新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)：專題強(qiáng)化練7 空間角和距離

1、專題強(qiáng)化練7空間角和距離一、選擇題 1.(2020四川資陽高二上期末,)一個(gè)正方體的平面展開圖如圖所示,在該正方體中,給出如下3個(gè)命題:AFCG;AG與MN是異面直線且夾角為60;BG與平面ABCD所成的角為45.其中真命題的個(gè)數(shù)是()A.0B.1C.2D.32.(2020四川成都七中高三二模,)如圖所示,三棱錐P-ABC的底面ABC是等腰直角三角形,ACB=90,且PA=PB=AB=2,PC=3,則點(diǎn)C到平面PAB的距離等于()A.13B.63C.33D.233.(2020湖南長沙明德中學(xué)高一上月考,)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E是棱CC1的中點(diǎn),F是側(cè)面BCC1B1內(nèi)的動(dòng)點(diǎn),且

2、A1F平面D1AE,則A1F與平面BCC1B1所成角的正切值t構(gòu)成的集合是()A.t|255t23B.t|255t2C.t|2t23D.t|2t224.(多選)(2020海南?？诟呷M,)如圖,在直三棱柱ABC-A1B1C1中,AA1=AC=23AB=2,ABAC,D,E分別是線段BC,B1C上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn)),且ECB1C=DCBC.則下列說法正確的是()A.ED平面ACC1B.該三棱柱的外接球的表面積為68C.異面直線B1C與AA1所成角的正切值為32D.二面角A-EC-D的余弦值為413二、填空題5.(2020浙江杭州學(xué)軍中學(xué)高二上期中,)如圖,已知三棱錐A-BCD的所有棱長均相等,

3、點(diǎn)E滿足CE=3EB,點(diǎn)P在棱AB上運(yùn)動(dòng),設(shè)EP與平面BCD所成的角為,則sin 的最大值為.6.(2020浙江寧波九校高二上期末聯(lián)考,)邊長為2的等邊ABC和直角ABC1所在半平面構(gòu)成60的二面角,當(dāng)AC1B=90,C1AB=30時(shí),線段CC1的長度為.三、解答題7.(2020黑龍江哈爾濱三中高三上期末,)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,BAC=90,AB=AC,D、E分別為AA1、B1C的中點(diǎn).(1)證明:DE平面BCC1B1;(2)若AB=2,直線B1B與直線CD所成的角為45,求點(diǎn)B到平面B1CD的距離.8.(2020福建寧德高三上期末,)如圖,平面ABCD平面EBC,四邊形AB

4、CD為矩形,AB=1,EBC=3,且M、N分別為AB、CE的中點(diǎn).(1)證明:MN平面AED;(2)若BC=BE=2,求二面角E-AD-B的大小.9.(2020天津?qū)嶒?yàn)中學(xué)高一上期末,)如圖,在四棱錐P-ABCD中,AD平面PDC,ADBC,PDPB,AD=1,BC=3,CD=4,PD=2,(1)求證:PD平面PBC;(2)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值.10.(2020湖北武漢武昌高二月考,)如圖,直三棱柱ABC-A1B1C1中,底面是邊長為2的正三角形,側(cè)棱長為a,E為AB的中點(diǎn).(1)若a=1,證明B1E平面A1EC;(2)若a=2,求直線B1E與平面A1EC所成角的正弦值.答案全

5、解全析一、選擇題1.C將平面展開圖還原成正方體,如圖所示:對(duì)于,連接MB,易知MBCG,MBAF,AFCG,正確;對(duì)于,連接AC,易知MNAC,GAC是異面直線AG與MN所成的角,易知GAC為等邊三角形,GAC=60,正確;對(duì)于,連接BD,易知GBD為BG與平面ABCD所成的角,GBD45,錯(cuò)誤.故選C.2.C取AB的中點(diǎn)G,連接PG、CG,作CHPG,垂足為H,如圖所示,PA=PB=AB=2,PAB為等邊三角形.G為AB的中點(diǎn),PGAB,ABC為等腰直角三角形,ACB=90,CGAB,又PGCG=G,AB平面PCG,又CH平面PCG,ABCH.又CHPG,PGAB=G,CH平面PAB,即CH

6、就是點(diǎn)C到平面PAB的距離.在等邊三角形PAB中,PG=322=62,在RtABC中,CG=112=22,在PCG中,由余弦定理的推論可得cosPGC=PG2+CG2-PC22PGCG=622+222-(3)226222=-33,sinPGC=1cos 2PGC=1-332=63,在RtCHG中,CH=CGsin(-PGC)=2263=33,點(diǎn)C到平面PAB的距離為33.故選C.3.D設(shè)平面AD1E與直線BC交于點(diǎn)G,則G為BC的中點(diǎn),連接AG、EG,分別取B1B、B1C1的中點(diǎn)M、N,連接A1M、MN、A1N,則A1MD1E,MNEG.A1M平面D1AE,D1E平面D1AE,A1M平面D1A

7、E,同理可得MN平面D1AE.A1M、MN是平面A1MN內(nèi)的兩條相交直線,平面A1MN平面D1AE.A1F平面D1AE,F是線段MN上的動(dòng)點(diǎn).連接B1F,設(shè)直線A1F與平面BCC1B1所成的角為,當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)M(或N)重合時(shí),A1F與平面BCC1B1所成角等于A1MB1,此時(shí)所成角達(dá)到最小值,滿足tan =A1B1B1M=2.當(dāng)點(diǎn)F為MN的中點(diǎn)時(shí),A1F與平面BCC1B1所成角達(dá)到最大值,此時(shí)tan =A1B1B1F=A1B122B1M=22.t構(gòu)成的集合為t|2t22.4.AD在直三棱柱ABC-A1B1C1中,四邊形BCC1B1是矩形,因?yàn)镋CB1C=DCBC,所以EDBB1CC1,因?yàn)镋D平

8、面ACC1,CC1平面ACC1,所以ED平面ACC1,A項(xiàng)正確;因?yàn)锳A1=AC=23AB=2,所以AB=3,因?yàn)锳BAC,所以BC=22+32=13,所以B1C=13+4=17,易知B1C是三棱柱外接球的直徑,所以外接球的表面積為41722=17,故B錯(cuò)誤;AA1BB1,所以BB1C為異面直線B1C與AA1所成的角.在RtB1BC中,BB1=2,BC=13,所以tanBB1C=BCBB1=132,所以C錯(cuò)誤;過A作AFBC于F,由直三棱柱的定義可知AFCC1,因?yàn)镃C1BC=C,所以AF平面BCC1B1,過F作FGB1C于G,連接AG,則AGB1C,所以AGF是二面角A-EC-D的平面角.在

9、RtBAC中,可得AF=613,CF=413,因?yàn)閟inB1CB=217,所以FG=413217,所以AG=3613+641317,所以cosAGF=FGAG=4132173613+641317=413,所以D正確.故選AD.二、填空題5.答案223解析依題意可知,該幾何體為正四面體,設(shè)頂點(diǎn)A在底面內(nèi)的射影是O,則O為BCD的中心,連接OB,過P作PHOB,交OB于H,連接HE,如圖.易知PEH是直線EP與平面BCD所成的角,設(shè)為,設(shè)正四面體的棱長為4a,PB=x(0 x4a),在三角形PBE中,PBE=3,由余弦定理得PE=x2+a2-ax,在AOB中,AO=(4a)2-433a2=463a

10、,PHAO=x4a,解得PH=63x,sin =PHPE=63xx2+a2-ax=63ax-122+34,當(dāng)x=2a時(shí),sin 取得最大值,最大值為223.6.答案102解析如圖1,作C1DAB于D,C1O平面ABC于O,連接DO,AB平面ABC,C1OAB,又C1OC1D=C1,AB平面C1DO,又DO平面C1DO,ABDO,C1DO為等邊ABC和直角ABC1所在半平面構(gòu)成的二面角,即C1DO=60,又AC1B=90,C1AB=30,C1B=ABsin 30=1,C1D=C1Bsin 60=32,C1O=C1Dsin 60=34,DO=C1Dcos 60=34,BD=C1Bcos 60=12

11、,畫出底面ABC如圖2,分析可知:CO=ED2+(CE-OD)2=122+3342=314,CC1=C1O2+CO2=916+3116=102.圖1圖2三、解答題7.解析(1)證明:如圖,取BC的中點(diǎn)G,連接EG、AG,則EGDA,且EG=DA,四邊形ADEG為平行四邊形,DEAG.B1B平面ABC,AG平面ABC,B1BAG,AB=AC,且G為BC的中點(diǎn),BCAG,又B1BBC=B,AG平面BCC1B1,又DEAG,DE平面BCC1B1.(2)B1BAD,ADC就是直線B1B與直線CD所成的角,ADC=45,AD=AC=2.設(shè)點(diǎn)B到平面B1CD的距離為d,由VB-B1CD=VC-B1BD,可

12、得13d12226=1321242,解得d=433,故點(diǎn)B到平面B1CD的距離d=433.8.解析(1)證明:取DE的中點(diǎn)F,連接AF、FN,又N為BC的中點(diǎn),FNCD,FN=12CD.矩形ABCD中,M為AB的中點(diǎn),AMCD,AM=12CD,AMFN,AM=FN,四邊形AMNF為平行四邊形,AFMN.又AF平面AED,MN平面AED,MN平面AED.(2)過點(diǎn)E作EHBC于H,平面ABCD平面EBC,平面ABCD平面EBC=BC,EH平面ABCD,過H作HGAD于G,連接EG.AD平面ABCD,EHAD,又EHHG=H,AD平面EHG,EG平面EHG,ADEG,EGH即為二面角E-AD-B的

13、平面角.在RtEHB中,EH=EBsin 3=232=3,又HG=AB=1,tanEGH=EHHG=3,EGH=3,二面角E-AD-B的大小為3.9.解析(1)證明:AD平面PDC,PD平面PDC,ADPD,BCAD,PDBC,又PDPB,PBBC=B,PD平面PBC.(2)過點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F,連接PF,則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角.PD平面PBC,PF為DF在平面PBC上的射影,DFP為直線DF與平面PBC所成的角.ADBC,DFAB,四邊形DABF為平行四邊形,BF=AD=1.CF=BC-BF=2.ADDC,BCDC.在RtDCF中,可得DF=CD2+CF2=25.在RtDPF中,可得sinDFP=PDDF=55,直線AB與平面PBC所成角的正弦值為55.10.解析(1)證明:ABC是正三角形,E為AB的中點(diǎn),CEAB.三棱柱ABC-A1B1C1是直棱柱,平面ABB1A1平面ABC=AB,CE平面A1ABB1,CEB1E.四邊形A1ABB1是矩形,且AA1=1,AB=2,A1E2+B1E2=AE2+AA12+EB2+BB12=4=A1B12,A1EB1E.CEB1E,A1EB1E,CEA1E=E,B1E