè)解，把代入方程可得323m=7，解得m=故答案為考點(diǎn)：二元一次方程的解16、19cm【分析】根據(jù)尺規(guī)作圖得到是線段的垂直平分線，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可【詳解】解：由尺規(guī)作圖可知，是線段的垂直平分線，的周長(zhǎng)為13，則的周長(zhǎng)，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是線段垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)

16、到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵17、x-1【分析】根據(jù)一次函數(shù)的圖象和兩函數(shù)的交點(diǎn)橫坐標(biāo)即可得出答案【詳解】一次函數(shù)與一次函數(shù)的圖像相交于點(diǎn)，交點(diǎn)橫坐標(biāo)為：x=-1，不等式的解集是x-1故答案為：x-1【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)與一元一次不等式的關(guān)系：從函數(shù)的角度看，就是尋求使一次函數(shù)y=ax+b的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數(shù)圖象的角度看，就是確定直線y=kx+b在x軸上（或下）方部分所有的點(diǎn)的橫坐標(biāo)所構(gòu)成的集合也考查了觀察函數(shù)圖象的能力18、3【分析】根據(jù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的定義化簡(jiǎn)即可【詳解】解：故答案為：3【點(diǎn)睛】本題主要考查了分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的意義，熟知分?jǐn)?shù)指數(shù)冪意義是解題

17、關(guān)鍵三、解答題(共66分)19、（1）見(jiàn)解析；（2）見(jiàn)解析；（3）見(jiàn)解析G（）【分析】（1）根據(jù)A點(diǎn)坐標(biāo)即可確定原點(diǎn)，建立平面直角坐標(biāo)系；（2）根據(jù)平移和軸對(duì)稱的性質(zhì)即可作圖；（3）連接AD,BC交于J,可得四邊形ABCD為正方形，則ADBC，延長(zhǎng)AD至K，平移線段BC至EK，使B點(diǎn)跟E點(diǎn)重合，可得EHAK與G點(diǎn)，再根據(jù)一次函數(shù)的圖像與性質(zhì)即可求出G點(diǎn)坐標(biāo).【詳解】（1）如圖所示，O點(diǎn)及坐標(biāo)系為所求；（2）如圖，線段，線段為所求；（3）如圖，為所求,由直角坐標(biāo)系可知A,D(3,2),故求得直線AD的解析式為：y=；由直角坐標(biāo)系可知E,D(5,0),故求得直線AD的解析式為：y= ；聯(lián)立兩函數(shù)得

18、，解得G（）.【點(diǎn)睛】此題主要考查一次函數(shù)與幾何綜合，解題的關(guān)鍵是熟知平行、軸對(duì)稱的特點(diǎn)，待定系數(shù)法求解解析式及交點(diǎn)坐標(biāo)的求解.20、（1）乙車(chē)比甲車(chē)晚出發(fā)1小時(shí)；（2）乙車(chē)出發(fā)1.5小時(shí)后追上甲車(chē)；（3）在乙車(chē)行駛過(guò)程中，當(dāng)t為1或2時(shí)，兩車(chē)相距20千米【分析】（1）從圖像及題意可直接進(jìn)行解答；（2）設(shè)甲車(chē)離開(kāi)城的距離（千米）與甲車(chē)行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)解析式為，乙車(chē)離開(kāi)城的距離（千米）與甲車(chē)行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)解析式為，然后根據(jù)圖像可求出函數(shù)解析式，進(jìn)而聯(lián)立兩個(gè)函數(shù)關(guān)系求解；（3）由（2）及題意可分類(lèi)進(jìn)行求解，即當(dāng)乙車(chē)追上甲車(chē)前和當(dāng)乙車(chē)追上甲車(chē)后【詳解】解：（1）由圖像可得：

19、甲車(chē)的圖像是從原點(diǎn)出發(fā)，而乙車(chē)的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則：所以乙車(chē)比甲車(chē)晚出發(fā)1小時(shí)；答：乙車(chē)比甲車(chē)晚出發(fā)1小時(shí)（2）設(shè)甲車(chē)離開(kāi)城的距離（千米）與甲車(chē)行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)解析式為，由圖像得，把代入得：，解得，；設(shè)乙車(chē)離開(kāi)城的距離（千米）與甲車(chē)行駛的時(shí)間（小時(shí)）之間的函數(shù)解析式為，由圖像得，把代入得：，解得，解得，（小時(shí)）答：乙車(chē)出發(fā)1.5小時(shí)后追上甲車(chē)（3）由（2）可得：甲車(chē)函數(shù)解析式為，乙車(chē)的函數(shù)解析式為，當(dāng)乙車(chē)追上甲車(chē)前兩車(chē)相距20千米時(shí)，解得；當(dāng)乙車(chē)追上甲車(chē)后兩車(chē)相距20千米時(shí)，解得；2-1=1（小時(shí)）或3-1=2（小時(shí)）；在乙車(chē)行駛過(guò)程中，當(dāng)t為1或2時(shí)，兩車(chē)相距20千米【點(diǎn)睛】本題主要

20、考查一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，熟練掌握一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用是解題的關(guān)鍵21、（1）作圖見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析【分析】（1）以B為圓心，任意長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，交AB、BC于F、N，再以F、N為圓心，大于FN長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于點(diǎn)M，過(guò)B、M作射線，交AC于D，線段BD就是B的平分線；分別以A、B為圓心，大于AB長(zhǎng)為半徑畫(huà)弧，兩弧交于X、Y，過(guò)X、Y作直線與AB交于點(diǎn)E，點(diǎn)E就是AB的中點(diǎn)；（2）首先根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得ABD的度數(shù)，從而得到ABD=A，根據(jù)等角對(duì)等邊可得AD=BD，再加上條件AE=BE，即可利用SAS證明ADEBDE【詳解】解：（1）作圖如下：（2）證明：ABD6030，A30ABDA

21、ADBD又AEBE，ADEBDE（SAS）22、（1）甲工廠每天加工 16 件產(chǎn)品，乙工廠每天加工 24 件產(chǎn)品. （2）甲、乙兩工廠合作完成此項(xiàng)任務(wù)既省時(shí)又省錢(qián)見(jiàn)解析【解析】（1）設(shè)甲工廠每天加工 x 件新品，乙工廠每天加工 1.5x 件新品，根據(jù)題意找出等量關(guān)系：甲廠單獨(dú)加工這批產(chǎn)品所需天數(shù)乙工廠單獨(dú)加工完這批產(chǎn)品所需天數(shù)20， 由等量關(guān)系列出方程求解（2）分別計(jì)算出甲單獨(dú)加工完成、乙單獨(dú)加工完成、甲、乙合作完成需要的時(shí)間和費(fèi)用， 比較大小，選擇既省時(shí)又省錢(qián)的加工方案即可【詳解】（1）設(shè)甲工廠每天加工 x 件新品，乙工廠每天加工 1.5x 件新品，則： 解得：x16經(jīng)檢驗(yàn)，x16 是原分式

22、方程的解甲工廠每天加工 16 件產(chǎn)品，乙工廠每天加工 24 件產(chǎn)品（2）方案一：甲工廠單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)，則需要的時(shí)間為：9601660 天需要的總費(fèi)用為：60（80+15）5700 元方案二：乙工廠單獨(dú)完成此項(xiàng)任務(wù)，則需要的時(shí)間為：9602440 天需要的總費(fèi)用為：40（120+15）5400 元方案三：甲、乙兩工廠合作完成此項(xiàng)任務(wù)，設(shè)共需要 a 天完成任務(wù)，則16a+24a960a24需要的總費(fèi)用為：24（80+120+15）5 160 元綜上所述：甲、乙兩工廠合作完成此項(xiàng)任務(wù)既省時(shí)又省錢(qián)【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵在于理解清楚題意，找出等量關(guān)系，列 出方程求解需要注意：分式方程求解后，應(yīng)注意檢驗(yàn)其結(jié)果是否符合題意；選擇最優(yōu)方案時(shí)，需將求各個(gè)方案所需時(shí)間和所需費(fèi)用，經(jīng)過(guò)比較后選擇最優(yōu)的那個(gè)方案23、（1）見(jiàn)詳解，（2），證明見(jiàn)詳解，（3）【分析】（1）欲證明，只要證明即可；（2）結(jié)論：如圖2中，作于只要證明，推出，由，推出即可解決問(wèn)題；（3）利用（2）中結(jié)論即可解決問(wèn)題；【詳解】（1）證明：如圖1中，于，(AAS)，（2）結(jié)論：理由：如圖2中，作于，（3）如圖3中，作于交AC延長(zhǎng)線于，設(shè)，則，【點(diǎn)睛】本題考查三角形綜合題、全等三角形的判定和