線性代數(shù)行列式的性質(zhì)與計算課件

1、 將行列式D的行與列互換后得到的行列式稱為D的轉(zhuǎn)置行列式，記為DT (Transpose)或D .即如果2.1 行列式的性質(zhì)a11a21an1 a12a22an2 a1na2nann D =，a11a12a1n a21a22a2n an1an2ann DT =則.第2節(jié) 行列式的性質(zhì)與計算顯然，( DT )T=D .下頁行列式的轉(zhuǎn)置性質(zhì)3 用數(shù)k乘以行列式的某一行(列)，等于用數(shù)k乘以此行列式.a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann =k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann 性質(zhì)1 行列式與它的轉(zhuǎn)置行列式相等，即D =DT.推論1 如果行列式的

2、某一行(列)的元素全為零，則D0.性質(zhì)2 互換行列式的兩行(列)，行列式的值變號.推論 如果行列式D中有兩行(列)的元素相同，則D=0. 推論2 如果D中有兩行(列)對應(yīng)元素成比例，則D=0.下頁 性質(zhì)4 若行列式中的某一行(列)的元素都是兩數(shù)之和，則此行列式可以寫成兩個行列式之和.即a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nain+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann = 性質(zhì)5 將行列式的某一行(列)的所有元素同乘以數(shù)k后加到另一行(列)對應(yīng)位置的元素上，行列式的值不變.即a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11a

3、i1+kaj1an1a12ai2+kaj2an2a1nain+kajnann=.+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .下頁行列式的計算要點(diǎn)：利用性質(zhì)將其化為上三角行列式，再進(jìn)行計算.下頁為表述方便，引入下列記號 (行用r，列用c) ：以數(shù)k0乘以行列式的第i行，用kri表示；以數(shù)k乘以行列式的第i行加到第j行，用rj+kri表示.交換行列式的第i行與第j行，用表示；（換法變換）（倍法變換）（消法變換）思考：這三種變換的結(jié)果分別是什么？例1. 計算行列式解：= -85.下頁例2. 計算行列式解:下頁例3. 計算行列式解： 將各行都加到第一行，從第一行提取 x+(n-1)

4、a 得下頁解：例4. 計算行列式下頁一、余子式與代數(shù)余子式 定義5 在n階行列式D=|aij|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n-1階行列式，稱為D中元素aij 的余子式，記作Mij.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 例如，求4階行列式中a32的代數(shù)余子式a11a21a41 a13a23a43 a14a24a44 M32 A32 (-1)3+2M32= -M32令A(yù)ij(1)ijMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.2.2 行列式按行(列)展開下頁 一、余子式與代數(shù)余子式 定義5 在n行列式D=|ai

5、j|中去掉元素a i j 所在的第i行和第j列后,余下的n-1階行列式，稱為D中元素aij 的余子式，記作Mij.令A(yù)ij(1)ijMij，Aij稱為元素aij的代數(shù)余子式.a11a21a31a41 a12a22a32a42 a13a23a33a43 a14a24a34a44 再如，求4階行列式中a13的代數(shù)余子式a21a31a41 a22a32a42 a24a34a44 M13 A13 (-1)1+3M13= M13下頁2.2 行列式按行(列)展開 定理4 n階行列式D=|aij|等于它的任意一行(列)的各元素與其對應(yīng)的代數(shù)余子式乘積的和.即 定理5 n階行列式D=|aij|的某一行(列)的

6、元素與另一行(列)的對應(yīng)元素的代數(shù)余子式乘積的和等于零.即Dai1Ai1 ai2Ai2 ainAin (i=1, 2, , n)，Da1jA1j a2jA2j anj Anj (j=1, 2, , n).ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 0 (i j)，a1iA1ja2iA2j ani Anj 0 (i j).二、展開定理下頁 例1分別按第一行與第二列展開行列式11-2013-231D = 解：按第一行展開13311-2311-213a11A11a12A12a13A13 D=1(-1)1+1+0(-1)1+2(-1)1+3+(-2)=1(-8)+0+(-2)5=-18.三、利用展開定理

7、計算行列式下頁按第二列展開1-2311-2-2111-23 =0+1(-3)+3(-1)5=-3-15=-18 . 例1分別按第一行與第二列展開行列式11-2013-231D = 解：按第一行展開a11A11a12A12a1nA1n D=1(-8)+0+(-2)5=-18.(-1)3+2+3(-1)2+2+1(-1)1+2=0a12A12a22A22a32A32 D下頁解：將某行(列)化為一個非零元后展開例2計算行列式 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =(-1)(-1)3+2 7 1 4 7 -2 -5 1 1 2 6 0 2 9 0 -1 1 1 2=

8、1(-1)2+2 692-1=-6-18=-24. 7 0 1 4 7 0 -2 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2 1 2 3 4 1 2 0 -5 3 -1 -1 0 1 0 1 2D =下頁例3. 計算行列式解：下頁, ( D2=5 )解：例4. 計算行列式下頁證明：從最后一行起每一行加上前一行的(-a1)倍，得例5. 證明范得蒙（Vandermonde）行列式下頁下頁下頁由此推得 ， 即 下頁例如 n = 4 時D4 =下頁范得蒙（Vandermonde）行列式下頁注意：j=1,2,n有且僅有一個解第3節(jié) 克萊姆法則定理6 含有n個未知量n個方程的線性方程組當(dāng)其系數(shù)行列式時 其中

9、，Dj是把系數(shù)行列式D的第j列換為方程組的常數(shù)列 b1,b2,bn所得到的n階行列式（j=1,2,n）. 下頁例1. 解線性方程組 下頁解: 方程組的系數(shù)行列式 故方程組有唯一解. 適用條件 未知數(shù)的個數(shù) = 方程的個數(shù)； 系數(shù)行列式D0.解: 方程組的系數(shù)行列式 故方程組有唯一解. 而故方程組的解為 下頁推論（定理6之逆否命題） 含有n個未知量n個方程的線性方程組 如果無解或非唯一解, 則系數(shù)行列式D=0. 例2. 解線性方程組 下頁顯然，此方程組無解. 其系數(shù)行列式為定理7 （齊次線性方程組） 含有n個未知量n個方程的線性方程組當(dāng)其系數(shù)行列式時 方程組只有零解, 而沒有非零解. 下頁 推論

10、 若齊次線性方程有非零解，則必有系數(shù)行列式 .例3. 取何值時，下列方程組只有零解? 解：因為所以，當(dāng)D0，即 5， 2 且 8 時，方程組只有零解.下頁由對角線記憶法得l+2 0l+2 3 6 l+5 -3l-4 -3= (l+2) 1 0 1 3 6 l+5 -3l-4 -3=(l+2)2(l-4) 作業(yè)： 21頁 4 (3)(4) 22頁 5(4) 6 (2)(4) 23頁 9,10(1) 結(jié)束 a11kai1an1 a12kai2an2 a1nkainann =k.a11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11ai1+bi1an1a12ai2+bi2an2a1nai

11、n+binanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann =+a11bi1an1 a12bi2an2 a1nbinann .a11ai1+kaj1an1a12ai2+kaj2an2a1nain+kajnanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann a11kaj1an1a12kaj2an2a1nkajnanna11ai1an1 a12ai2an2 a1nainann ai1Aj1 ai2Aj2 ainAjn 例2. 計算行列式解：下頁第2章 向量與矩陣2 矩陣的概念與運(yùn)算下頁1 向量的概念與運(yùn)算3 逆矩陣4 分塊矩陣5 矩陣的初等變換與初等矩陣6 矩陣的秩7

12、 向量組的線性相關(guān)性8 向量組的正交化第1節(jié) 向量的概念與運(yùn)算 定義1 n個數(shù)a1，a2， ，an組成的有序數(shù)組 (a1, a2, , an)，稱為n維向量，記為a，其中a i (i=1,2,n)叫做向量的第i個分量. a=(a1, a2, , an)，a1a2an. a=寫成列的形式，稱為列向量，記為n維向量寫成行的形式，稱為行向量，記為下頁1.1 向量的概念下頁 (-a1, -a2, , -an)T，為向量a的負(fù)向量，記作 - a .稱向量 (0, 0, , 0)T為零向量，記作O .稱向量如果向量a=(a1, a2, , an)T與向量b=(b1, b2, , bn)T都是n維向量，且對

13、應(yīng)的分量都相等，則稱它們相等，記作ab.a1a2an a=本教材約定向量的形式為列向量，即或記做 a =(a1, a2, , an)T向量滿足以下8條運(yùn)算規(guī)律(設(shè)a、b、g都是n維向量，k、l為實數(shù)): (1)a +b =b +a (2)a +(b +g )=(a +b ) +g (3)a +O =a (4)a +(-a) =O(5)(k+l)a=ka +la(6)k(a +b)=ka + kb(7)(kl)a= k(la)(8)1a=a 1.2 向量的運(yùn)算定義2 設(shè) ,則（1） （2） （k為常數(shù)）下頁向量的加法向量的數(shù)乘下頁向量的減法設(shè)a、b都是n維向量，利用負(fù)向量可定義向量的減法為: a

14、 - b ,即對應(yīng)分量相減.= a + (- b )例1設(shè)解：解：a+2g+(-a)=b+(-a) ；兩邊加a 的負(fù)向量a+(-a) +2g =b+(-a) ；交換律O+2g =b-a ；性質(zhì)4a+(-a) +2g =b-a ；約定（減法）2g =b-a ；性質(zhì)3*2g = *(b-a) ；數(shù)乘運(yùn)算1g = *(b-a) ；恒等變換g = *(b-a) ；性質(zhì)8下頁例2設(shè)說明：實際運(yùn)算時，一般給出主要步驟即可，但應(yīng)注意與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別.(計算結(jié)果，略.)定義3 設(shè)a=(a1, a2, , an )T與b=(b1, b2, , bn )T是兩個n維向量，則實數(shù)稱為向量a和b的內(nèi)積，記為(a ,

15、b )，或aT b.向量的內(nèi)積 例如，設(shè)a=(-1, 1, 0, 2)T，b=(2, 0, -1, 3)T , 則a與b 的內(nèi)積為(a , b ) =(-1)2+10+0(-1)+23=4 .下頁內(nèi)積的性質(zhì) 設(shè)a，b，g為Rn中的任意向量，k為常數(shù). (1) ( a,b ) =(b,a ) ； (2) (ka,b ) = k ( a,b ) ； (3) (a+b,g ) = ( a,g ) + ( b, g ) ； (4) ( a,a ) 0，當(dāng)且僅當(dāng)a=o時，有( a,a ) =0 .下頁向量的長度定義4 對于向量a=(a1, a2, , an )T，其長度(或模)為 例如，向量a=(-1,

16、 2, 0, 2)T的長度為向量長度的性質(zhì)（了解）下頁 長度為1的向量稱為單位向量. 向量的單位化（標(biāo)準(zhǔn)化）下頁 例4n維單位向量組e1，e2，en，是兩兩正交的：(ei ,ej ) =0 (ij) . 例3零向量與任意向量的內(nèi)積為零，因此零向量與任意向量正交.定義5 如果向量a與b為非零向量，它們的夾角 定義為： 若(a ,b )=0，則稱向量a與b互相正交(垂直), .下頁 定義6 如果m個非零向量組 a1，a2，am兩兩正交，即 (ai ,aj )=0(ij)，則稱該向量組為正交向量組. 如果正交向量組a1，a2，am的每一個向量都是單位向量，則稱該向量組為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.下頁 顯然,例

17、4中n維單位向量組e1，e2，en為標(biāo)準(zhǔn)正交向量組.標(biāo)準(zhǔn)正交向量組 在某些問題中，存在若干個具有相同長度的有序數(shù)組.比如線性方程組的每個方程對應(yīng)一個有序數(shù)組：a11x1 + a12x2 + + a1nxn =b1a21x1 + a22x2 + + a2nxn =b2am1x1+ am2x2 + + amnxn =bm (a11 a12 a1n b1) (a21 a22 a2n b2)(am1 am2 amn bm)這些有序數(shù)組可以構(gòu)成一個表a11 a12 a1n b1 a21 a22 a2n b2am1 am2 amn bm這個表就稱為矩陣.2.1 矩陣的概念下頁第2節(jié) 矩陣的概念與運(yùn)算其中

18、aij 稱為矩陣的第 i 行第 j 列的元素. 一般情況下，我們用大寫字母 A，B，C 等表示矩陣.mn矩陣A簡記為 A(aij)mn 或記作 Amn .a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amn定義1 由 mn 個數(shù) aij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)排成一個 m 行 n 列的矩形表稱為一個 mn 矩陣，記作下頁 如果矩陣A與B的行數(shù)相等，列數(shù)也相等，則稱A與B是 同型矩陣或同階矩陣。 零矩陣 所有元素均為0的矩陣稱為零矩陣，記為O.行矩陣與列矩陣 只有一行的矩陣稱為行矩陣，只有一列的矩陣稱為列矩陣.常用小寫黑體字母 a，b，x，y 等表示.例如

19、a=(a1 a 2 an)， b1b2bm b =.負(fù)矩陣-a11 -a12 -a1n -a21 -a22 -a2n -am1 -am2 -amn稱矩陣為A的負(fù)矩陣,記作 A.下頁b11b21 bn10b22bn2 00bnnB=.A=.a11 a12 a1n 0 a22 a2n 0 0 ann 如下形式的 n 階矩陣稱為上三角形矩陣.三角形矩陣 如下形式的 n 階矩陣稱為下三角形矩陣.方陣 若矩陣 A 的行數(shù)與列數(shù)都等于 n，則稱 A 為 n 階矩陣，或稱為 n 階方陣.下頁注意：區(qū)別方陣與行列式數(shù)表數(shù)值a110 00a220 00annA= .對角矩陣 如下形式的 n 階矩陣稱為對角矩陣.

20、 對角矩陣可簡單地記為A=diag(a11, a22, , ann) . 單位矩陣 如下形式的 n 階矩陣稱為單位矩陣，記為 En 或 E.10 0010 001E = . 定義2 矩陣相等：設(shè)A(aij)，B(bij)為同階矩陣，如果aijbij(i1, 2, , m；j1, 2, , n)，則稱矩陣A與矩陣B 相等，記作AB .下頁2.2 矩陣的運(yùn)算 定義1 設(shè)A與B為兩個mn矩陣ABa11+b11 a12+b12 a1n+b1n a21+b21 a22+b22 a2n+b2n am1+bm1 am2+bm2 amn+bmn=.a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2

21、 amnA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bm1 bm2 bmnB=， A與B對應(yīng)位置元素相加得到的mn矩陣稱為矩陣A與B的和，記為AB.即C=A+B .下頁2.2.1矩陣的加法 例1設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，則3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A+B=1 3 2 02 1 5 70 6 4 8+3+1 5+3 7+2 2+02+2 0+1 4+5 3+70+0 1+6 2+4 3+8=4 8 9 24 1 9 100 7 6 11.=矩陣的加法：設(shè)A(aij)mn與B(bij)mn，則A

22、+B= (aij+bij)mn。下頁 設(shè)A,B,C都是mn矩陣.容易證明，矩陣的加法滿足如下運(yùn)算規(guī)律： （1）交換律： A+B=B+A;（2）結(jié)合律：(A+B)+C=A+(B+C); （3）A+O=A，其中O是與A同型的零矩陣; 矩陣的減法可定義為: 顯然：若A=B，則A+C=B+C，A-C=B-C； 若A+C=B+C，則A=B.（4）A+(-A)=O，其中O是與A同型的零矩陣. 下頁a11 a12 a1n a21 a22 a2n am1 am2 amnA=， 定義2 設(shè)A(aij)為mn矩陣則以數(shù)k乘矩陣A的每一個元素所得到的mn矩陣稱為數(shù)k與矩陣A的數(shù)量乘積，記為kA.即ka11 ka12

23、 ka1n ka21 ka22 ka2n kam1 kam2 kamnkA=.2.2.2 數(shù)與矩陣的數(shù)法下頁矩陣的數(shù)乘： 設(shè)A(aij)mn ，則kA=(kaij)mn . 例2設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，則3A3 5 7 22 0 4 30 1 2 3 = 333 35 37 3232 30 34 3330 31 32 33 = 9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = .下頁(5) k(AB)kAkB；(6) (kl)AkAlA ；(7) (kl)Ak(lA)；(8) 1A=A . 設(shè)A，B，C，O都是mn矩陣，k，l為常數(shù)，則矩陣數(shù)乘的性質(zhì)性質(zhì)(1)-

24、(8)，稱為矩陣線性運(yùn)算的8條性質(zhì)，須熟記.下頁 例3設(shè)3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，求3A-2B . 解：3A-2B 3 5 7 22 0 4 30 1 2 3= 31 3 2 02 1 5 70 6 4 8-22 6 4 04 2 10 140 12 8 16-9 15 21 66 0 12 90 3 6 9 = .7 9 17 62 -2 2 -50 -9 -2 -7=9-2 15-6 21-4 6-06-4 0-2 12-10 9-140-0 3-12 6-8 9-16 = 下頁 例4已知3 5 7 22 0 4

25、30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，且A+2X=B，求X . 解：A+2X+(-A)=B+(-A) ；兩邊加A 的負(fù)矩陣A+(-A) +2X =B+(-A) ；交換律O+2X =B-A ；性質(zhì)4A+(-A) +2X =B-A ；約定（減法）2X =B-A ；性質(zhì)3*2X = *(B-A) ；數(shù)乘運(yùn)算1X = *(B-A) ；恒等變換X = *(B-A) ；性質(zhì)8下頁從而得 X = *(B-A) 例4已知3 5 7 22 0 4 30 1 2 3A= ，1 3 2 02 1 5 70 6 4 8B = ，且A+2X=B，求X . 說明：實際運(yùn)算時，一般給出

26、主要步驟即可，但應(yīng)注意與數(shù)的運(yùn)算的區(qū)別.解：下頁 定義3 設(shè)A是一個ms矩陣，B是一個sn矩陣：構(gòu)成的mn矩陣C 稱為矩陣 A 與矩陣 B 的積，記為CAB . 則由元素 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j1, 2, , n) a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsA=，b11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnB=，c11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmnAB=.即2.2.3 矩陣的乘法 下頁 cijai1b1jai2b2j aisbsj (i1, 2, , m；j

27、1, 2, , n) . a11 a12 a1s a21 a22 a2s am1 am2 amsb11 b12 b1n b21 b22 b2n bs1 bs2 bsnc11 c12 c1n c21 c22 c2n cm1 cm2 cmn= ai1b1jai2b2j aisbsj .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj 注： A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義; C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù). 因此， cij 可表示為 A 的第 i 行與 B 的第 j 列的乘積.矩陣的乘法cij下頁下頁 ai1b1jai2b2j aisbsj .(ai1 ai2 ais )b1jb2jbsj

28、 注： A的列數(shù)等于B的行數(shù)，AB才有意義; C的行數(shù)等于A的行數(shù)，列數(shù)等于B的列數(shù). 因此， cij 可表示為 A 的第 i 行與 B 的第 j 列的乘積.cij反例設(shè)B = . 1 -2 -32 -1 0A= ，0 10 -11 21 51 -2 -32 -1 0則 AB= 0 10 -11 21 5= 無意義.B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78（1）先行后列法B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -

29、23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-3（1）先行后列法B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-9-7-35（1）先行后列法下頁B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-3

30、8-70-7（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=5-38-70-7-6-9-3（2）先列后行法B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 02 31 -23 11 -2 -32 -1 0BA=4-983 解：2 31 -23 11 -2 -32 -1 0AB=-6-78-30-9-7-35；通常采用：先行后列法下頁 例6設(shè)A= ，4-2-21B= ，求AB及BA . 4 2-6-3AB=4-2-214 2-6-3 解：-32

31、 -16168=BA=4-2-214 2-6-30 000=B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.下頁 例6設(shè)A= ，4-2-21B= ，求AB及BA . 4 2-6-3AB= 解：-32 -16168，BA=0 000B = ，求AB及BA . A= ， 例5設(shè)2 31 -23 11 -2 -32 -1 0 解：AB=-6-78-30-9-7-35,BA=4-983.顯然，1)矩陣乘法一般不滿足交換律，即ABBA ; 2)兩個非零矩陣相乘，乘積可能是零矩陣， 從而不能從AB=O，

32、推出A=O或B=O .下頁1110 例7設(shè)A= ，B= ，求AB及BA . 2110 解：11102110AB=3110=21101110BA=3110= 顯然AB=BA . 如果兩矩陣A與B相乘，有AB=BA，則稱矩陣A與矩陣B可交換.下頁顯然AC=BC，但AB .矩陣乘法不滿足消去律.下頁 例8設(shè)例10.1 0 00 0 00 0 1設(shè)A =則AA =1 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 11 0 00 0 00 0 1= A .顯然AA=A，但AE，A O . 下頁例9 對于任意矩陣A,B及相應(yīng)的單位矩陣E,有EA=A,BE=B. 對于任意矩陣A,B及相應(yīng)的零矩陣O，

33、有AO=O， OB=O.a11x1+a12x2+ +a1nxn =b1a21x1+a22x2+ +a2nxn =b2am1x1+am2x2+ +amnxn=bm x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm =例11. 線性方程組的矩陣表示（矩陣方程）簡記為： AX=B .x1x2xn a11 a12 a1n a21 a22 a2nam1 am2 amnb1b2bm 其中，A=，X=，B=下頁應(yīng)注意的問題 (1) ABBA ； (3) AB=OA=O或B=O ； / (2) AC=BCA=B； / 矩陣乘法的性質(zhì)方陣的冪 對于方陣A及自然數(shù)k Ak=AA A (k個A相乘)，稱為方陣A的k次冪. 方陣的冪有下列性質(zhì)： (1)ArAs=Ar+s； (2) (Ar)s=Ars . (4) AA=AA=E或A=O . / (1