新人教版高中數(shù)學(xué)必修第二冊(cè)第八章立體幾何初步：8.5.2 直線與平面平行

1、8.5.2直線與平面平行 通過(guò)學(xué)習(xí)本節(jié)內(nèi)容,能從定義和基本事實(shí)出發(fā),借助長(zhǎng)方體抽象出直線與平面平行的判定與性質(zhì),逐步培養(yǎng)邏輯推理、直觀想象等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng).學(xué)習(xí)時(shí)還應(yīng)掌握以下幾點(diǎn): 1.通過(guò)直觀感知、操作確認(rèn),歸納出直線與平面平行的判定定理. 2.掌握直線與平面平行的判定定理,并能利用定理解決問(wèn)題. 3.掌握直線與平面平行的性質(zhì)定理,明確由線面平行可推出線線平行. 直線與平面平行的判定定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言如果平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行,那么該直線與此平面平行(簡(jiǎn)記為線線平行線面平行)l 直線與平面平行的性質(zhì)定理文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言一條直線與一個(gè)平面平行,如果過(guò)該直線的平面

2、與此平面相交,那么該直線與交線平行(簡(jiǎn)記為線面平行線線平行) ab1.直線l上有無(wú)數(shù)個(gè)點(diǎn)不在平面內(nèi),則l.()2.兩條平行線中的一條直線與一個(gè)平面平行,那么另一條也與這個(gè)平面平行.()3.直線a平面,平面內(nèi)有n條直線相交于一點(diǎn),則這n條直線中與a平行的有且只有一條.()提示：過(guò)n條直線的交點(diǎn)和直線a作平面,設(shè)平面與平面交于直線b,則ab.若所給n條直線中有與b重合的,則與直線a平行的直線有1條,若沒(méi)有與b重合的,則與直線a平行的直線有0條.判斷正誤，正確的畫(huà)“” ，錯(cuò)誤的畫(huà)“ ” .4.若直線l平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,則l. ()提示：當(dāng)l時(shí),l也可以平行于平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線,此時(shí)l與不平行

3、.5.梯形ABCD中,ABCD,AB平面,CD平面,則直線CD與平面內(nèi)的任意直線平行.()提示：由題意,得CD,則平面內(nèi)的直線與CD可能平行,也可能異面. 如何證明直線與平面平行 如圖所示的一塊木料中,已知棱BC平行于平面AC. 1.要經(jīng)過(guò)木料表面ABCD內(nèi)的一點(diǎn)P和棱BC將木料鋸開(kāi),應(yīng)怎樣畫(huà)線?提示:BC平面AC,平面BC經(jīng)過(guò)BC且與平面AC交于BC,BCBC.經(jīng)過(guò)點(diǎn)P,在平面AC上作線段EFBC,且EF與AB交于點(diǎn)E,與CD交于點(diǎn)F,那么EFBC.連接BE和CF,則BE,CF和EF就是所要畫(huà)的線.2.所畫(huà)的線和平面AC有什么關(guān)系?提示:EFBC,EF平面AC,BC平面AC,EF平面AC.而

4、BE,CF顯然都和平面AC相交. 利用直線與平面平行的判定定理證明線面平行的步驟 如圖,在三棱臺(tái)DEF-ABC中,AB=2DE,G,H分別為AC,BC的中點(diǎn).求證:BD平面FGH.證明連接DG,CD,設(shè)CDGF=O,連接OH.在三棱臺(tái)DEF-ABC中,G為AC的中點(diǎn),DFGC,DF=GC,四邊形DFCG為平行四邊形,O為CD的中點(diǎn),又H為BC的中點(diǎn),OHBD,OH平面FGH,BD平面FGH,BD平面FGH.如圖1,在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,點(diǎn)E在線段BC上,BE=2EC,BAE沿AE翻折至圖2中B1AE的位置,B1平面AECD,連接B1D,點(diǎn)F在線段DB1上,DF=2FB1.證明:

5、CF平面B1AE. 證明在矩形ABCD中,AB=2,BC=3,BE=2EC,AD=3,EC=1.在線段B1A上取一點(diǎn)M,使得AM=2MB1,連接ME,MF.DF=2FB1,=,FMAD,且FM=AD=EC=1.又ECAD,ECFM,四邊形FMEC為平行四邊形,CFEM,CF平面B1AE,EM平面B1AE,CF平面B1AE.思路點(diǎn)撥構(gòu)造平行四邊形得到線線平行,進(jìn)而證明線面平行. 線面平行中的探索性問(wèn)題 如圖所示,在三棱柱ABC-A1B1C1中,D,E分別是線段BC,CC1的中點(diǎn). 1.在線段AB上是否存在一點(diǎn)M,使直線DE平面A1MC?提示:存在點(diǎn)M,使直線DE平面A1MC.2.在問(wèn)題1中,若存

6、在點(diǎn)M,M點(diǎn)在什么位置?提示:M為線段AB的中點(diǎn).3.證明你的結(jié)論.提示:如圖,取線段AB的中點(diǎn)M,連接A1M,MC,A1C,AC1,設(shè)O為A1C與AC1的交點(diǎn),則O為AC1的中點(diǎn).連接MD,OE,則MD,OE分別為ABC,ACC1的中位線,所以MDAC,且MD=AC,OEAC,且OE=AC,因此MDOE.連接OM,從而四邊形MDEO為平行四邊形,則DEMO.因?yàn)橹本€DE平面A1MC,MO平面A1MC,所以直線DE平面A1MC.所以線段AB上存在一點(diǎn)M(線段AB的中點(diǎn)),使直線DE平面A1MC. 1.平行關(guān)系的探索性問(wèn)題經(jīng)常是在一條直線上確定是否存在某點(diǎn),使過(guò)該點(diǎn)的直線(或平面)平行于一個(gè)固定平面(或直線),求解此類問(wèn)題要注意逆向推理,也要注意線面平行的性質(zhì)定理和判定定理的交替使用. 2.解決與線面平行有關(guān)的探究性問(wèn)題時(shí),一般是假設(shè)存在某點(diǎn)滿足題意,根據(jù)結(jié)論逆向推理判斷是否存在,或確定點(diǎn)的位置.如圖,在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別是AB,CC1的中點(diǎn).問(wèn):棱CD上是否存在點(diǎn)T,使AT平面B1EF?若存在,求出的值;若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由.解析存在.在棱CD上取點(diǎn)T,使得DT=DC,此時(shí)AT平面B1EF.證明如下:延長(zhǎng)BC,B1F,交于H,連接EH,交DC于點(diǎn)K,CC1BB1,F為CC1的中點(diǎn),C是B