博士計量經(jīng)濟學(xué)試題

1、-計量經(jīng)濟學(xué)博士研究生入學(xué)試題（A ）解答一、簡答題1、指出穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤和穩(wěn)健t 統(tǒng)計量的適用條件。答：穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤和穩(wěn)健t 統(tǒng)計量的適用條件是樣本容量較大的的場合。在大樣本容量的情況下，一般在橫截面數(shù)據(jù)分析中總是報告穩(wěn)健標(biāo)準(zhǔn)誤。在小樣本情況下，穩(wěn)健t 統(tǒng)計量不那么接近t 分布，從而可能導(dǎo)致推斷失誤。2、若回歸模型的隨機誤差項可能存在q （ q1 ）階自相關(guān)，應(yīng)采用什么檢驗？其檢驗過程和檢驗統(tǒng)計量是什么？答 ： 如 果 模 型 ： yt01 x1t2 x2tptt的 誤 差 項 滿 足 ：t1t 12t 2qt qvt ，其中vt 是白噪聲。原假設(shè)H 0 :10 ,20 ,，q0那么，以下兩種回答

2、都可以。1）、(1).yt 對x1t, x2t ,x pt (t1,2,T )做OLS 回歸,求出 OLS 殘差?t ；(2).?t對x1t,x2 t,x pt,?t 1 ,?t 2 ,，?t q做 OLS回 歸 ,(tq1, q2,T ), 得到R 2 ；(3).計算 (2) 中的?t 1 , ?t2 ,，?t q 聯(lián)合 F 檢驗統(tǒng)計量。若F 檢驗統(tǒng)計量大于臨界值， 則判定回歸模型的隨機誤差項存在q（ q1 ）階自相關(guān)；否則，則判定判定回歸模型的隨機誤差項不存在 q （ q1 ）階自相關(guān)。2）、 完成了 1）中的（ 1 ）、（ 2）兩步以后，運用布勞殊戈弗雷檢驗（ Bresch Goldfe

3、ry test） LMTq R2，由于它在原2假設(shè) H 0 成立時漸近服從?分布。當(dāng) LM大于臨界值，q2則判定回歸模型的隨機誤差項存在q （ q1 ）階自相關(guān)；否則，判定回歸模型的隨機誤差項不存在q （ q1 ）階自相關(guān)。3、謬誤回歸的主要癥狀是什么？檢驗謬誤回歸的方法主要有哪些？在回歸中使用非平穩(wěn)的時間序列必定會產(chǎn)生偽回歸嗎？答：格蘭杰（ Granger）和紐博爾德（Newbold）認為在用時間序列數(shù)據(jù)進行回歸估計時，如果R2 在數(shù)值上大于德賓沃特森統(tǒng)計量，則我們應(yīng)當(dāng)懷疑有謬誤回歸存在。檢驗謬誤回歸的方法主要是用DF 和 ADF 檢驗考察回歸的殘差是否服從 I(0) ，進而判定變量之間的關(guān)

4、系是否為協(xié)積的，從而檢驗出謬誤回歸的存在性?；貧w中使用非平穩(wěn)的時間序列不一定會產(chǎn)生謬誤回歸，比如兩個協(xié)積的變量，雖然它們可以非平穩(wěn)，但是不會產(chǎn)生謬誤回歸。4 、一般的幾何滯后分布模型具有形式：yt1xt it ，i2i 0Et0 ，c o v t ,st ,s ，01。如何對這類模型進行估計，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計量？答：對一般的幾何滯后分布模型yt011i 0ixt it ，有限的觀測不可能估計無限的參數(shù)。為此，必須對模型形式進行變換：注意到：yt 101i1xt i 1i 0t 1 ， 從而：yt1yt 101xtt1t 1yt01xt1yt 1t1t 1由于 yt 1 與 t 1

5、 相關(guān)，所以該模型不能用OLS 方法進行估計，必須采用諸如工具變量等方法進行估計，才能獲得具有較好性質(zhì)的參數(shù)估計量。5、假定我們要估計一元線性回歸模型：ytxtt ，Et0 ，c o vt ,s2t ,s但是擔(dān)心xt 可能會有測量誤差， 即實際得到的xt 可能是xtxtt ， t是白噪聲。如果已經(jīng)知道存在與xt 相關(guān)但與t 和 t 不相關(guān)的工具變量 zt ，如何檢驗xt 是否存在測量誤差？答：已知存在與xt 相關(guān)但與t 和 t 不相關(guān)的工具變量zt ，用最小二乘法估計模型xta0a1 ztvt ，得到殘差v?txta?0a?1 zt。把殘差?t 作為解釋變量放入回歸方程ytxtv?tut ，用

6、最小二乘法估計這個人工回歸，對顯著性假設(shè)運用通常的t檢驗。H 0 ：0（H 1 ：0（xt 與 t 之間沒有相關(guān)性）xt 與 t 之間有相關(guān)性）注 意 ， 由 ytxtv?tut可 推 得 ytxtv?tut， 即 ：tv?tut 。利用對ytxtt 所做回歸得到的殘差?t 替代t ，對系數(shù)作 OLS估計，當(dāng) t檢驗顯著時就表明誤差。否則就沒有。xt 與 t 之間有相關(guān)性，即xt 存在測量6、考慮一個單變量平穩(wěn)過程（ 1） 這里，tIID 0,yt02以及1 yt 110 xt1。1 xt 1t由于（ 1 ）式模型是平穩(wěn)的， 何t 有：yt和xt都將達到靜態(tài)平衡值，即對任yE yt，xE xt

7、于是對（ 1）式兩邊取期望，就有( 2)也就是(3)y01 yy001110 x1 x01xk1k1 x這里 k1 是 y 關(guān)于 x的長期乘數(shù)，重寫 (1) 式就有：yt011 yt 10 xt01 xt 1t011yt 1k0k1 xt 10 xtt(4)我 們 稱 (4) 式 為 (1) 式 的 誤 差 修 正 機 制 （ Error-correction Mechanism）表達式（ ECM ）。在（ 4）式中我們可以發(fā)現(xiàn)長期均衡的正、負偏離對短期波動的作用是對稱的。假如這種正、負偏離對短期波動的作用不是對稱的，那么模型應(yīng)該如何設(shè)計與估計？ 答：若對誤差修正（ECM ）模型，假如發(fā)現(xiàn)長期

8、均衡的正、負偏離對短期波動的作用是非對稱的話，模型可以設(shè)計如下：ytxt12t 1yt 1k0k1 xt 1txt1yt 1k0k1 xt 12t 1yt 1k0k1 xt 1t其中t1yt0ytfxtfxt為虛擬變量，表示Y 偏離的方向。當(dāng) yt 正偏離時，t1 ，誤差修正項系數(shù)為12 ；當(dāng) yt 為負偏離時，t0 ，誤差修正項系數(shù)為1 。參數(shù)估計的方法可用MLE ，也可用 OLS。7、檢驗計量經(jīng)濟模型是否存在異方差，可以用布羅歇帕甘檢驗（ Breusch Pagan）和懷特（ White）檢驗，請說明這二種檢驗的差異和適用性。答：當(dāng)人們猜測異方差只取決于某些解釋變量時，布羅歇帕甘 檢驗（

9、Breusch Pagan）比較適合使用；當(dāng)人們猜測異方差不僅取決于某些解釋變量，還取決于這些自變量的平方和它們的交叉乘積項時，懷特（ White）檢驗比較適合使用。雖然， 有時使用布羅歇帕甘檢驗無法檢驗出異方差的存在，但用懷特（ White）檢驗卻能檢測出來。不過，懷特（White）檢驗要用掉很多自由度。8、在模型設(shè)定時，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來的變量系數(shù)的OLS 估計是無偏和一致的嗎？請舉簡例說明。答：在模型設(shè)定時，如果遺漏重要變量，那么模型中保留下來的 變量系數(shù)的OLS 估計通常是有偏和不一致的。例如，假定工資模型為：wagei01 educi2 exp eri3abil i

10、i如果估計時遺漏了變量abil i，得到如下估計模型：wage educ exp eri01i2i即使假定educ,exp er無關(guān)， 我們也容易證明 也都是有偏和與21不一致的，且有：neducieducabil iE1 1i 13neducii 12educ由于30 ，并且變量 educ 與 abil 正相關(guān)， 因此， 是正偏誤和不1一致的。 二、綜合題1、為了比較 A 、B 和C 三個經(jīng)濟結(jié)構(gòu)相類似的城市由于不同程度地實施了某項經(jīng)濟改革政策后的績效差異，從這三個城市總計NANBNC 個企業(yè)中按一定規(guī)則隨機抽取nAnBnC 個樣本企業(yè)，得到這些企業(yè)的勞動生產(chǎn)率y 作為被解釋變量,如果沒有其

11、它可獲得的數(shù)據(jù)作為解釋變量，并且 A 城市全面實施這項經(jīng)濟改革政策， B 城市部分實施這項經(jīng)濟改革政策，C 城市沒有實施這項經(jīng)濟改革政策。如何建立計量經(jīng)濟模型檢驗A 、 B 和C 這三個城市之間由于不同程度實施某項經(jīng)濟改革政策后存在的績效差異？解：把 A 、 B 兩個城市中第i 企業(yè)的勞動生產(chǎn)率yi 寫成如下模型：yiDAiDBii，2i N 0,i1,2, n A , nA1, n AnB ,n An B1, n An BnC（ 1）這里，虛擬變量D Ai 可表示為：D AiD Bi1,第i個企業(yè)來自于城市A0,其它1,第i個企業(yè)來自于城市B0,其它（ 2）（ 3）于是，參數(shù)表示城市C企業(yè)的

12、期望勞動生產(chǎn)率，而參數(shù)表示城市 A 企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率與城市C企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率 之間的差異， 即+表示城市A 企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率；參數(shù)表示城市 B 企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率與城市C企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率 之間的差異，即+表示 B 城市企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率，即：E( yi ),D Ai,D Ai,D Ai1, D Bi00, DBi10, D Bi0（ 4）要檢驗城市A企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率與城市B 企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率之間的有無顯著差異，改寫模型為：yiD Ai(D BiD Ai )i，2其中，； i N 0,；此時，有：E( yi ),D Ai,D Ai,D Ai1, D Bi00, DBi

13、 10, D Bi0（ 5）運用 t 檢驗看參數(shù)是否顯著地不為0，否則就認為城市A企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率與城市B 企業(yè)的期望勞動生產(chǎn)率之間無顯著差異2、用觀測值y1 ,y 20 和x0 , x1 , x20 估計模型yt0 xt1 xt 1et得到的 OLS 估計值為?5.0 2.23?0.8 2.21?0.3 1.8601R20.86和?225括號內(nèi)為 t 統(tǒng)計量。 由于? 的 t 值較小， 去掉滯后回歸自變量xt 1 重1新估計模型，這時，R2 為多少？解：去掉滯后回歸自變量型：xt 1 后所估計的模型可以看作是無約束模yt0 xt1 xt 1et在約束條件：R0之下所得到的估計。這里，R0

14、,0,1 ，,0 ,1。設(shè)無約束模型的OLS 殘差向量為 e，帶約束模型的OLS 殘差向量為eR ，則有：? 21 e e 20125 ，從而可得到：e e20 ?2t?0225500令 CX X21?cij3 3 ，則 有11?c22， 從 而 可 得 到 ：c22t ?10.025611注意到帶約束模型的OLS 殘差平方和與無約束模型的殘差平方和存在如下關(guān)系：eReRe eR ?R X XR1 R ?e e?21c225003.47503.47由R 21SSE1 SSTe e SST， 可推得：SSTe e1R 2同理，由2eReRR1RSST可推得：2eR eRR1RSST1eR eR

15、1R2 e e所以，2eR eR 1R2R1Re e1503.475000.240.863、對線性回歸模型：yixi i，（ i1,2,n ）-（ 1）滿足Exii0 。假定zi可以作為xi 合適的工具變量，且Var(| Z)2I，請導(dǎo)出工具變量估計量，并給出它的極限分布。解：由于Exii0 ，所以參數(shù)向量的OLS 估計將是不一致的。假定zi可以作為 xi 合適的工具變量，對模型進行變換：zi yiTzi xiziiTT-（ 2）從而有：zi yii 1zi xii 1ziii 1-（ 3 ）根據(jù)：E1Tzii 0 ，V1Tzii 2Tzi zi-（ 4 ）Ti 1T并且p lim( 1Ti

16、11zi xi ) p lim(TTiTzii )i 11M zxTi 100T1T所以運用 OLS 估計方法， 可得：?z xz y-IViiii i 1i 1（ 5）TIV注意到：?1TTi 11zi xi1TziiTi 1由（ 4）和中心極限定理，可得：IVT?的 極 限 分 布 為 正 態(tài)N 0,2M ZZ分 布 ， 其 中 ：M zzp lim1TTzi zii 1a2NIV也就是，： ?,M zzT4、考慮如下受限因變量問題：、二元離散選擇模型中的Logit模型，在給定xi ， i1,2, N 條件之下 yi1 的條件概率為：pPry1| xexp xiiii1exp xi在重復(fù)觀

17、測不可得的情況下，運用極大似然估計方法證明：NNp?iyii 1i 1其中， x1,x , x, x， p?iexp xi ?。iii1i 2ip1exp xi ?2、為什么利用觀測所獲得的正的數(shù)據(jù)理的？y* 來估計 Tobit模型是不合、對 Tobit模型： 分布，yixii ，i1,2, n 以及i 服從正態(tài)N 0,yiyi ,若yi0 ；yi0,若yi0；求：（ 1）、 Eyi yi0 ；（ 2）、對重復(fù)觀測不可得的情況詳細說明Heckman提出的模型估計方法。答案：1）、 證明：對Logit模型，其似然函數(shù)可寫成如下形式：NLP yii 1yi1 xiP yi0 xi1 yi-（ 1）

18、（ 1）式的對數(shù)似然函數(shù)為：Nlyii 1log Fxi1yilog 1Fxi-（ 2 ）（ 2）式關(guān)于參數(shù)的一階導(dǎo)數(shù)為：Nxlyi fxii1yifxixiNexp xiyixii 1F xi1FxiNi 11iexp x?exp xi（ 3）于是， 一階條件為：Nyii 11Nix0 exp xi ?-由（ 3）式可知：yi xii 1p?i xii 1-（ 4）由于 xi得到：1, xi1 , xi 2 , xip中第一分量為常數(shù)1 ，所以根據(jù)（4）式可NNp?iyii 1i 1i2）、假定我們考慮的Tobit模型為：服從正態(tài)yixii ，i1,2, n 以及iN 0,2 分布，滿足yy

19、i ,若yi0 ；yi0 ,若yi0。則有：E yi yi0 xiEiixixi/xi1xi/即： E yi yi0 xi1xi/xixi/xi/xixi/yi也就是僅僅考慮利用觀測所獲得的正的數(shù)據(jù)* 來估計Tobit模型，所獲得的參數(shù)的估計是有偏的， 并且其數(shù)值大于xi，并且依賴于，這就是僅僅運用正觀測值子樣本來估計Tobit模型的不合理性。3）、我們知道，對于Tobit模型有這樣的結(jié)論：xiEyi| yi0 xixiixiixii（ 1 ）i這里，xi，xii，。iii如果有關(guān)于i 的估計，就可得到的一致估計。James Heckman設(shè)計出了一種相對比較簡單的兩步估計法， 但這個估計法能

20、夠得到的一致估計。（ 1）在重復(fù)觀測不可得的條件下，具體的估計步驟如下：第一步， 我們通過Probit模型來區(qū)分 “y*0 ”的觀測和 “y*0 ”ii的觀測，可以得到：Pz1 xPy*0 xPxxx，iiiiiiii運用極大似然估計方法有：NLPzii 11 xiziPzixiziNzixi1i1N1 zixi（ 2 ）對數(shù)似然函數(shù)為：lzi l n xi1zil n1 xi（ 3）i 1lNzixi根據(jù)：1xxi0 ， 利用數(shù)值運算方法可i 1iixi ?pb以求得 ?，這樣就很容易獲得?。ipbx ?ipbi第二步，我們在獲得了? 之后，考慮下述模型：yixi?ui， （ i1,2, N

21、 ）（ 4 ）i其中，我們假定ui 滿足高斯馬爾可夫條件。于是，運用OLS方法可以得到Tobit模型的參數(shù)估計?。但是，需要注意的是， 全可能不滿足高斯馬爾可夫條件，出現(xiàn)序列相關(guān)或異方差的現(xiàn)ui 完象，因此，需要運用廣義最小二乘法(GLS) 或可行的廣義最小二乘法(FGLS) 。一般情況下，由OLS 方法得到的t檢驗是有偏的。另外， Heckman的二步估計法不如Fair的極大似然估計法那樣有效。因此，只要可能的話，最好采用極大似然估計法。計量經(jīng)濟學(xué)博士研究生入學(xué)試題（B）解答一、簡答題1、說明隨機游動過程和單位根過程的聯(lián)系與差異？如何檢驗?zāi)硞€經(jīng)濟變量具有單位根？答：隨機游動過程在形式上與單位

22、根過程完全一樣，但它們之間 的本質(zhì)性差異在t 上。當(dāng)t 是白噪聲時，我們就稱該過程為隨機游動過程（ random walk）；當(dāng) t 是平穩(wěn)過程時，該過程就是單位根過程。隨機游動過程是單位根過程的一種特殊情形，它是非平穩(wěn)過程。如果某個經(jīng)濟變量的數(shù)據(jù)發(fā)生過程滿足ytyt 1ut，假定隨t機干擾項 u 獨立同服從于均值為0，方差為2 的分布時， 檢驗它是否具有單位根可以用迪基和富勒（DF）檢驗； 如果放寬對隨機干擾項的限制，允許隨機干擾項ut 服從一個平穩(wěn)過程，即utc jtj ，在這種的情況下，它是否具有單位根可以用增j 0廣的迪基和富勒（ADF ）檢驗。2、協(xié)積的概念是什么？如何檢驗兩個序列是

23、協(xié)積的？答：如果yt 和xt 都是非平穩(wěn)I 1 過程變量，則我們自然會預(yù)期它們的差，或者諸如etyt12 xt一類的任何線性組合也是I 1 的。但是，有一種很重要的情形就是etyt2 xt是一個平穩(wěn)的I 0 過程。這一情形我們稱yt 和xt 是協(xié)積的。協(xié)積意味著yt 和xt 擁有相似的隨機趨勢， 于是它們的差et 就是平穩(wěn)的， 它們相互之間絕不會偏離太遠。協(xié)積變量yt 和xt 之間表現(xiàn)出一種定義為yt1xt 的長期均衡關(guān)系，而 et 是均衡誤差，表示對長期均衡關(guān)系的一種短期偏離。通過檢驗誤差etyt12 xt是否平穩(wěn)，我們判斷yt 和xt 之間是否協(xié)積。因為我們不能觀察et ，所以就使用迪基富

24、勒（DF）檢驗，通過檢驗最小二乘估計的殘差e?tyt?1?2 xt的平穩(wěn)性來替代。3、在二元離散選擇的模型中解釋變量xik變化作用的符號與其系數(shù)k 的符號有什么關(guān)系？為什么？至少寫出二點關(guān)于Tobit 模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別？答：在Probit模型、 Logit模型中的參數(shù)是無法直接解釋的。我們可以通過如下微分來考察這些模型：xi xik1exp12xi22xik（ 1 ）G xiexi1exiexi2exiexi（ 2）2xik1exik1exi這里，xi表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)密度函數(shù)。這些微分度量了xik 變化的邊際作用。xik變化的邊際作用都依賴于xik的數(shù)值。 在（ 1）和（ 2）兩種情

25、況下，xik變化作用的符號與其系數(shù)k 的符號是相一致的。Tobit 模型與二元離散選擇的模型的區(qū)別：（ 1）概率單位模型和 Tobit模型的區(qū)別是前者因變量使用的是啞變量，后者因變量使用的是刪尾的連續(xù)變量；（ 2 ） Tobit模型中 yi0 要比 yi0 時yiyi有更重的權(quán)數(shù)， 因為有Pr yi0 | xiPr yi0 | xi，這是其它離散選擇模型所不具備的。4、海德拉斯（ Hildreth ）和盧（ Lu） (1960) 檢查分析了 30 個月度的時間序列觀測數(shù)據(jù)（從 1951 年 3 月到 1953 年 7 月）， 定義了如下變量：cons =每人冰激凌的消費量（按品脫計） inco

26、me =每周平均的家庭收入（按美元計） price =每品脫冰激凌的價格（按美元計） temp =平均氣溫（ F）1）、用 cons對 income， price， tem和常數(shù)作線性回歸模型，得到DW統(tǒng)計量的數(shù)值為1.0212 ，請說明模型存在什么病態(tài)？答：說明模型的隨機誤差項可能存在序列相關(guān)，因此，用cons對 income，price，tem和常數(shù)作線性回歸模型所得到的參數(shù)估計可信度低。2 ）、上述模型中加入平均氣溫的一階滯后項tem(-1)，得到DW1 .5822 ，并且該項的系數(shù)估計為負，請說明加入該項的作用以及系數(shù)為負的經(jīng)濟含義。答：模型中加入平均氣溫的一階滯后項tem(-1)后，

27、有助于改善隨機誤差項存在序列相關(guān)所帶來的干擾和影響；該項系數(shù)為負說明，如果上月的平均氣溫很高，當(dāng)月趨于正常的話，當(dāng)月每人冰激凌的消費量不會保持上個月的高水平，只會有所下降，并與當(dāng)月的平均氣溫呈正向因果關(guān)系；反之也一樣。3 ）、請寫出2 ）中模型的另一種表達式，說明該表達式中變量系數(shù)的符號，解釋符號的經(jīng)濟意義。答：若const01 pricet2incomet3tempt4 tempt 1t ，且其參數(shù)滿足：10 ，20 ，30 ，40，且有34 ，因為，一般當(dāng)月的平均氣溫對每人當(dāng)月冰激凌的消費量影響最大。我們可以把上述模型進行變形，即：const01 pricet2 incomet(34 )t

28、empt4 (tempttempt 1 )t01 pricet2incomettempttemptt其中，各個變量的系數(shù)滿足10 ，20 ，0 ，0。這說明每人月冰激凌的消費量受價格的抑制影響，而收入與當(dāng)月的平均氣溫與每人冰激凌消費量的走向一致，當(dāng)月平均氣溫的變化量與每人冰激凌消費量的變化也是一致的。4、說明R2 和調(diào)整的R 2 之間的差異， 為什么在多變量線性回歸模型的擬合評價中人們主要用R 2 ，而不是一般的決定系數(shù)R 2 呢？答：由于 R211N2ei 1N( p1)iNSSE/Np11， 而1N1i 1 N2ei2yiySST/N1NR21i 1yii 11SSEy 2SST因此，當(dāng)模

29、型中引入另外的回歸變量時，無論這個變量是否合理，即：R 2 值永遠不會減小。R 2 是用于修正自由度的擬合優(yōu)度度量，R211N2eiN( p1)i 1NSSE/Np111N11R 21N1i 12yiySST/N1Np1于是，當(dāng)模型中引入另外的回歸變量時，R 2 值也許就會減小。因此， R 2 并不依賴于模型中解釋變量的個數(shù)，這也就是在多變量線性回歸模型的擬合評價中人們主要用R 2 ，而不是用一般的擬合優(yōu)度 R2 。5、對于一種簡化的異方差模型，即假定：Vari / xi2 h2 ，這里ii假定 hi 可以被 h? 估計的。那么關(guān)于參數(shù)的可行的廣義最小二乘估計（ FGLS）量如何得到？它是否還

30、具有廣義最小二乘估計的優(yōu)良性質(zhì)？答：假定Var/ x2 h 2 ， h 是已知的。 于是， 關(guān)于參數(shù)的廣義最iiii小二乘估計（ GLS）量適用于下述轉(zhuǎn)換了的模型：yi( xi )ihihihi很明顯，轉(zhuǎn)換了的模型的隨機擾動項具有同方差。這樣，就產(chǎn)生了 GLS 估計量：?GLSNx2hiii 1xi 1 Nx2hii yii 1i由于 hi 可以被 h? 估計，則得到參數(shù)可行的廣義最小二乘估計（ FGLS ）量，即?Nh? 2 x x 1 Nh? 2 x yFGLSiiii 1iiii 1FGLS顯然， ?不再具有無偏性的性質(zhì)，但一致性繼續(xù)保持。7、在美國有人對密歇根的AnnArbor的大學(xué)生

31、進行調(diào)查，認為 男生和女生對空間（用ROOMPER度量）和距學(xué)校的距離（用DIST 度量）具有不同的觀點。試問如何利用租金（用RENT 度量）數(shù)據(jù)對下述模型：RENT12SEX3ROOM PER4DIST用 F 檢驗法檢驗假設(shè)Var男Var女？注： SEX 為虛擬變量（ 1；如果是女生 ;0 ；如果是男生） 。答：假定被調(diào)查的男大學(xué)生和女大學(xué)生人數(shù)分別為N1 和 NN1 ，利用被調(diào)查的男大學(xué)生和女大學(xué)生的數(shù)據(jù)分別對下述模型：RENTi12 ROOMPER i3 DIST iiN1NN1ee221i1i?男2女進行 OLS 估計，得到2i 1，i 1。22。2N13(NN1 )32于是，對原假設(shè)

32、H 0：男2和備擇假設(shè)H 1：男女女檢 驗 統(tǒng) 計 量 為 F2?男2在 原 假 設(shè)女H 0：男2成 立 時 服 從女FN13, NN13分 布 。 若 FF1N1, NN13， 則 拒 絕 原 假 設(shè) 設(shè)H 0 ， 認 為Var男Var女成立；否則，就認為Var男Var女不成立。8、為了研究美國住房需求情況，我們利用對3120個家庭調(diào)查的截面資料資料，對以下回歸模型：log Q12 log P3 log Y其中Q=3120個家庭中的任何一個家庭每年所需要的住房面積平方英尺數(shù)；P= 家庭所在地住房的價格； Y= 家庭收入。假設(shè)我們認為住房需求由兩個方程組成，一個描述黑人的住房需求，另一個描述白

33、人的住房需求，這個模型可以寫成：log Q12 log P3 log Y；白人家庭log Q12 log P3 log Y；黑人家庭我們希望對黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進行檢驗。這個假設(shè)是聯(lián)合假設(shè)：112233為了對上述假設(shè)進行檢驗，我們首先對上述模型進行估計，并將每個方程的誤差平方和相加，得到ESSUR13640?，F(xiàn)在， 假設(shè)原假設(shè)為真，則模型簡化為log Q12 log P3 log Y所有家庭對這個模型進行估計，得到它的誤差平方和ESSR13838。我們能否認為系數(shù)全相等是正確的？答：對于黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)進行檢驗，我們采用鄒檢驗（Ch

34、owtest ）。在原假設(shè)成立時，F(xiàn)ESSRESSUR3 F3,3114，計算檢驗統(tǒng)計量ESSUR3114FESSRESSUR3198 315.1 ，遠大于 5%顯著性水平時F 3,3114ESSUR311413640 3114的臨界值，所以拒絕黑人需求方程的系數(shù)等于白人需求方程的系數(shù)的原假設(shè)，它們之間存在顯著差異。二、綜合題1、假定模型的矩陣形式y(tǒng)X，其中 E0 ，E X0 ；、假定E2 I，求在 Rr 條件下， 參數(shù)的最小二乘估計量。T、假定E2 I且 是正態(tài)向量N 0,2，構(gòu)造檢驗原假設(shè)H 0 ：TITRr qrank (R) 的檢驗統(tǒng)計量，并說明該檢驗統(tǒng)計量服從 F 分布。、如何判斷參

35、數(shù)線性約束條件是否成立，請做說明。R2 k、證明：對模型顯著性檢驗的統(tǒng)計量F2RT，請說明k1原假設(shè)是什么？其中，R2 是模型yX在無約束條件下作OLS 估計所得到的擬合優(yōu)度。解： 1）、要求在約束條件Rr 下，參數(shù)向量的最小二乘估計量，目標(biāo)是求向量函數(shù)VyXyXRr達到最小。R時的參數(shù)向量?對上述函數(shù)求導(dǎo)可得：d V2 XyX ddRr2d11R（ 1）2 X y2 X X?2 R ?01R?X XX yX XR?OLSX XR?（ 2）因為，（ 3）?RrRROLSR X X1 R ?所以， ?R X X1?1RROLSR11R X XR?RrOLS（ 4）即、1ROLSX XRR X X

36、11?RROLSr（ 5）?根據(jù)上式中帶約束參數(shù)向量的最小二乘估計公式，我們1有：?ROLSX XR11R X XR?RrOLS（ 6 ）從而，可以得到帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計殘差公式：eReOLSXX X111R R X XR?R1rOLSReR eReOLSeOLS?ROLSrR X X11?RR X XX eOLSeOLS XX X111RR X XROLSrR?OLSrR X X11RR X X1X XX X111RR X XR?RrOLS整理以后可得到：eReReO LSeOLSR ?OLSrR X X11?RROLSr0（ 7）也就是說，帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計殘差

37、平方和相對于無參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計殘差平方和會變大， 即：（ 8）eReReUOLS eUOLS要檢驗原假設(shè)H 0 ： Rr 是否成立，需要構(gòu)造檢驗統(tǒng)計量。根據(jù)（ 8）式中所體現(xiàn)的性質(zhì)，我們構(gòu)造F 檢驗統(tǒng)計量：FeR eReUOLS eUOLSq， 這里qrank (R) 。eUOLS eUOLSNp1（ 9）當(dāng)原假設(shè)H 0 ： Rr 成立并且誤差向量不僅滿足高斯馬爾柯夫條件， 還滿足正態(tài)分布時， 可以得到： FeR eReUOLS eUOLSq服從自由度為q, Np1 的FeUOLS eUOLSNp1分布，即 Fq, Np1 。）、對于給定的檢驗水平，若 FF1q, Np1 時，

38、說明帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計殘差平方和eReR 與無參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計殘差平方和eUOLS eUOLS 之間差異顯著，此時，我們對參數(shù)向量的約束條件Rr 不成立，也就是說在原始模型中并不存在參數(shù)之間的這種約束關(guān)系。因此，我們拒絕原假設(shè)H 0 。若 FF1q, N1 時，說明帶約束參數(shù)向量模型的最小二乘估計殘差平方和eReR 與無參數(shù)向量約束模型的最小二乘估計殘差平方和 eUOLS eUOLS之間在統(tǒng)計上沒有什么差異，此時，我們對參數(shù)向量的約束條件 Rr 是合理的，也就是說在原始模型的參數(shù)之間確實存在著這種關(guān)系。因此，我們接受原假設(shè)H 0 。）、注意到無參數(shù)向量約束條件時模型

39、的擬合優(yōu)度（或稱決RU定系數(shù)）2和參數(shù)向量帶約束條件時模型的擬合優(yōu)度（或稱決定2系數(shù)） RR分別為：R1U2SSEU2SSTU, R21SSER SSTUR從而有：SSEU 1USSTU ，SSER 1R SSTURR2可以推得：SSERSSEUeReReUOLSeUOLSUR SSTURR22這樣，殘差形式的F 檢驗統(tǒng)計量：FeR eReUOLS eUOLSqeUOLS eUOLSNp1又可以寫成擬合優(yōu)度形式的F 檢驗統(tǒng)計量：RRUq22FRRU12Np1R2p2因此，當(dāng)對模型顯著性檢驗的統(tǒng)計量FU，則原假設(shè)1RUTp1指的是所有解釋變量的系數(shù)都為零，即2H 0 ：12p0 。也就是當(dāng)H 0

40、 成立時，有RR0 。這時，對模型顯著性檢驗的統(tǒng)計量R2p2FU。1RUTp12、對線性回歸模型：yX， 其中隨機誤差向量滿足高斯 -馬爾可夫條件。、 定義最小二乘估計量b .、 如果 X 的第一列每個元素都是1,證明最小二乘殘差和為零，即ei0 。、 令(,)RK 1K2 , b(b , b),和X( X , X ),推導(dǎo) b和b12121212的表達式。、 如 果 E2與單位矩陣不成比例，試推出b 和 ?(GLS)方差形式。解： 1）、按照最小二乘的思想，我們定義該模型最小二乘估計量bX X1 X y注意，這時我們認為X X是可逆的矩陣。12 ）、令 X, X 1，其中，1，則根據(jù)殘差向量

41、的矩陣形式eyXbIXX X11Xy ，可以得到： X e0 ， 于是可推得：eX eeXX eei0i0， 即有：ei0。11、令 M 1I 1X 1 X 1 X1X 1e1X1， M 21I 2X 2X 2 X 2X 2根據(jù)yX11X 22-（ 1）由（ 1）式左乘 M 1，可得：M 1 yM 1 X11M 1 X 22M 1-（ 2）注意到：M 1 X 10，可得： b2X 2 MX 2X 2 M 1 y-（ 3）同理：M 2 X 20，可得：b1X 1MX111X 1 M 2 y-（ 4）、如果 E2與單位矩陣不成比例，則根據(jù)：Var b11VarX XX y1X XX11Var y

42、XX X可得：V a rb2X XXXX X1由于 E2為對稱正定矩陣，所以存在非奇異矩陣P ，滿足PPI，也就是PP1 。根據(jù)這一性質(zhì)，我們對模型進行變換：PyPXP， 顯然，Var PP2P2 I。因此，對變換11了的模型運用最小二乘估計，得到：? GLSX P PX1 X P PyXXX1 y從而，Var? GLSX1 XX1 (2)1 XX1 X12 X1 X。113、假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資之間存在著恒定的差 別，為檢驗?zāi)贻p男性職員與年輕女性職員受教育的回報是否 相同以及方便起見，在模型中只包含受教育水平和性別二個 定性的解釋變量。試設(shè)計模型既能體現(xiàn)存在恒定的工資差別，

43、又能反映存在受教育回報上的差別，并對模型參數(shù)的估計及 其所蘊涵的意義進行討論。解：假設(shè)年輕男性職員與年輕女性職員的工資(wage)之間存在著恒定的差別，同時為方便起見，在模型中只包含受教 育水平(edu)和性別(female)二個定性的解釋變量。為進行模型分析，我們把定性的解釋變量轉(zhuǎn)換為可進行定 量分析的虛擬變量，即：femalei1,第i個被觀測者是年輕女性 職員0，否則edui0， 第i 個被觀測者沒有受過初1，第i個被觀測者受過初等教2，第i個被觀測者受過中等教3，第i個被觀測者受過高等教等教育育育育由于本問題涉及的解釋變量多于1個虛擬變量，因此， 當(dāng)被解釋變量取為logwage時，這些

44、虛擬的解釋變量系數(shù)就具有一種百分比的解釋。為檢驗?zāi)贻p男性職員與年輕女性職員受教育的回報是否相 同，考慮到加入解釋變量交互項能夠產(chǎn)生不同的斜率這一作用，我們設(shè)計如下模型：logwage i0 femalei1 femaleieduii-（ 1 ）在（ 1 ）式中代入femalei0 ，就會發(fā)現(xiàn)，年輕男性職員這一組的截距為0 ，而受過初等教育的斜率為1 。對于年輕女性職員這一組，代入femalei1；于是其截距為00 ，而受過初等教育的斜率為11 。因此，0 度量了年輕男性職員與年輕女性職員在截距上的差異，1 度量了年輕男性職員與年輕女性職員在受過初等教育回報上的差異。要估計模型（ 1），我們可以把它改寫成：logwage i00 femalei1edui1 femaleieduii（ 2）對模型（ 2 ）中我們可以用OLS 方法估計出參數(shù)0 ,0 ,1 ,1 。對于0 ,1的取值可以分成如下四種情況：（ 1） 00 ， 10 ； （ 2） 00 ，