新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第七章復(fù)數(shù)：7.1.2 復(fù)數(shù)的幾何意義

1、7.1.2復(fù)數(shù)的幾何意義 1.理解復(fù)數(shù)的幾何意義. 2.了解共軛復(fù)數(shù)的概念. 3.通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容,能借助幾何直觀理解復(fù)數(shù)的幾何意義,逐步形成直觀想象的核心素養(yǎng). 復(fù)平面 建立直角坐標(biāo)系來(lái)表示復(fù)數(shù)的平面叫做復(fù)平面,x軸叫做實(shí)軸,y軸叫做虛軸.顯然,實(shí)軸上的點(diǎn)都表示實(shí)數(shù);除了原點(diǎn)外,虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù). 復(fù)數(shù)的幾何意義 復(fù)數(shù)的模復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR,i為虛數(shù)單位)對(duì)應(yīng)的向量為,則向量的模叫做復(fù)數(shù)z=a+bi的?；蚪^對(duì)值,記作|z|或|a+bi|.即|z|=|a+bi|=,其中a,bR. 共軛復(fù)數(shù)一般地,當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等,虛部互為相反數(shù)時(shí),這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù).虛部不等于0的兩

2、個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù).復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示,即如果z=a+bi(a,bR),那么=a-bi(a,bR).1.在復(fù)平面內(nèi),虛軸上的點(diǎn)所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)都是純虛數(shù).()2.復(fù)數(shù)的模一定是正實(shí)數(shù).()3.兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等是這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的必要條件.()提示：兩個(gè)復(fù)數(shù)相等可以推出這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等,反之未必,因此結(jié)論正確.4.復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR,i為虛數(shù)單位)的模為a2+b2.()5.若兩個(gè)復(fù)數(shù)互為共軛復(fù)數(shù),則這兩個(gè)復(fù)數(shù)的模相等.()判斷正誤，正確的畫(huà)“” ，錯(cuò)誤的畫(huà)“ ” .提示：設(shè)z=a+bi(a,bR),則=a-bi,因此|z|=|=,因此結(jié)論正確. 復(fù)數(shù)幾何意義的應(yīng)用 1.利用復(fù)數(shù)與點(diǎn)

3、的對(duì)應(yīng)關(guān)系解題的步驟 (1)找對(duì)應(yīng)關(guān)系:復(fù)數(shù)z=a+bi(a,bR)可以用復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a,b)來(lái)表示,這是解決此類問(wèn)題的根據(jù). (2)列出關(guān)系式求解:根據(jù)題意,建立復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的關(guān)系式,進(jìn)而求解. 2.根據(jù)復(fù)數(shù)與平面向量的對(duì)應(yīng)關(guān)系,可知當(dāng)平面向量的起點(diǎn)在原點(diǎn)時(shí),向量的終點(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)即為向量對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).反之,復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)確定后,從原點(diǎn)引出的指向該點(diǎn)的有向線段,即為復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量. 3.解決復(fù)數(shù)與平面向量一一對(duì)應(yīng)的問(wèn)題時(shí),一般以復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對(duì)應(yīng)為工具,實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)、復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)、向量之間的轉(zhuǎn)化.復(fù)數(shù)z1=3+4i,z2=0,z3=c+(2c-6)i在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別為A,B

4、,C,若BAC是直角,求實(shí)數(shù)c的值.思路點(diǎn)撥由已知得出A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo),再根據(jù)BAC是直角,利用向量垂直的充要條件建立方程,從而求出c的值.解析在復(fù)平面內(nèi),A,B,C三點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(3,4),(0,0),(c,2c-6),則=(-3,-4),=(c-3,2c-10).由BAC是直角,得,所以=0,即-3(c-3)-4(2c-10)=0,解得c=.故實(shí)數(shù)c的值為.已知i為虛數(shù)單位,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)i,1,4+2i對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別是A,B,C.求平行四邊形ABCD的頂點(diǎn)D所對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù).思路點(diǎn)撥根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義將復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)(或向量)表示出來(lái),然后依據(jù)平行四邊形的性質(zhì)求解.解析解法一:由復(fù)數(shù)的幾

5、何意義得A(0,1),B(1,0),C(4,2),則AC的中點(diǎn)坐標(biāo)為,由平行四邊形的性質(zhì)知,該點(diǎn)也是BD的中點(diǎn),設(shè)D(x,y),則解得即點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,3),點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+3i.解法二:由復(fù)數(shù)的幾何意義得A(0,1),B(1,0),C(4,2),設(shè)D(x,y),則=(1,-1),=(4-x,2-y).四邊形ABCD是平行四邊形,=,解得點(diǎn)D的坐標(biāo)為(3,3),點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+3i.解法三:由已知得=(0,1),=(1,0),=(4,2),=(-1,1),=(3,2),=+=(2,3),=+=(3,3),點(diǎn)D對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)為3+3i. 復(fù)數(shù)模的范圍(或最值)問(wèn)題 求解關(guān)于復(fù)數(shù)模的范圍(或

6、最值)問(wèn)題的兩種方法 1.轉(zhuǎn)化為函數(shù)式:將z=x+yi(x,yR)直接代入要求的式子中去,把要求的模用關(guān)于x,y的式子表示出來(lái),轉(zhuǎn)化為函數(shù)求范圍(或最值)的問(wèn)題. 2.數(shù)形結(jié)合:因?yàn)閺?fù)數(shù)與圖形有著密切的關(guān)系,所以可以利用這種關(guān)系將所給條件轉(zhuǎn)化為圖形,直觀地得出最值.已知zC,i為虛數(shù)單位,且|z|=1,則|z-2|的最小值為(A)A.1B.2C.D.0思路點(diǎn)撥設(shè)z=x+yi(x,yR),把|z-2|表示成關(guān)于x的式子,然后求其最小值.解析設(shè)z=x+yi(x,yR),因?yàn)閨z|=1,所以x2+y2=1,-1x1,-1y1,易得|z-2|=|x-2+yi|=,因?yàn)?1x1,所以的最小值為1,即|z-2|的最小值為1.答案A已知z1=+i,z2=2+i,設(shè)zC,在復(fù)平面內(nèi)z對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為Z,求滿足條件|z1|z|z2|的點(diǎn)Z的集合表示