博士計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)試題

1、-計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)博士研究生入學(xué)試題（A ）解答一、簡(jiǎn)答題1、指出穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤和穩(wěn)健t 統(tǒng)計(jì)量的適用條件。答：穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤和穩(wěn)健t 統(tǒng)計(jì)量的適用條件是樣本容量較大的的場(chǎng)合。在大樣本容量的情況下，一般在橫截面數(shù)據(jù)分析中總是報(bào)告穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。在小樣本情況下，穩(wěn)健t 統(tǒng)計(jì)量不那么接近t 分布，從而可能導(dǎo)致推斷失誤。2、若回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)可能存在q （ q1 ）階自相關(guān)，應(yīng)采用什么檢驗(yàn)？其檢驗(yàn)過(guò)程和檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量是什么？答 ： 如 果 模 型 ： yt01 x1t2 x2tptt的 誤 差 項(xiàng) 滿 足 ：t1t 12t 2qt qvt ，其中vt 是白噪聲。原假設(shè)H 0 :10 ,20 ,，q0那么，以下兩種回答

2、都可以。1）、(1).yt 對(duì)x1t, x2t ,x pt (t1,2,T )做OLS 回歸,求出 OLS 殘差?t ；(2).?t對(duì)x1t,x2 t,x pt,?t 1 ,?t 2 ,，?t q做 OLS回 歸 ,(tq1, q2,T ), 得到R 2 ；(3).計(jì)算 (2) 中的?t 1 , ?t2 ,，?t q 聯(lián)合 F 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。若F 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量大于臨界值， 則判定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)存在q（ q1 ）階自相關(guān)；否則，則判定判定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)不存在 q （ q1 ）階自相關(guān)。2）、 完成了 1）中的（ 1 ）、（ 2）兩步以后，運(yùn)用布勞殊戈弗雷檢驗(yàn)（ Bresch Goldfe

3、ry test） LMTq R2，由于它在原2假設(shè) H 0 成立時(shí)漸近服從?分布。當(dāng) LM大于臨界值，q2則判定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)存在q （ q1 ）階自相關(guān)；否則，判定回歸模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)不存在q （ q1 ）階自相關(guān)。3、謬誤回歸的主要癥狀是什么？檢驗(yàn)謬誤回歸的方法主要有哪些？在回歸中使用非平穩(wěn)的時(shí)間序列必定會(huì)產(chǎn)生偽回歸嗎？答：格蘭杰（ Granger）和紐博爾德（Newbold）認(rèn)為在用時(shí)間序列數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸估計(jì)時(shí)，如果R2 在數(shù)值上大于德賓沃特森統(tǒng)計(jì)量，則我們應(yīng)當(dāng)懷疑有謬誤回歸存在。檢驗(yàn)謬誤回歸的方法主要是用DF 和 ADF 檢驗(yàn)考察回歸的殘差是否服從 I(0) ，進(jìn)而判定變量之間的關(guān)

4、系是否為協(xié)積的，從而檢驗(yàn)出謬誤回歸的存在性。回歸中使用非平穩(wěn)的時(shí)間序列不一定會(huì)產(chǎn)生謬誤回歸，比如兩個(gè)協(xié)積的變量，雖然它們可以非平穩(wěn)，但是不會(huì)產(chǎn)生謬誤回歸。4 、一般的幾何滯后分布模型具有形式：yt1xt it ，i2i 0Et0 ，c o v t ,st ,s ，01。如何對(duì)這類模型進(jìn)行估計(jì)，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量？答：對(duì)一般的幾何滯后分布模型yt011i 0ixt it ，有限的觀測(cè)不可能估計(jì)無(wú)限的參數(shù)。為此，必須對(duì)模型形式進(jìn)行變換：注意到：yt 101i1xt i 1i 0t 1 ， 從而：yt1yt 101xtt1t 1yt01xt1yt 1t1t 1由于 yt 1 與 t 1

5、 相關(guān)，所以該模型不能用OLS 方法進(jìn)行估計(jì)，必須采用諸如工具變量等方法進(jìn)行估計(jì)，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計(jì)量。5、假定我們要估計(jì)一元線性回歸模型：ytxtt ，Et0 ，c o vt ,s2t ,s但是擔(dān)心xt 可能會(huì)有測(cè)量誤差， 即實(shí)際得到的xt 可能是xtxtt ， t是白噪聲。如果已經(jīng)知道存在與xt 相關(guān)但與t 和 t 不相關(guān)的工具變量 zt ，如何檢驗(yàn)xt 是否存在測(cè)量誤差？答：已知存在與xt 相關(guān)但與t 和 t 不相關(guān)的工具變量zt ，用最小二乘法估計(jì)模型xta0a1 ztvt ，得到殘差v?txta?0a?1 zt。把殘差?t 作為解釋變量放入回歸方程ytxtv?tut ，用

6、最小二乘法估計(jì)這個(gè)人工回歸，對(duì)顯著性假設(shè)運(yùn)用通常的t檢驗(yàn)。H 0 ：0（H 1 ：0（xt 與 t 之間沒(méi)有相關(guān)性）xt 與 t 之間有相關(guān)性）注 意 ， 由 ytxtv?tut可 推 得 ytxtv?tut， 即 ：tv?tut 。利用對(duì)ytxtt 所做回歸得到的殘差?t 替代t ，對(duì)系數(shù)作 OLS估計(jì)，當(dāng) t檢驗(yàn)顯著時(shí)就表明誤差。否則就沒(méi)有。xt 與 t 之間有相關(guān)性，即xt 存在測(cè)量6、考慮一個(gè)單變量平穩(wěn)過(guò)程（ 1） 這里，tIID 0,yt02以及1 yt 110 xt1。1 xt 1t由于（ 1 ）式模型是平穩(wěn)的， 何t 有：yt和xt都將達(dá)到靜態(tài)平衡值，即對(duì)任yE yt，xE xt

7、于是對(duì)（ 1）式兩邊取期望，就有( 2)也就是(3)y01 yy001110 x1 x01xk1k1 x這里 k1 是 y 關(guān)于 x的長(zhǎng)期乘數(shù)，重寫(xiě) (1) 式就有：yt011 yt 10 xt01 xt 1t011yt 1k0k1 xt 10 xtt(4)我 們 稱 (4) 式 為 (1) 式 的 誤 差 修 正 機(jī) 制 （ Error-correction Mechanism）表達(dá)式（ ECM ）。在（ 4）式中我們可以發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期均衡的正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用是對(duì)稱的。假如這種正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用不是對(duì)稱的，那么模型應(yīng)該如何設(shè)計(jì)與估計(jì)？ 答：若對(duì)誤差修正（ECM ）模型，假如發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)期

8、均衡的正、負(fù)偏離對(duì)短期波動(dòng)的作用是非對(duì)稱的話，模型可以設(shè)計(jì)如下：ytxt12t 1yt 1k0k1 xt 1txt1yt 1k0k1 xt 12t 1yt 1k0k1 xt 1t其中t1yt0ytfxtfxt為虛擬變量，表示Y 偏離的方向。當(dāng) yt 正偏離時(shí)，t1 ，誤差修正項(xiàng)系數(shù)為12 ；當(dāng) yt 為負(fù)偏離時(shí)，t0 ，誤差修正項(xiàng)系數(shù)為1 。參數(shù)估計(jì)的方法可用MLE ，也可用 OLS。7、檢驗(yàn)計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型是否存在異方差，可以用布羅歇帕甘檢驗(yàn)（ Breusch Pagan）和懷特（ White）檢驗(yàn)，請(qǐng)說(shuō)明這二種檢驗(yàn)的差異和適用性。答：當(dāng)人們猜測(cè)異方差只取決于某些解釋變量時(shí)，布羅歇帕甘 檢驗(yàn)（

9、Breusch Pagan）比較適合使用；當(dāng)人們猜測(cè)異方差不僅取決于某些解釋變量，還取決于這些自變量的平方和它們的交叉乘積項(xiàng)時(shí)，懷特（ White）檢驗(yàn)比較適合使用。雖然， 有時(shí)使用布羅歇帕甘檢驗(yàn)無(wú)法檢驗(yàn)出異方差的存在，但用懷特（ White）檢驗(yàn)卻能檢測(cè)出來(lái)。不過(guò)，懷特（White）檢驗(yàn)要用掉很多自由度。8、在模型設(shè)定時(shí)，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來(lái)的變量系數(shù)的OLS 估計(jì)是無(wú)偏和一致的嗎？請(qǐng)舉簡(jiǎn)例說(shuō)明。答：在模型設(shè)定時(shí)，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來(lái)的 變量系數(shù)的OLS 估計(jì)通常是有偏和不一致的。例如，假定工資模型為：wagei01 educi2 exp eri3abil i

10、i如果估計(jì)時(shí)遺漏了變量abil i，得到如下估計(jì)模型：wage educ exp eri01i2i即使假定educ,exp er無(wú)關(guān)， 我們也容易證明 也都是有偏和與21不一致的，且有：neducieducabil iE1 1i 13neducii 12educ由于30 ，并且變量 educ 與 abil 正相關(guān)， 因此， 是正偏誤和不1一致的。 二、綜合題1、為了比較 A 、B 和C 三個(gè)經(jīng)濟(jì)結(jié)構(gòu)相類似的城市由于不同程度地實(shí)施了某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策后的績(jī)效差異，從這三個(gè)城市總計(jì)NANBNC 個(gè)企業(yè)中按一定規(guī)則隨機(jī)抽取nAnBnC 個(gè)樣本企業(yè)，得到這些企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率y 作為被解釋變量,如果沒(méi)有其

11、它可獲得的數(shù)據(jù)作為解釋變量，并且 A 城市全面實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策， B 城市部分實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策，C 城市沒(méi)有實(shí)施這項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策。如何建立計(jì)量經(jīng)濟(jì)模型檢驗(yàn)A 、 B 和C 這三個(gè)城市之間由于不同程度實(shí)施某項(xiàng)經(jīng)濟(jì)改革政策后存在的績(jī)效差異？解：把 A 、 B 兩個(gè)城市中第i 企業(yè)的勞動(dòng)生產(chǎn)率yi 寫(xiě)成如下模型：yiDAiDBii，2i N 0,i1,2, n A , nA1, n AnB ,n An B1, n An BnC（ 1）這里，虛擬變量D Ai 可表示為：D AiD Bi1,第i個(gè)企業(yè)來(lái)自于城市A0,其它1,第i個(gè)企業(yè)來(lái)自于城市B0,其它（ 2）（ 3）于是，參數(shù)表示城市C企業(yè)的

12、期望勞動(dòng)生產(chǎn)率，而參數(shù)表示城市 A 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市C企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率 之間的差異， 即+表示城市A 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率；參數(shù)表示城市 B 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市C企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率 之間的差異，即+表示 B 城市企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率，即：E( yi ),D Ai,D Ai,D Ai1, D Bi00, DBi10, D Bi0（ 4）要檢驗(yàn)城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市B 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間的有無(wú)顯著差異，改寫(xiě)模型為：yiD Ai(D BiD Ai )i，2其中，； i N 0,；此時(shí)，有：E( yi ),D Ai,D Ai,D Ai1, D Bi00, DBi

13、 10, D Bi0（ 5）運(yùn)用 t 檢驗(yàn)看參數(shù)是否顯著地不為0，否則就認(rèn)為城市A企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率與城市B 企業(yè)的期望勞動(dòng)生產(chǎn)率之間無(wú)顯著差異2、用觀測(cè)值y1 ,y 20 和x0 , x1 , x20 估計(jì)模型yt0 xt1 xt 1et得到的 OLS 估計(jì)值為?5.0 2.23?0.8 2.21?0.3 1.8601R20.86和?225括號(hào)內(nèi)為 t 統(tǒng)計(jì)量。 由于? 的 t 值較小， 去掉滯后回歸自變量xt 1 重1新估計(jì)模型，這時(shí)，R2 為多少？解：去掉滯后回歸自變量型：xt 1 后所估計(jì)的模型可以看作是無(wú)約束模yt0 xt1 xt 1et在約束條件：R0之下所得到的估計(jì)。這里，R0

14、,0,1 ，,0 ,1。設(shè)無(wú)約束模型的OLS 殘差向量為 e，帶約束模型的OLS 殘差向量為eR ，則有：? 21 e e 20125 ，從而可得到：e e20 ?2t?0225500令 CX X21?cij3 3 ，則 有11?c22， 從 而 可 得 到 ：c22t ?10.025611注意到帶約束模型的OLS 殘差平方和與無(wú)約束模型的殘差平方和存在如下關(guān)系：eReRe eR ?R X XR1 R ?e e?21c225003.47503.47由R 21SSE1 SSTe e SST， 可推得：SSTe e1R 2同理，由2eReRR1RSST可推得：2eR eRR1RSST1eR eR

15、1R2 e e所以，2eR eR 1R2R1Re e1503.475000.240.863、對(duì)線性回歸模型：yixi i，（ i1,2,n ）-（ 1）滿足Exii0 。假定zi可以作為xi 合適的工具變量，且Var(| Z)2I，請(qǐng)導(dǎo)出工具變量估計(jì)量，并給出它的極限分布。解：由于Exii0 ，所以參數(shù)向量的OLS 估計(jì)將是不一致的。假定zi可以作為 xi 合適的工具變量，對(duì)模型進(jìn)行變換：zi yiTzi xiziiTT-（ 2）從而有：zi yii 1zi xii 1ziii 1-（ 3 ）根據(jù)：E1Tzii 0 ，V1Tzii 2Tzi zi-（ 4 ）Ti 1T并且p lim( 1Ti

16、11zi xi ) p lim(TTiTzii )i 11M zxTi 100T1T所以運(yùn)用 OLS 估計(jì)方法， 可得：?z xz y-IViiii i 1i 1（ 5）TIV注意到：?1TTi 11zi xi1TziiTi 1由（ 4）和中心極限定理，可得：IVT?的 極 限 分 布 為 正 態(tài)N 0,2M ZZ分 布 ， 其 中 ：M zzp lim1TTzi zii 1a2NIV也就是，： ?,M zzT4、考慮如下受限因變量問(wèn)題：、二元離散選擇模型中的Logit模型，在給定xi ， i1,2, N 條件之下 yi1 的條件概率為：pPry1| xexp xiiii1exp xi在重復(fù)觀

17、測(cè)不可得的情況下，運(yùn)用極大似然估計(jì)方法證明：NNp?iyii 1i 1其中， x1,x , x, x， p?iexp xi ?。iii1i 2ip1exp xi ?2、為什么利用觀測(cè)所獲得的正的數(shù)據(jù)理的？y* 來(lái)估計(jì) Tobit模型是不合、對(duì) Tobit模型： 分布，yixii ，i1,2, n 以及i 服從正態(tài)N 0,yiyi ,若yi0 ；yi0,若yi0；求：（ 1）、 Eyi yi0 ；（ 2）、對(duì)重復(fù)觀測(cè)不可得的情況詳細(xì)說(shuō)明Heckman提出的模型估計(jì)方法。答案：1）、 證明：對(duì)Logit模型，其似然函數(shù)可寫(xiě)成如下形式：NLP yii 1yi1 xiP yi0 xi1 yi-（ 1）

18、（ 1）式的對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：Nlyii 1log Fxi1yilog 1Fxi-（ 2 ）（ 2）式關(guān)于參數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為：Nxlyi fxii1yifxixiNexp xiyixii 1F xi1FxiNi 11iexp x?exp xi（ 3）于是， 一階條件為：Nyii 11Nix0 exp xi ?-由（ 3）式可知：yi xii 1p?i xii 1-（ 4）由于 xi得到：1, xi1 , xi 2 , xip中第一分量為常數(shù)1 ，所以根據(jù)（4）式可NNp?iyii 1i 1i2）、假定我們考慮的Tobit模型為：服從正態(tài)yixii ，i1,2, n 以及iN 0,2 分布，滿足yy

19、i ,若yi0 ；yi0 ,若yi0。則有：E yi yi0 xiEiixixi/xi1xi/即： E yi yi0 xi1xi/xixi/xi/xixi/yi也就是僅僅考慮利用觀測(cè)所獲得的正的數(shù)據(jù)* 來(lái)估計(jì)Tobit模型，所獲得的參數(shù)的估計(jì)是有偏的， 并且其數(shù)值大于xi，并且依賴于，這就是僅僅運(yùn)用正觀測(cè)值子樣本來(lái)估計(jì)Tobit模型的不合理性。3）、我們知道，對(duì)于Tobit模型有這樣的結(jié)論：xiEyi| yi0 xixiixiixii（ 1 ）i這里，xi，xii，。iii如果有關(guān)于i 的估計(jì)，就可得到的一致估計(jì)。James Heckman設(shè)計(jì)出了一種相對(duì)比較簡(jiǎn)單的兩步估計(jì)法， 但這個(gè)估計(jì)法能

20、夠得到的一致估計(jì)。（ 1）在重復(fù)觀測(cè)不可得的條件下，具體的估計(jì)步驟如下：第一步， 我們通過(guò)Probit模型來(lái)區(qū)分 “y*0 ”的觀測(cè)和 “y*0 ”ii的觀測(cè)，可以得到：Pz1 xPy*0 xPxxx，iiiiiiii運(yùn)用極大似然估計(jì)方法有：NLPzii 11 xiziPzixiziNzixi1i1N1 zixi（ 2 ）對(duì)數(shù)似然函數(shù)為：lzi l n xi1zil n1 xi（ 3）i 1lNzixi根據(jù)：1xxi0 ， 利用數(shù)值運(yùn)算方法可i 1iixi ?pb以求得 ?，這樣就很容易獲得?。ipbx ?ipbi第二步，我們?cè)讷@得了? 之后，考慮下述模型：yixi?ui， （ i1,2, N

21、 ）（ 4 ）i其中，我們假定ui 滿足高斯馬爾可夫條件。于是，運(yùn)用OLS方法可以得到Tobit模型的參數(shù)估計(jì)?。但是，需要注意的是， 全可能不滿足高斯馬爾可夫條件，出現(xiàn)序列相關(guān)或異方差的現(xiàn)ui 完象，因此，需要運(yùn)用廣義最小二乘法(GLS) 或可行的廣義最小二乘法(FGLS) 。一般情況下，由OLS 方法得到的t檢驗(yàn)是有偏的。另外， Heckman的二步估計(jì)法不如Fair的極大似然估計(jì)法那樣有效。因此，只要可能的話，最好采用極大似然估計(jì)法。計(jì)量經(jīng)濟(jì)學(xué)博士研究生入學(xué)試題（B）解答一、簡(jiǎn)答題1、說(shuō)明隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程和單位根過(guò)程的聯(lián)系與差異？如何檢驗(yàn)?zāi)硞€(gè)經(jīng)濟(jì)變量具有單位根？答：隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程在形式上與單位

22、根過(guò)程完全一樣，但它們之間 的本質(zhì)性差異在t 上。當(dāng)t 是白噪聲時(shí)，我們就稱該過(guò)程為隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程（ random walk）；當(dāng) t 是平穩(wěn)過(guò)程時(shí)，該過(guò)程就是單位根過(guò)程。隨機(jī)游動(dòng)過(guò)程是單位根過(guò)程的一種特殊情形，它是非平穩(wěn)過(guò)程。如果某個(gè)經(jīng)濟(jì)變量的數(shù)據(jù)發(fā)生過(guò)程滿足ytyt 1ut，假定隨t機(jī)干擾項(xiàng) u 獨(dú)立同服從于均值為0，方差為2 的分布時(shí)， 檢驗(yàn)它是否具有單位根可以用迪基和富勒（DF）檢驗(yàn)； 如果放寬對(duì)隨機(jī)干擾項(xiàng)的限制，允許隨機(jī)干擾項(xiàng)ut 服從一個(gè)平穩(wěn)過(guò)程，即utc jtj ，在這種的情況下，它是否具有單位根可以用增j 0廣的迪基和富勒（ADF ）檢驗(yàn)。2、協(xié)積的概念是什么？如何檢驗(yàn)兩個(gè)序列是

23、協(xié)積的？答：如果yt 和xt 都是非平穩(wěn)I 1 過(guò)程變量，則我們自然會(huì)預(yù)期它們的差，或者諸如etyt12 xt一類的任何線性組合也是I 1 的。但是，有一種很重要的情形就是etyt2 xt是一個(gè)平穩(wěn)的I 0 過(guò)程。這一情形我們稱yt 和xt 是協(xié)積的。協(xié)積意味著yt 和xt 擁有相似的隨機(jī)趨勢(shì)， 于是它們的差et 就是平穩(wěn)的， 它們相互之間絕不會(huì)偏離太遠(yuǎn)。協(xié)積變量yt 和xt 之間表現(xiàn)出一種定義為yt1xt 的長(zhǎng)期均衡關(guān)系，而 et 是均衡誤差，表示對(duì)長(zhǎng)期均衡關(guān)系的一種短期偏離。通過(guò)檢驗(yàn)誤差etyt12 xt是否平穩(wěn)，我們判斷yt 和xt 之間是否協(xié)積。因?yàn)槲覀儾荒苡^察et ，所以就使用迪基富

24、勒（DF）檢驗(yàn)，通過(guò)檢驗(yàn)最小二乘估計(jì)的殘差e?tyt?1?2 xt的平穩(wěn)性來(lái)替代。3、在二元離散選擇的模型中解釋變量xik變化作用的符號(hào)與其系數(shù)k 的符號(hào)有什么關(guān)系？為什么？至少寫(xiě)出二點(diǎn)關(guān)于Tobit 模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別？答：在Probit模型、 Logit模型中的參數(shù)是無(wú)法直接解釋的。我們可以通過(guò)如下微分來(lái)考察這些模型：xi xik1exp12xi22xik（ 1 ）G xiexi1exiexi2exiexi（ 2）2xik1exik1exi這里，xi表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。這些微分度量了xik 變化的邊際作用。xik變化的邊際作用都依賴于xik的數(shù)值。 在（ 1）和（ 2）兩種情

25、況下，xik變化作用的符號(hào)與其系數(shù)k 的符號(hào)是相一致的。Tobit 模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別：（ 1）概率單位模型和 Tobit模型的區(qū)別是前者因變量使用的是啞變量，后者因變量使用的是刪尾的連續(xù)變量；（ 2 ） Tobit模型中 yi0 要比 yi0 時(shí)yiyi有更重的權(quán)數(shù)， 因?yàn)橛蠵r yi0 | xiPr yi0 | xi，這是其它離散選擇模型所不具備的。4、海德拉斯（ Hildreth ）和盧（ Lu） (1960) 檢查分析了 30 個(gè)月度的時(shí)間序列觀測(cè)數(shù)據(jù)（從 1951 年 3 月到 1953 年 7 月）， 定義了如下變量：cons =每人冰激凌的消費(fèi)量（按品脫計(jì)） inco

26、me =每周平均的家庭收入（按美元計(jì)） price =每品脫冰激凌的價(jià)格（按美元計(jì)） temp =平均氣溫（ F）1）、用 cons對(duì) income， price， tem和常數(shù)作線性回歸模型，得到DW統(tǒng)計(jì)量的數(shù)值為1.0212 ，請(qǐng)說(shuō)明模型存在什么病態(tài)？答：說(shuō)明模型的隨機(jī)誤差項(xiàng)可能存在序列相關(guān)，因此，用cons對(duì) income，price，tem和常數(shù)作線性回歸模型所得到的參數(shù)估計(jì)可信度低。2 ）、上述模型中加入平均氣溫的一階滯后項(xiàng)tem(-1)，得到DW1 .5822 ，并且該項(xiàng)的系數(shù)估計(jì)為負(fù)，請(qǐng)說(shuō)明加入該項(xiàng)的作用以及系數(shù)為負(fù)的經(jīng)濟(jì)含義。答：模型中加入平均氣溫的一階滯后項(xiàng)tem(-1)后，

27、有助于改善隨機(jī)誤差項(xiàng)存在序列相關(guān)所帶來(lái)的干擾和影響；該項(xiàng)系數(shù)為負(fù)說(shuō)明，如果上月的平均氣溫很高，當(dāng)月趨于正常的話，當(dāng)月每人冰激凌的消費(fèi)量不會(huì)保持上個(gè)月的高水平，只會(huì)有所下降，并與當(dāng)月的平均氣溫呈正向因果關(guān)系；反之也一樣。3 ）、請(qǐng)寫(xiě)出2 ）中模型的另一種表達(dá)式，說(shuō)明該表達(dá)式中變量系數(shù)的符號(hào)，解釋符號(hào)的經(jīng)濟(jì)意義。答：若const01 pricet2incomet3tempt4 tempt 1t ，且其參數(shù)滿足：10 ，20 ，30 ，40，且有34 ，因?yàn)?，一般?dāng)月的平均氣溫對(duì)每人當(dāng)月冰激凌的消費(fèi)量影響最大。我們可以把上述模型進(jìn)行變形，即：const01 pricet2 incomet(34 )t

28、empt4 (tempttempt 1 )t01 pricet2incomettempttemptt其中，各個(gè)變量的系數(shù)滿足10 ，20 ，0 ，0。這說(shuō)明每人月冰激凌的消費(fèi)量受價(jià)格的抑制影響，而收入與當(dāng)月的平均氣溫與每人冰激凌消費(fèi)量的走向一致，當(dāng)月平均氣溫的變化量與每人冰激凌消費(fèi)量的變化也是一致的。4、說(shuō)明R2 和調(diào)整的R 2 之間的差異， 為什么在多變量線性回歸模型的擬合評(píng)價(jià)中人們主要用R 2 ，而不是一般的決定系數(shù)R 2 呢？答：由于 R211N2ei 1N( p1)iNSSE/Np11， 而1N1i 1 N2ei2yiySST/N1NR21i 1yii 11SSEy 2SST因此，當(dāng)模

29、型中引入另外的回歸變量時(shí)，無(wú)論這個(gè)變量是否合理，即：R 2 值永遠(yuǎn)不會(huì)減小。R 2 是用于修正自由度的擬合優(yōu)度度量，R211N2eiN( p1)i 1NSSE/Np111N11R 21N1i 12yiySST/N1Np1于是，當(dāng)模型中引入另外的回歸變量時(shí)，R 2 值也許就會(huì)減小。因此， R 2 并不依賴于模型中解釋變量的個(gè)數(shù)，這也就是在多變量線性回歸模型的擬合評(píng)價(jià)中人們主要用R 2 ，而不是用一般的擬合優(yōu)度 R2 。5、對(duì)于一種簡(jiǎn)化的異方差模型，即假定：Vari / xi2 h2 ，這里ii假定 hi 可以被 h? 估計(jì)的。那么關(guān)于參數(shù)的可行的廣義最小二乘估計(jì)（ FGLS）量如何得到？它是否還

30、具有廣義最小二乘估計(jì)的優(yōu)良性質(zhì)？答：假定Var/ x2 h 2 ， h 是已知的。 于是， 關(guān)于參數(shù)的廣義最iiii小二乘估計(jì)（ GLS）量適用于下述轉(zhuǎn)換了的模型：yi( xi )ihihihi很明顯，轉(zhuǎn)換了的模型的隨機(jī)擾動(dòng)項(xiàng)具有同方差。這樣，就產(chǎn)生了 GLS 估計(jì)量：?GLSNx2hiii 1xi 1 Nx2hii yii 1i由于 hi 可以被 h? 估計(jì)，則得到參數(shù)可行的廣義最小二乘估計(jì)（ FGLS ）量，即?Nh? 2 x x 1 Nh? 2 x yFGLSiiii 1iiii 1FGLS顯然， ?不再具有無(wú)偏性的性質(zhì)，但一致性繼續(xù)保持。7、在美國(guó)有人對(duì)密歇根的AnnArbor的大學(xué)生

31、進(jìn)行調(diào)查，認(rèn)為 男生和女生對(duì)空間（用ROOMPER度量）和距學(xué)校的距離（用DIST 度量）具有不同的觀點(diǎn)。試問(wèn)如何利用租金（用RENT 度量）數(shù)據(jù)對(duì)下述模型：RENT12SEX3ROOM PER4DIST用 F 檢驗(yàn)法檢驗(yàn)假設(shè)Var男Var女？注： SEX 為虛擬變量（ 1；如果是女生 ;0 ；如果是男生） 。答：假定被調(diào)查的男大學(xué)生和女大學(xué)生人數(shù)分別為N1 和 NN1 ，利用被調(diào)查的男大學(xué)生和女大學(xué)生的數(shù)據(jù)分別對(duì)下述模型：RENTi12 ROOMPER i3 DIST iiN1NN1ee221i1i?男2女進(jìn)行 OLS 估計(jì)，得到2i 1，i 1。22。2N13(NN1 )32于是，對(duì)原假設(shè)

32、H 0：男2和備擇假設(shè)H 1：男女女檢 驗(yàn) 統(tǒng) 計(jì) 量 為 F2?男2在 原 假 設(shè)女H 0：男2成 立 時(shí) 服 從女FN13, NN13分 布 。 若 FF1N1, NN13， 則 拒 絕 原 假 設(shè) 設(shè)H 0 ， 認(rèn) 為Var男Var女成立；否則，就認(rèn)為Var男Var女不成立。8、為了研究美國(guó)住房需求情況，我們利用對(duì)3120個(gè)家庭調(diào)查的截面資料資料，對(duì)以下回歸模型：log Q12 log P3 log Y其中Q=3120個(gè)家庭中的任何一個(gè)家庭每年所需要的住房面積平方英尺數(shù)；P= 家庭所在地住房的價(jià)格； Y= 家庭收入。假設(shè)我們認(rèn)為住房需求由兩個(gè)方程組成，一個(gè)描述黑人的住房需求，另一個(gè)描述白

33、人的住房需求，這個(gè)模型可以寫(xiě)成：log Q12 log P3 log Y；白人家庭log Q12 log P3 log Y；黑人家庭我們希望對(duì)黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)。這個(gè)假設(shè)是聯(lián)合假設(shè)：112233為了對(duì)上述假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，我們首先對(duì)上述模型進(jìn)行估計(jì)，并將每個(gè)方程的誤差平方和相加，得到ESSUR13640?，F(xiàn)在， 假設(shè)原假設(shè)為真，則模型簡(jiǎn)化為log Q12 log P3 log Y所有家庭對(duì)這個(gè)模型進(jìn)行估計(jì)，得到它的誤差平方和ESSR13838。我們能否認(rèn)為系數(shù)全相等是正確的？答：對(duì)于黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn)，我們采用鄒檢驗(yàn)（Ch

34、owtest ）。在原假設(shè)成立時(shí)，F(xiàn)ESSRESSUR3 F3,3114，計(jì)算檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量ESSUR3114FESSRESSUR3198 315.1 ，遠(yuǎn)大于 5%顯著性水平時(shí)F 3,3114ESSUR311413640 3114的臨界值，所以拒絕黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)，它們之間存在顯著差異。二、綜合題1、假定模型的矩陣形式y(tǒng)X，其中 E0 ，E X0 ；、假定E2 I，求在 Rr 條件下， 參數(shù)的最小二乘估計(jì)量。T、假定E2 I且 是正態(tài)向量N 0,2，構(gòu)造檢驗(yàn)原假設(shè)H 0 ：TITRr qrank (R) 的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量，并說(shuō)明該檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量服從 F 分布。、如何判斷參

35、數(shù)線性約束條件是否成立，請(qǐng)做說(shuō)明。R2 k、證明：對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量F2RT，請(qǐng)說(shuō)明k1原假設(shè)是什么？其中，R2 是模型yX在無(wú)約束條件下作OLS 估計(jì)所得到的擬合優(yōu)度。解： 1）、要求在約束條件Rr 下，參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)量，目標(biāo)是求向量函數(shù)VyXyXRr達(dá)到最小。R時(shí)的參數(shù)向量?對(duì)上述函數(shù)求導(dǎo)可得：d V2 XyX ddRr2d11R（ 1）2 X y2 X X?2 R ?01R?X XX yX XR?OLSX XR?（ 2）因?yàn)?，?3）?RrRROLSR X X1 R ?所以， ?R X X1?1RROLSR11R X XR?RrOLS（ 4）即、1ROLSX XRR X X

36、11?RROLSr（ 5）?根據(jù)上式中帶約束參數(shù)向量的最小二乘估計(jì)公式，我們1有：?ROLSX XR11R X XR?RrOLS（ 6 ）從而，可以得到帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差公式：eReOLSXX X111R R X XR?R1rOLSReR eReOLSeOLS?ROLSrR X X11?RR X XX eOLSeOLS XX X111RR X XROLSrR?OLSrR X X11RR X X1X XX X111RR X XR?RrOLS整理以后可得到：eReReO LSeOLSR ?OLSrR X X11?RROLSr0（ 7）也就是說(shuō)，帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差

37、平方和相對(duì)于無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和會(huì)變大， 即：（ 8）eReReUOLS eUOLS要檢驗(yàn)原假設(shè)H 0 ： Rr 是否成立，需要構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量。根據(jù)（ 8）式中所體現(xiàn)的性質(zhì)，我們構(gòu)造F 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：FeR eReUOLS eUOLSq， 這里qrank (R) 。eUOLS eUOLSNp1（ 9）當(dāng)原假設(shè)H 0 ： Rr 成立并且誤差向量不僅滿足高斯馬爾柯夫條件， 還滿足正態(tài)分布時(shí)， 可以得到： FeR eReUOLS eUOLSq服從自由度為q, Np1 的FeUOLS eUOLSNp1分布，即 Fq, Np1 。）、對(duì)于給定的檢驗(yàn)水平，若 FF1q, Np1 時(shí)，

38、說(shuō)明帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和eReR 與無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和eUOLS eUOLS 之間差異顯著，此時(shí)，我們對(duì)參數(shù)向量的約束條件Rr 不成立，也就是說(shuō)在原始模型中并不存在參數(shù)之間的這種約束關(guān)系。因此，我們拒絕原假設(shè)H 0 。若 FF1q, N1 時(shí)，說(shuō)明帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和eReR 與無(wú)參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計(jì)殘差平方和 eUOLS eUOLS之間在統(tǒng)計(jì)上沒(méi)有什么差異，此時(shí)，我們對(duì)參數(shù)向量的約束條件 Rr 是合理的，也就是說(shuō)在原始模型的參數(shù)之間確實(shí)存在著這種關(guān)系。因此，我們接受原假設(shè)H 0 。）、注意到無(wú)參數(shù)向量約束條件時(shí)模型

39、的擬合優(yōu)度（或稱決RU定系數(shù)）2和參數(shù)向量帶約束條件時(shí)模型的擬合優(yōu)度（或稱決定2系數(shù)） RR分別為：R1U2SSEU2SSTU, R21SSER SSTUR從而有：SSEU 1USSTU ，SSER 1R SSTURR2可以推得：SSERSSEUeReReUOLSeUOLSUR SSTURR22這樣，殘差形式的F 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：FeR eReUOLS eUOLSqeUOLS eUOLSNp1又可以寫(xiě)成擬合優(yōu)度形式的F 檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量：RRUq22FRRU12Np1R2p2因此，當(dāng)對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量FU，則原假設(shè)1RUTp1指的是所有解釋變量的系數(shù)都為零，即2H 0 ：12p0 。也就是當(dāng)H 0

40、 成立時(shí)，有RR0 。這時(shí)，對(duì)模型顯著性檢驗(yàn)的統(tǒng)計(jì)量R2p2FU。1RUTp12、對(duì)線性回歸模型：yX， 其中隨機(jī)誤差向量滿足高斯 -馬爾可夫條件。、 定義最小二乘估計(jì)量b .、 如果 X 的第一列每個(gè)元素都是1,證明最小二乘殘差和為零，即ei0 。、 令(,)RK 1K2 , b(b , b),和X( X , X ),推導(dǎo) b和b12121212的表達(dá)式。、 如 果 E2與單位矩陣不成比例，試推出b 和 ?(GLS)方差形式。解： 1）、按照最小二乘的思想，我們定義該模型最小二乘估計(jì)量bX X1 X y注意，這時(shí)我們認(rèn)為X X是可逆的矩陣。12 ）、令 X, X 1，其中，1，則根據(jù)殘差向量

41、的矩陣形式eyXbIXX X11Xy ，可以得到： X e0 ， 于是可推得：eX eeXX eei0i0， 即有：ei0。11、令 M 1I 1X 1 X 1 X1X 1e1X1， M 21I 2X 2X 2 X 2X 2根據(jù)yX11X 22-（ 1）由（ 1）式左乘 M 1，可得：M 1 yM 1 X11M 1 X 22M 1-（ 2）注意到：M 1 X 10，可得： b2X 2 MX 2X 2 M 1 y-（ 3）同理：M 2 X 20，可得：b1X 1MX111X 1 M 2 y-（ 4）、如果 E2與單位矩陣不成比例，則根據(jù)：Var b11VarX XX y1X XX11Var y

42、XX X可得：V a rb2X XXXX X1由于 E2為對(duì)稱正定矩陣，所以存在非奇異矩陣P ，滿足PPI，也就是PP1 。根據(jù)這一性質(zhì)，我們對(duì)模型進(jìn)行變換：PyPXP， 顯然，Var PP2P2 I。因此，對(duì)變換11了的模型運(yùn)用最小二乘估計(jì)，得到：? GLSX P PX1 X P PyXXX1 y從而，Var? GLSX1 XX1 (2)1 XX1 X12 X1 X。113、假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資之間存在著恒定的差 別，為檢驗(yàn)?zāi)贻p男性職員與年輕女性職員受教育的回報(bào)是否 相同以及方便起見(jiàn)，在模型中只包含受教育水平和性別二個(gè) 定性的解釋變量。試設(shè)計(jì)模型既能體現(xiàn)存在恒定的工資差別，

43、又能反映存在受教育回報(bào)上的差別，并對(duì)模型參數(shù)的估計(jì)及 其所蘊(yùn)涵的意義進(jìn)行討論。解：假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資(wage)之間存在著恒定的差別，同時(shí)為方便起見(jiàn)，在模型中只包含受教 育水平(edu)和性別(female)二個(gè)定性的解釋變量。為進(jìn)行模型分析，我們把定性的解釋變量轉(zhuǎn)換為可進(jìn)行定 量分析的虛擬變量，即：femalei1,第i個(gè)被觀測(cè)者是年輕女性 職員0，否則edui0， 第i 個(gè)被觀測(cè)者沒(méi)有受過(guò)初1，第i個(gè)被觀測(cè)者受過(guò)初等教2，第i個(gè)被觀測(cè)者受過(guò)中等教3，第i個(gè)被觀測(cè)者受過(guò)高等教等教育育育育由于本問(wèn)題涉及的解釋變量多于1個(gè)虛擬變量，因此， 當(dāng)被解釋變量取為logwage時(shí)，這些

44、虛擬的解釋變量系數(shù)就具有一種百分比的解釋。為檢驗(yàn)?zāi)贻p男性職員與年輕女性職員受教育的回報(bào)是否相 同，考慮到加入解釋變量交互項(xiàng)能夠產(chǎn)生不同的斜率這一作用，我們?cè)O(shè)計(jì)如下模型：logwage i0 femalei1 femaleieduii-（ 1 ）在（ 1 ）式中代入femalei0 ，就會(huì)發(fā)現(xiàn)，年輕男性職員這一組的截距為0 ，而受過(guò)初等教育的斜率為1 。對(duì)于年輕女性職員這一組，代入femalei1；于是其截距為00 ，而受過(guò)初等教育的斜率為11 。因此，0 度量了年輕男性職員與年輕女性職員在截距上的差異，1 度量了年輕男性職員與年輕女性職員在受過(guò)初等教育回報(bào)上的差異。要估計(jì)模型（ 1），我們可以把它改寫(xiě)成：logwage i00 femalei1edui1 femaleieduii（ 2）對(duì)模型（ 2 ）中我們可以用OLS 方法估計(jì)出參數(shù)0 ,0 ,1 ,1 。對(duì)于0 ,1的取值可以分成如下四種情況：（ 1） 00 ， 10 ； （ 2） 00 ，