多元函數(shù)微分法講義全

1、多元函數(shù)微分講義第10章多元函數(shù)的微分10.1多元函數(shù)：1.平面點集由所有有序?qū)崝?shù)對組成的集合稱為二維空間，記為（或），（其實這里的二維空間概念就是解析幾何中的二維空間概念）。我們來看看這里二維空間的幾何意義。顯然，它只對應(yīng)直角坐標(biāo)平面上的一個點。相反， 中的有序數(shù)對對應(yīng)于矩形平面上的一個點。 ，它們的本質(zhì)是一樣的，無法區(qū)分，所以：可以看成直角坐標(biāo)平面，坐標(biāo)平面也可以看成二維空間。收集。2.平面上兩點之間的距離（解析幾何已知：）：集合中的兩點稱為兩點P 1和P 2 之間的距離。存在三角不等式。讓學(xué)生回憶：數(shù)軸上鄰域的概念（一維空間的場）：3. 定義2：設(shè)以該點為圓心，以半徑為半徑的所有點的集合

2、：稱以該點為圓心，以半徑為 的圓場：幾何上：圓形場是平面上的開放圓：討論：集合代表一個什么圖形？中心為邊長的開矩形的所有點的集合稱為以中心為半徑的正方形鄰域。圓中有方，方中有圓。 方場等價于圓形場。圓形場和方形場統(tǒng)稱為中心，半徑場記為。去除鄰域中心稱為中心去除場，記為。討論：心智領(lǐng)域如何表達：圓心場，方心場：當(dāng)不需要半徑時，該字段可以縮寫為使用域的概念，可以定義兩個特殊的概念：開放區(qū)域和封閉區(qū)域。3、定義3：設(shè)平面點的集合，即平面上的一個點。1) 如果有，則稱為點。2) 如果它既包含 中的點又包含不屬于 的點，則稱為邊界點，由所有邊界點組成的集合稱為點集的邊界。1）討論：點和邊界點有什么區(qū)別？

3、關(guān)鍵是有一個正數(shù)，所以以圓心為半徑的場完全包含在圓心內(nèi)。如果中心有點且不屬于它的點，則為邊界點。討論：下面的點是一個點還是一個邊界點，為什么？2)有多少邊界點？他們都屬于嗎？邊界屬于?（）（2）(1)3）如果該場包含無限個點，則稱為聚集點。 （討論如上圖，一個點是不是聚集點？邊界點呢？（不一定?。┚奂c一定屬于嗎？）4) 若,則稱為有界點集，否則稱為無界點集。討論：以下點集是有界的還是無界的？1) =2）第一象限： =3) =4.定義：設(shè)平面點的集合：（開放區(qū)域和封閉區(qū)域統(tǒng)稱為區(qū)域）1）如果任何一點是一個點，并且任何兩點都可以通過屬于它的折線連接（稱為連通性），則稱為開放區(qū)域。 （如上圖）2)

4、 由開放區(qū)域及其邊界組成的區(qū)域 G 的封閉區(qū)域。討論：以下點集是開放區(qū)域還是封閉區(qū)域。并指出它的有界點、收斂點和邊界點。1) = (開放區(qū)域，有界.)2) =3) =4) = (封閉區(qū)域，無界)5） = （不是一個區(qū)域（-？沒有點；只有一組邊界點）6) = ( 為區(qū)域的邊緣， 表示拋物線以下所有點組成的點集，不包括邊界)5.有界區(qū)域的直徑：設(shè)為有界區(qū)域，設(shè)稱有界區(qū)域的直徑，記為：.討論：下列點集的直徑( ) = ?1) = 2) 矩形： =3) 是一個無界區(qū)域（沒有直徑） 4) ,.注：上述定義和定理（概念）可以推廣到n維空間。示例：畫出以下一組點，并分別表示開放、封閉、有界、焦點、邊界點和邊

5、界。2) =3) =1) =解：1）是二維空間中的一個點集， ， 點集的邊界是（是一個無界封閉區(qū)域）2)是二維空間中的點集，邊界是曲面， 是橢球上的點，不包括球面上的點，是有界開放區(qū)域。3）是點集，邊界是三個坐標(biāo)平面和平面， 是這四個平面包圍的四面體的整點，是一個有界封閉區(qū)域。作業(yè) P152 1, 5二變量函數(shù)1、二元函數(shù)的定義：設(shè)它是一個二維空間的非空子集。如果根據(jù)一定的對應(yīng)規(guī)則，它們都唯一地對應(yīng)一個實數(shù)，那么對應(yīng)規(guī)則就稱為上面定義的二元函數(shù)，寫為， 。被調(diào)用域，將所有函數(shù)值組成一個集合：稱為函數(shù)的值域。例如：是一個定義在封閉圓上的二元函數(shù)。2. 二元函數(shù)圖二元函數(shù)的定義域是，顯然，它是平面

6、上的一組點。 ，都對應(yīng)一個函數(shù)值，所以確定了一個點。當(dāng)V改變時，得到V中的幾個點，這些點組成的集合稱為函數(shù)的圖像。一般來說，二元函數(shù)的圖是 中的一個曲面。示例：確定什么圖是以下函數(shù)的圖1) ( )上半球在一個封閉的圓上。2) , 是一個在三個軸上有截距的平面。當(dāng)存在三個自變量時，稱為三元函數(shù)，當(dāng) . 為單變量時，稱為元函數(shù)（參見 P144 中的定義）， .具有兩個或多個變量的函數(shù)稱為多變量函數(shù)。為什么將函數(shù)分為一元和多元？因為當(dāng)一元函數(shù)過渡到二元函數(shù)時，一些屬性會發(fā)生變化，但是當(dāng)從二元函數(shù)過渡到三元函數(shù)時，屬性是完全一樣的。我們知道二元函數(shù)的定義域是 中的一組點，它的圖像是一個曲面（一般來說）

7、，三元函數(shù)的定義域是一個實體，函數(shù)的圖像是一組分，沒有同和模型。例子：求下列多元函數(shù)的定義域，并指出定義域所代表的圖，1) 2)3)解決方案：1）定義域是具有上邊界的半平面（不包括邊界）2) 是一個以中心 1 和 2 為半徑的閉環(huán)。3) =是由上面的球體包圍的開放球體。示例：已知求作業(yè)：P143 9、10、11、123. 二元函數(shù)的極限在單變量函數(shù)中，表示當(dāng)在 X 軸上時，從軸的兩側(cè)以任何方式趨于超過，用“”語言描述，.那么二元函數(shù)的極限呢？設(shè) P為的域 D 的焦點。 A 是一個常數(shù)。 二元函數(shù)自變量的變化范圍不再只是軸上的一個區(qū)間，而是平面的一個平面區(qū)域。所以二元函數(shù)的極限應(yīng)該是：當(dāng)運動點在

8、任意路徑上以任意方式運動 （趨向于 路線可以是直線、拋物線或任意曲線）有： ，則A的極限此時調(diào)用的二元函數(shù)記為，而 ，則以上的極限可以改寫為：根據(jù)上面的描述，這只是一個圖像， “ ”的嚴(yán)格定義如下。(1)雙極限定義：設(shè)函數(shù)在區(qū)域有一個定義，是的，收斂點，是一個常數(shù)。如果，則稱該函數(shù)在點double limit 。因為：上面的定義可以寫成：定義：假設(shè)定義在點集 上，是D的聚合點，是一個常數(shù)。如果則稱該函數(shù)有一個極限 A，記為。1）解釋定義的含義： ，一旦點進入中心的偏心鄰域，該點的函數(shù)與A值的函數(shù)值的絕對值小于。2) 上述定義可寫為：例子：用“ ”來定義證明：1） 1）分析：用定義證明二元函數(shù)極

9、限的方法與一元函數(shù)是完全確定的：一元函數(shù)和二元函數(shù)。第一個可以由解決一個涉及 and 的不等式，可以通過觀察找到。證明：1）( 本題的領(lǐng)域是, 想辦法在絕對值中求出) ， 有。2) 分析： ( 為了擴大和消除右邊的不等式，需要將點限制在某個鄰域內(nèi)以找到它們的邊界。（將其限制在點的“ ”域中），證明：取，限：, 使成立，拿去吧。討論1：限制的目的是什么？半徑不取，可以嗎？示例：證明：函數(shù)在原點 (0,0) 的極限為 0。在原點（0,0）定義的函數(shù)。 （不！）證明： 0，（分兩種情況討論。? 進入以(0,0)為中心的域時，函數(shù)值有兩種情況）；1）當(dāng)時，顯然兩者2) 什么時候， 總之：從這個問題可以

10、看出，(0,0)處沒有定義，但是有一個限制。 函數(shù)在P 0點的極限與是否在P點定義無關(guān)。討論2：沿著固定的路徑可以說是有限制的，趨向于：（不能）。示例：證明原點 (0,0) 沒有限制分析： 極限的定義是指：無論點如何以任何方式超過時間，無論是什么路徑，都沒有極限，所以要證明沒有極限，只需要證明時間超過沿著兩條不同路徑的時間，時間超過不同的兩個數(shù)；或者沿著某個路徑?jīng)]有限制。 （ 可以通過觀察走兩條特殊路徑來證明）。證明：當(dāng)運動點趨向于沿直線的點 時，有：.當(dāng)移動點沿拋物線接近 (0,0)時。 (0,0) 點沒有限制。課堂作業(yè)：證明： (0,0) 處沒有限制。走路徑： 1) ; 2)作業(yè)：P155

11、 1、3、4前面我們談到了時間的極限概念，下面對這個概念進行擴展。一元函數(shù)有： ，類似的定義：1):2):3):上面我們講的二元函數(shù)的雙極限，本質(zhì)上是：兩個不相關(guān)且獨立的變量，當(dāng)它們以獨立且任意的方式同時存在時，則稱A在該點的雙極限（即：limit ) 的二元函數(shù)。雙極限的性質(zhì)及相關(guān)定理與一元函數(shù)的極限類似，省略：先說一個新的極限：二次累積極限(2) 第二次累計限額：(1)如果在那個時候（作為一個常數(shù)），函數(shù)有一個極限， let ，并且在那個時候，有一個極限: ，那么 B 稱為點 :之前的二次累積極限，(1)如果在那個時候（作為一個常數(shù)），函數(shù)有一個極限 let ，并且在那個時候，有一個極限:

12、 ，那么在點 :之前稱為二次累積極限，注：一般情況下，不一定等于 C。實際上，二次累積極限就是兩次求一維函數(shù)的極限。例子：問因為雙重極限和第二次累積極限是兩個完全不同的概念， 它們沒有必然聯(lián)系。注：1 、因為兩個累積界限：實際上是右一元函數(shù)不同階的界限，所以兩個累積界限可能不同，甚至一個存在另一個不存在；例如：不存在（存在，不存在）；并且可能不存在累積限制。注 2.有雙重限制，但可能不存在累積限制；或兩個累積限制相等，但可能不存在雙重限制：例如： ，在原點（0,0），兩個累積極限存在且相等，但雙極限不存在；例子。證明：函數(shù)存在于(0,0)雙極限，但不存在于累積極限。證明： 很明顯，累積限制的計

13、算比雙倍垂直限制要簡單得多，所以我們要通過累積限制來計算雙倍限制，那么在什么條件下它們相等呢？4. 定理：如果一個二元函數(shù)的雙重極限和累積極限(存在，則：推論：（充分條件）：如果存在以下三個極限：，則兩個累積極限存在且相等；等于它們的兩個垂直限制：例子：已知：在點（0,0）有一個雙重極限，找到；作業(yè)：P156 74. 二元函數(shù)的連續(xù)性我們曾經(jīng)定義過一元函數(shù) unary function at a point： continuous: if ，則稱它在該點是連續(xù)的。我們可以將此定義推廣到二元函數(shù)和元函數(shù)：(1) 定義：假設(shè)在區(qū)域中定義一個二元函數(shù)，點(a, b) ，如果： ，則稱它在( , )中

14、是連續(xù)的。討論：如何將上述定義寫成“點符號”：該函數(shù)定義在區(qū)域、點、if中，則稱為二元函數(shù)。即：設(shè)為區(qū)域的點，在，示例：已知。定義：如果二元函數(shù)在區(qū)域內(nèi)的每一點上都是連續(xù)的，則稱該二元函數(shù)在該區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的。2. 連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)（ 150 ）1) 如果所有點都是連續(xù)的，那么; , ( )在點上也是連續(xù)的，稱為連續(xù)函數(shù)的四次運算。2) 連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)也相連。 （第150 頁）3）Th4（號碼保護）4) 如果二元函數(shù)的一元關(guān)于或是初等函數(shù)，則稱為二元初等函數(shù)。二元初等函數(shù)在定義點處是連續(xù)的（通常，以解析表達式表示的二元函數(shù)是初等函數(shù)）。研究Th3-Th8下面介紹不連續(xù)點的概念：請想一想點續(xù)時應(yīng)

15、該滿足的幾個條件：1) In有定義； 2）有限制； 3）在極限值等于它的函數(shù)值。以上三項中的任何一項都破壞一項，并且功能在該點不連續(xù)。定義：如果是不連續(xù)的，則稱為不連續(xù)點（或不連續(xù)點）。二元函數(shù)的不連續(xù)點集通常是平面中的曲線。 （裂縫）示例：找到以下函數(shù)的不連續(xù)點并指出其圖形1) 2)解決方案：1）你得到. 不連續(xù)點集合 (0,0) 和.示例：找到以下限制：1) 2) (Let , then) 3)4)二元函數(shù)的上述定義和性質(zhì)可以擴展到元函數(shù)。作業(yè)：（參考）5； 6.10作業(yè)評論：1. 以下做法是否正確，為什么？（正確與否的關(guān)鍵在于判斷是否存在）上述做法是錯誤的。 由定理可知：只有存在雙重極限

16、和累積極限時，才能做到以上。正確方法： make ，然后公式 = =2( ) =2( )2、注意：訂購，然后。3. 如果函數(shù)限于區(qū)域=(x,y)|y|x 2 ，則示例函數(shù)在原點 (0,0 ) 處有一個限制 (about )。分析：這里移動點P(x,y)的變化范圍為，P只能取的點：|y|x 2 ，只需要證明：（即：滿足條件的點P |y|x 2 ( x, y): 是的，搜索方法同上一個。證明： ;使隨便?。ㄗⅲ翰话ㄔ诓坏仁街?，表示可以保證任何時間）證明： ,兩者都取.#。討論：能量可以說是處于 (0, 0) 的雙重極限嗎？ （不，雙極限的移動點必須是鄰域的整個點： , ，但是上題中的P不能取整個

17、M域的點，只能?。?。 不是雙重極限，而只是限制在，實際上在 (0,0) 處沒有雙重極限。當(dāng)移動點沿 x=c軸趨向于 (0,0)時，當(dāng)y=0 沿 x 軸趨向于 (0,0) 時， .作業(yè)： 1（1），（2）； 6； 7; 10個； 11.10.3 多元函數(shù)的微分在說多元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)之前，我們先回憶一下導(dǎo)數(shù)的概念：假設(shè)有一個定義：如果將單變量函數(shù)導(dǎo)數(shù)的概念擴展到多變量函數(shù)是偏導(dǎo)數(shù)的概念，下面將討論：偏差變量：設(shè)置區(qū)域定義的二進制函數(shù)，是的，該點將被視為一個常數(shù)，給一個變量，然后得到另一個點（ ） ，這兩個點的函數(shù)值之差：稱為該點大約x 的偏置變量。同樣：將變量稱為關(guān)于點的偏導(dǎo)數(shù)。函數(shù)在該點的偏轉(zhuǎn)變量與

18、它的比值存在極限，則該極限稱為x點的偏導(dǎo)數(shù)，記為( )。出于同樣的原因：，稱為關(guān)于 的偏導(dǎo)數(shù)，表示為示例：已知： ，查找解決方案：當(dāng)它是該區(qū)域的任何一點時：二元函數(shù)在任意點的偏導(dǎo)數(shù)為：（稱為關(guān)于 的偏導(dǎo)數(shù)）（稱為關(guān)于 y的偏導(dǎo)數(shù)）它們?nèi)匀皇?, 的二元函數(shù)，也稱為偏導(dǎo)數(shù)。由于偏導(dǎo)本質(zhì)上是導(dǎo)數(shù)的概念，所以求偏導(dǎo)時，只要把它看成一個常數(shù)，就可以得到導(dǎo)數(shù)。 示例：知道，詢問，示例：給定： ，求關(guān)于,的偏導(dǎo)數(shù)。分析：是分段函數(shù)，對于不同的表達式，應(yīng)該分不同的情況來計算。解：當(dāng), （是連續(xù)可導(dǎo)函數(shù)，可以直接求偏導(dǎo)數(shù)）當(dāng) ( , ) = (0, 0) 時（就是求節(jié)點的導(dǎo)數(shù)，只能根據(jù)定義求） ,示例：設(shè)置。

19、解析：求 時，將其視為常數(shù)，求導(dǎo)。解開：示例：讓, , 找到分析：函數(shù)是和=的復(fù)合函數(shù) eq r( , ) ，由函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則組成：（也可以兩邊取對數(shù)再取導(dǎo)數(shù)）。解：通過復(fù)合函數(shù)的推導(dǎo)規(guī)則請學(xué)生自己計算以下兩項。課堂作業(yè)，計算和推導(dǎo)，解：讓，則，由復(fù)合函數(shù)的推導(dǎo)規(guī)則在單變量函數(shù)中，導(dǎo)數(shù)在一點的幾何意義是曲線在 處的切線斜率。那么偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義是什么？的幾何意義：曲面與過軸點且垂直于y軸的平面的交點方程為：偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義：表示通過交點上的點的切線的斜率；表示通過曲線上一點的切線的斜率。在單變量函數(shù)中，若可微，則為連續(xù)，即連續(xù)是可微的必要條件。那么這個屬性在二元函數(shù)中是否成立？實際上：注意：在

20、二元函數(shù)中，即使點有兩個偏導(dǎo)數(shù)，也不存在連續(xù)性，這是多元函數(shù)和單變量函數(shù)的區(qū)別。示例：證明在 處有兩個偏導(dǎo)數(shù)，但在原點處不連續(xù)。證明：相似地（要證明不連續(xù)性，只要證明沒有極限）當(dāng)傾向于, _當(dāng)趨于, , , 如此連續(xù)。作業(yè)：P176 1、2、2全微分：我們曾經(jīng)在一元函數(shù)的情況下定義了函數(shù)在一點的微分的概念：如果函數(shù)在一點的變化可以表示為：（即表示為和的線性函數(shù)的高階無窮?。?jù)說在微中可用，并且把就差異化而言，我們將進一步介紹： 。這個概念可以推廣到多元函數(shù)，也就是下面的全微分概念：2、全微分的定義：如果二元函數(shù)在該點的全變：可以表示為：, 其中是一個獨立于 , 的常數(shù)。稱二元函數(shù)在該點可微，線

21、性主部分稱為函數(shù)在該點的全微分，記為注：全微分的定義必須滿足兩點： 1）線性（一階）函數(shù)（即A、B和不相關(guān)常數(shù)）。 2)是高階差小( )，即在上面的定義中，我們自然要問系數(shù)A和B是什么？3. 定理：（可微的必要條件）：如果二元函數(shù)在一點可微，則該函數(shù)有兩個偏導(dǎo)數(shù)和，和， 。的必要條件，上述定理實際上告訴了我們什么？證明： 在點存在全微分。 , make , 想想它變成了什么？但 存在，出于同樣的原因： = 。由上述定理： ，當(dāng)它在區(qū)域 中的任意一點可微時，稱它在區(qū)域中可微，并且。這里我們要指出：在一個變量的函數(shù)中，一點可微是可微的，但在兩個變量（或多變量）的函數(shù)中：微分存在于兩個偏導(dǎo)數(shù)（即：

22、; 但微分中有兩個偏導(dǎo)數(shù)（可微） 。注意：在二元函數(shù)中，“可微”只是“可微”的必要條件而非充分條件。示例：設(shè)，證明可微但不可微。證明：從第 17 頁的上一個示例： ，在點是可微的，并且 ，拿。那么, 不是高階無窮小 , , 。所以自然要問，在什么條件下可以區(qū)分？也就是充分條件。4. 定理（可微的充分條件）：如果存在偏導(dǎo)數(shù)， ， ，并且兩個偏導(dǎo)數(shù)在二元函數(shù)的鄰域中是連續(xù)的，那么它是可微的。注意：點 的偏導(dǎo)數(shù)，連續(xù)只是可微性的充分而非必要條件。示例： set = ，則函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)在 點不連續(xù)，但在 點可微。分析：首先計算偏導(dǎo)數(shù)。證人：當(dāng)時，當(dāng)時，因為：=相似地（以下證明導(dǎo)函數(shù)是不連續(xù)的）取坐標(biāo)

23、軸，當(dāng)移動點P軸超過, 在 (0,0) 處沒有雙重限制，并且在原點處不連續(xù)。（以下證明它在點（0, 0）處可微，只需證明：）因為：，所以：（注： ） 。點, 0.01, 0.03處數(shù)字的總微分，并計算：的近似值。解： , 函數(shù)在 (2, 01, 1, 03)+0.0278=0.6944上述全微分的概念也可以推廣到多元函數(shù)：點的全微分：示例：計算= 的總微分。注：在單變量函數(shù)中，一階微分具有形式不變性，而高階微分不具有形式不變性。這個屬性對于多元函數(shù)是真的嗎？多元函數(shù)也具有一階全微分的形式不變性，而高階全微分沒有形式不變性。作業(yè)：P177 9、10、11、16、154、全可微的幾何意義（偏導(dǎo)數(shù)在

24、幾何中的應(yīng)用）：一元函數(shù)的可微函數(shù)的幾何意義是：曲線在該點有切線，斜率為： 。那么二元函數(shù)的可微函數(shù)的幾何意義是什么？(1) 切割直角和法線：在空間解析幾何中，我們知道一個三元線性方程代表一個平面，一個三元高階方程代表一個曲面S ：。假設(shè)空間中有一個曲面S，它的方程為，該點是曲面S上的一個點，那么曲面S可以看成是由通過點M的無數(shù)條平滑曲線組成，每條平滑曲線都有一條切線在點，通過點 M。點也有無數(shù)條切線（由立體幾何知識：）這些無數(shù)的切線位于同一個平面上，所以這無數(shù)的切線構(gòu)成了一個平面，稱為曲面S在該點的切平面，通過該點并垂直于該切線的直線平面稱為該點的表面 S。法線稱為切點。(2) 定理：二元函

25、數(shù)是點P 0 (x 0 , y 0 ) 處的可微平面 ：是表面 S：在切平面上。曲面S：在切平面內(nèi)，切平面的法向量為：.而這個法向量正是法線的方向向量，所以法線方程：注：（必然：）函數(shù)在一點可微的幾何意義是：從曲面S有一個切平面：z=，該切平面的法向量為： 。這為我們理解全微分提供了一個很好的幾何模型。頂點不存在切面, 函數(shù)點(0,0,0) 不可微。注：在解析幾何中，我們知道：空間矢量與三個坐標(biāo)軸的正夾角；稱為向量的方向角。方向角的余弦稱為向量的方向余弦。矢量也稱為空間直線的方向余弦。從解析幾何已知：如果，則.示例：求點 M (2 1 4) 處曲面法線的切平面、法線和方向余弦。解： , , 切

26、平面的法向量：正常： , , .作業(yè)：P188：12、15、165. 復(fù)合函數(shù)的微分現(xiàn)在說一下多元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)的微分法：1. 定理：若二元函數(shù)在點的鄰域存在連續(xù)偏導(dǎo)（可微） ，且可微分，則復(fù)合函數(shù)可在地面上微分，且。定理的含義是：函數(shù)和復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：是：z對第一個中間變量的偏導(dǎo)乘以第一個中間變量的導(dǎo)數(shù)，加上第二個中間變量的偏導(dǎo)數(shù)乘以第二個中間變量關(guān)于 t 的導(dǎo)數(shù)。示例：讓, where , , 計算解決方案： , 和,熟悉后，可以直接計算：討論：這個問題是否可以從一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)導(dǎo)出： _當(dāng)然，一般情況下，使用一元函數(shù)的復(fù)合函數(shù)來求導(dǎo)數(shù)在計算上比較麻煩。課堂作業(yè)：計算以下導(dǎo)數(shù)1, , ,

27、 (.2, , , 問注意：函數(shù)本身包含自變量。此時，我們可以將復(fù)合函數(shù)中包含的自變量視為中間變量。此時，自變量是相對于其他自變量的常數(shù)。即：復(fù)合函數(shù)是由函數(shù)和中間變量組成的，復(fù)合成復(fù)合函數(shù)：） 解：那么可以直接寫成：上述定理實際上解決了復(fù)合函數(shù)為一元函數(shù)的求導(dǎo)問題，那么如果復(fù)合函數(shù)不是一元函數(shù)而是二元函數(shù)怎么辦？例如： by , and , , seek 。推論：如果二元函數(shù)在該點處可微，且在該點處存在偏導(dǎo)數(shù)，則； .例子。已知, , , 發(fā)現(xiàn).解決方案： +課堂作業(yè)：找出以下偏導(dǎo)數(shù)：1.其中, , 計算,2.請求分析：這里是自變量。如果直接計算困難，為了簡化計算，可以考慮復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)方法

28、，這需要引入適當(dāng)?shù)闹虚g變量。解決方案：讓，然后由，注：如果函數(shù)的解析表達式包含中間變量和自變量，解析表達式中的自變量也應(yīng)視為中間變量，并適用復(fù)合函數(shù)的推導(dǎo)規(guī)則：如果在點 ( )處存在偏導(dǎo)數(shù)，但：例子。假設(shè)：解決方案：設(shè)函數(shù)由 組成。 =（注意上面計算偏導(dǎo)數(shù)的時候，首先要找出哪兩個量是自變量，這兩個自變量是獨立的，即：把導(dǎo)數(shù)當(dāng)作常數(shù)！）課堂作業(yè)：討論如何使用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)規(guī)則來計算以下偏導(dǎo)數(shù)：(1) (2) ( ,為自變量，階)然后。（變化時，t不變，相對于為常數(shù)）2、但：當(dāng)中間變量個數(shù)大于2，且滿足定理條件時，結(jié)果類似：若點可微，且完全存在偏導(dǎo)，則復(fù)合函數(shù)：也存在關(guān)于s 和 t 在, 和 :討

29、論：如果中間卷有四、五等，如何求偏導(dǎo)數(shù)示例：讓, , , , , 找到解開：（對于該字母的派生，將此字母視為變量，其他字母視為常量）例子：讓解決方案：讓它被視為復(fù)合函數(shù)）作業(yè)：已知：詢問解決方案：讓,作業(yè)：已知：詢問解決方案：讓,示例：讓where ，計算。分析：這道題的作用與上面的例子不同。 函數(shù)本身包含自變量和中間變量。這時，我們可以把函數(shù)中的自變量看作中間變量，所以函數(shù)可以看作是中間變量。 ,一個復(fù)合函數(shù)組成： 。再由復(fù)合涵洞的微分法：= 。作業(yè) P 174 , 2 (1) (3) (6) (7) (8)（使用復(fù)合函數(shù)的推導(dǎo)規(guī)則）； 5、6、11、125.方向?qū)?shù)在研究方向?qū)?shù)之前，我們

30、先來看看導(dǎo)數(shù)中一元函數(shù)的含義：在一元函數(shù)中，我們稱函數(shù)的變化與自變量的變化之比：平均變化率函數(shù)，函數(shù)的瞬時變化率at 也稱為at的導(dǎo)數(shù)。 的導(dǎo)數(shù)實際上是函數(shù)的瞬時變化率。那么，這個瞬時變化率的物理意義是什么：？設(shè)表示質(zhì)點點的運動方程，（表示距離，表示時間），表示此時質(zhì)點的瞬時速度。瞬時速度不是瞬時速度，速度有方向。 , 而 at表示粒子沿軸正負方向的速度。函數(shù)的瞬時變化率?表示曲線在該點的切線斜率為： 。在二元（或多元）函數(shù)中，偏導(dǎo)數(shù)的含義：實際上表示函數(shù)沿軸（二）方向的變化量，（移動點P是從點沿軸方向的變化量P 0的）。實際上表示二元函數(shù)在平行于軸（二）的方向上的平均變化率，而偏導(dǎo)數(shù)表示函數(shù)

31、在該點平行于軸的兩個方向上的瞬時變化率，其幾何意義表示相交線，在點，切線的斜率。同理，它表示函數(shù)沿y軸在點P 0處的瞬時變化率，其幾何意義是在點處的交點切線的斜率。但在物理、化學(xué)或其他斜向研究中，往往需要研究函數(shù)在P 0點沿任意方向的瞬時變化率，這就是我們下面要介紹的方向?qū)?shù)的概念。1.方向?qū)?shù)：設(shè)射線的頂點為，得到任意變化點，使用，然后：（其中是射線的方向角） 。定義 1任意設(shè)置在作為頂點的射線上，如果存在極限，則稱極限為函數(shù)沿射線在點P 0 處的方向?qū)?shù)，記為或。即： /方向?qū)?shù)是沿射線方向的瞬時變化率嗎？ ( )等價于自變量的變化， 在射線方向上的方向?qū)?shù)就是點在方向上的瞬時變化率。討論

32、2：偏導(dǎo)數(shù)是方向?qū)?shù)嗎？偏導(dǎo)數(shù)實際上是一種特殊的方向?qū)?shù)，當(dāng)時，偏導(dǎo)數(shù)（射線）相反，方向?qū)?shù)是偏導(dǎo)數(shù)在任何方向上的推廣。我們還可以將方向?qū)?shù)（二元函數(shù)）推廣到三元或多元函數(shù)：定義 2，設(shè)空間射線 的頂點，取 上的任意一點，令，如果極限：存在，則該極限值稱為P0處的函數(shù)。同理：三元函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)與方向?qū)?shù)的關(guān)系為：分別表示函數(shù)沿平行軸方向的方向?qū)?shù)；而任意方向的方向?qū)?shù)實際上是任意方向的偏導(dǎo)數(shù)的推廣。注意：方向?qū)?shù)本質(zhì)上是函數(shù)在點 P 0處相對于任何方向的變化量：限制比較：（其中：）這個概念也可以擴展到多元函數(shù)。介紹了方向?qū)?shù)的概念后，我們來研究方向?qū)?shù)存在的條件。下面以三元函數(shù)為例，介紹方向?qū)?shù)

33、存在的條件。Th5，若函數(shù)在點 處可微，則函數(shù)沿任意射線方向的導(dǎo)數(shù)存在于點處，且。（其中： 是射線的方向余弦。）注：Th5告訴我們在任意方向的一點上，方向?qū)?shù)存在的充分條件是：可微分，進一步指出方向?qū)?shù)可以用偏導(dǎo)數(shù)表示：證明：（分析：從可微分處可以得出什么結(jié)論：點處的總變化）= ，那么這個等式怎么算結(jié)論： ，除以等式兩邊證明：是可微的，完全改變了變量。是存在。討論：我們表示該點的射線相對于射線反向的方向?qū)?shù)，那么，它是否存在，如果存在（存在， 和的方向余弦只是一個頁碼， ）討論：分別利用點軸正負方向的方向?qū)?shù)，則：偏導(dǎo)數(shù)存在的充要條件：最后我們指出 Th 的條件只是充分的，不是必要的：也就是說

34、，如果它在該點不可微，則導(dǎo)數(shù)可能沿任何射線存在。示例： 證明：函數(shù)在點 (0,0) 處不可微，但方向?qū)?shù)沿任何射線存在。證明（證明在（0,0）處不可微，只需證明在（0,0）處不存在兩個偏導(dǎo)數(shù)） ,那時，不存在 ，在 (0,0) 處沒有 的偏導(dǎo)數(shù)，同樣也沒有的偏導(dǎo)數(shù)。 在 (0,0) 處不可微。點 (0,0) 沿任意射線方向的余弦為,取點0+ , 0+ 在任意點,所以，有。作業(yè)：P177、6 P188：13、1410.3 二元函數(shù)的泰勒公式1. 高階偏導(dǎo)數(shù)：前面我們看到二元函數(shù)的兩個偏導(dǎo)數(shù)仍然是二元函數(shù)，例如。所以我們可以再次取偏導(dǎo)數(shù)的導(dǎo)數(shù)。記該對關(guān)于 x的偏導(dǎo)數(shù)為或，即： ，還有： f xy

35、(x 1 y) ( )討論：或；或者表格是什么意思？函數(shù), , f yx (x 1 y),的導(dǎo)數(shù)函數(shù)的四個偏導(dǎo)數(shù)稱為該函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù)。 （其中 f xy和 f yx 被稱為混合.）。討論1：如何寫出函數(shù)在一點的二階偏導(dǎo)數(shù)的定義？討論2：二階混合偏導(dǎo)數(shù)f xy和f yx是自度量x 和y 不同階的偏導(dǎo)數(shù)。它們是根等嗎？ （見下面的例子）示例：已知 f(x 1 y) = proof 。證明： ,當(dāng)時 ，=類似地： = .所以：兩個混合偏導(dǎo)數(shù)是關(guān)于不同階的偏導(dǎo)數(shù)，它們不一定相等。那么在什么條件下兩個混合偏導(dǎo)數(shù)相等呢？定理：如果二元函數(shù)在區(qū)域 D 中具有二階混合偏導(dǎo)數(shù)并且它們在點處是連續(xù)的，則這個定理

36、告訴我們，二階混合偏導(dǎo)數(shù)在連續(xù)條件下是相等的。由于二階偏導(dǎo)是偏導(dǎo)的偏導(dǎo)，所以在計算二階偏導(dǎo)時只需要計算一階偏導(dǎo)的偏導(dǎo)即可。示例：的二階偏導(dǎo)數(shù)解決方案： ,課業(yè)，求二階偏導(dǎo)數(shù)：(1)（根據(jù)課堂作業(yè)（2），見后文） 1. 已知： 。2. 設(shè)置。解決方案：讓，然后，所以;課堂作業(yè)：查找( )課堂作業(yè)：示例。認為讓: , 然后: ,例 1，證明：如果,但：分析：實際證明是偏微分方程的解。這只需要找到三個二階導(dǎo)數(shù)。證明：P168 例 2 已知： =- , = , =-，代入等式左邊得到：補充作業(yè)： 1. 證明：滿足微分方程：2. 讓, 找到: ,3. 讓, , , 找到, , .4.設(shè)置，證明：2.二元

37、函數(shù)的中值定理和二元函數(shù)的泰勒公式1. 二元函數(shù)的中值定理：如果函數(shù) f(x, y) 在點 P 0 (x o , y o ) 的鄰域 G 有兩個偏導(dǎo)數(shù)，則完全變化變量：其中，這個定理稱為二元函數(shù)的中值定理。在第一卷中，我介紹了一元函數(shù) y=f(x) 的泰勒公式：若a的鄰域有n+1階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則有：(0 )，設(shè)a=0，我們在a點得到f(x)的麥克勞克林公式。將這個定理推廣到兩個函數(shù)就是下面兩個變量的泰勒公式。2. (P163) 定理 2：如果函數(shù) f(x, y) 在點 P(a, b) 附近有 n+1 階導(dǎo)數(shù)，則有+ .其中符號 (在點 P(a,b) 的值處。當(dāng)點P(a,b)=(0,0)時，就是麥

38、克勞克林公式：f(h,k)=f(0,0)+（想一想：h=x, k=y 的公式是什么形式？）。在二元函數(shù)的泰勒公式中，當(dāng)n=0時，有：f(a+h,b+k)=f(a,b)+ 。這是我們之前為二元函數(shù)介紹的中值定理的另一種形式。2、二元函數(shù)的極值：第一本書學(xué)習(xí)了單變量函數(shù)的極值，將單變量函數(shù)的極值擴展為二元函數(shù)，即二元函數(shù)的極值下面研究。(1) 定義：設(shè)點鄰域的函數(shù)有定義：如果調(diào)用函數(shù)的最大值，并將點稱為函數(shù)的最大值；如果稱為函數(shù)的最大值，該點稱為函數(shù)的最大值點；(2)穩(wěn)定點的定義：方程組解所確定的點稱為函數(shù)的穩(wěn)定點。(3) 定理：若該點為函數(shù)的極值點，則.注意：該定理表明極值點必須是穩(wěn)定點，反之則

39、不然。(4) 極值充分判別法：假設(shè)函數(shù)有一個穩(wěn)定點，在 的某個鄰域內(nèi)存在一個二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)。讓，然后：如果， 是函數(shù)的極值點，和如果，那么它不是函數(shù)的極值點，如果，它可能是也可能不是函數(shù)的極值點。示例 1. 查找函數(shù)的極值。解：因為解是穩(wěn)定的：, (計算, 先求二階偏導(dǎo)數(shù)) , ,A 或 C不要走極端不要走極端不要走極端最大所以它是一個最大值點，最大值是。(4) 二元函數(shù)的最大值：假設(shè)函數(shù)定義在區(qū)域中，（或），稱為函數(shù)在區(qū)域中的最大值（或最小值） ，稱為其最大值點（最小值點）。注意：最大值可能在區(qū)域部分或區(qū)域邊界處獲得，因此必須計算區(qū)域部分的整體極值和邊界的整體最大值并進行比較，以獲得區(qū)域內(nèi)函

40、數(shù)的最大值。示例 2. 求函數(shù)的最大值。解：（先求定義域）函數(shù)的域，穩(wěn)定點， ，邊界， （因為是常數(shù)，可視為最大值或最小值） 所以： ，所以函數(shù)最小值為0，最大值為注意：在一些實際問題中，函數(shù)的最大值可以根據(jù)實際含義來判斷：如果函數(shù)有最大值（或最小值），并且區(qū)域內(nèi)只有一個穩(wěn)定點，那么這個穩(wěn)定點必須是最大值點。例子。用鋼板制作一個沒有蓋子的長方形水箱。當(dāng)問水箱的長寬高分別是多少時，水箱的最大容積是多少？分析：設(shè)水箱的長、寬、高分別為；最經(jīng)濟的鋼板表面積最小，所以：問題轉(zhuǎn)化為：每個最小時，表面積最小。關(guān)鍵是找出和 之間的函數(shù)關(guān)系。解決方法：將水箱的長寬高設(shè)為表面積，然后（想辦法把它轉(zhuǎn)成二元函數(shù)-？

41、）改為：得到：函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有唯一的穩(wěn)定點，由于函數(shù)在區(qū)域內(nèi)有最小值，此時唯一的穩(wěn)定點就是它的最小點。所以當(dāng)：長、寬、高時，鋼板是最經(jīng)濟的。給定一個半徑為 的連通三角形，什么樣的連通三角形面積最大？解析：設(shè)面積為，三個中心角為。因為的形狀是由三個中心角唯一確定的，所以問問題換算成多少，面積最大。三邊對著的圓心角為：，面積為。 , 定義域為: ,，因為函數(shù)在區(qū)域 中只有一個穩(wěn)定點，并且由于函數(shù)在區(qū)域中存在最大值，所以唯一的穩(wěn)定點是最大值點，當(dāng)最大時，則三角形為等邊三角形。作業(yè)：P210: 12.: (1) (3) (4), 13., 14, 11.第11章隱函數(shù)存在定理11.1 隱式函數(shù)的存在17

42、7中已經(jīng)介紹過，一個二元方程F(x,y)=0可以在一定條件下確定一個函數(shù)，由方程F(x,y)=0確定的函數(shù)可以確定的稱為隱藏數(shù)。如果用方程 F(x, y)=0 確定的隱函數(shù)表代數(shù)為: 例如: , 可以求解: , 那么方程確定的隱函數(shù)表示為顯函數(shù), 而這個隱函數(shù)都是初等函數(shù)。示例：找到由方程確定的隱函數(shù)。事實上，隱函數(shù)系統(tǒng)也可以從方程組中確定，例如：在以下條件下確定一個隱函數(shù)群：一般來說，由一個元素方程組成的方程組在一定條件下也可以確定一組由一個函數(shù)組成的隱函數(shù)。現(xiàn)在我們問一個問題：如何研究隱函數(shù)（或隱函數(shù)群）的解析性質(zhì)？ （即：連續(xù)、可微、可微）顯然，如果隱函數(shù)可以表示為顯函數(shù)，則隱函數(shù)的解析

43、性質(zhì)可以轉(zhuǎn)化為顯函數(shù)來研究，但大多數(shù)隱函數(shù)不是初等函數(shù)，因此無法用代數(shù)方法求解。例如，隱函數(shù)是在原點（0,0）的某個鄰域確定的，但隱函數(shù)不能用顯函數(shù)的形式表示。那么如何研究由方程確定的隱函數(shù)的解析性質(zhì)呢？這就是我們下面想要的隱函數(shù)存在定理。1、二元方程確定的隱函數(shù)存在定理：(1)隱函數(shù)存在定理1：若函數(shù)在以點P(x 0, y 0 )為中心的矩形區(qū)域D內(nèi)滿足下列條件：1)2)3) 。那么： )隱函數(shù)使得, , 和二）三） 。討論：定理結(jié)論中的 I) II) III) 說明了什么？示例：驗證方程確定原點 (0,0) 的某個鄰域中的唯一隱函數(shù)并找到它。解： ，以點（0,0）為中心的矩形鄰域是連續(xù)的；

44、 2) F(0,0), 3)由定理 1：在的附近，而注意：求隱函數(shù)的導(dǎo)數(shù)時，可以同時取等式兩邊的導(dǎo)數(shù)，求導(dǎo)時，應(yīng)將隱函數(shù)作為中間變量，復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)規(guī)則應(yīng)用于計算。解：取兩邊的導(dǎo)數(shù)：y+xy , .示例：驗證方程確定點 (1,0) 附近的隱函數(shù)解決方案：訂購，= ，鄰域 D 在點 (1,0) 處是連續(xù)的。 2) F(1,0) , 3)所以由點鄰域中的方程（1-確定隱函數(shù)和）注：以后不需要title的時候，可以直接求推導(dǎo)，不用驗證。示例：找到由方程確定的曲線點處的切線和法線。解： ，切線：2. 定理2 （Book P205）：如果點心矩形鄰域中的函數(shù)滿足條件：i） 。 ii) =0 iii) ，

45、則在該點的鄰域內(nèi)只有一個具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)并且注意：上述定理 2 是定理 1 擴展到元隱式函數(shù)的情況。應(yīng)用定理 2 時，關(guān)鍵是要弄清楚哪個變量是隱函數(shù)。示例：求由方程確定的隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)。解決方案：讓,=注意：計算多元隱函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)時，還可以計算方程兩邊對自變量的偏導(dǎo)數(shù)。在計算偏導(dǎo)數(shù)時，只需將隱函數(shù)作為中間變量，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)法則進行計算即可。解：對等式兩邊取偏導(dǎo)數(shù)： cosz , .作業(yè)：P216：1. 2. 3. 11.1 隱式函數(shù)的存在在開始一個新類之前，讓我們回顧一下轉(zhuǎn)換的概念： Let , let a mapping from A to R :調(diào)用一個從A到R的轉(zhuǎn)換，也稱為定

46、義在A上的函數(shù)，記為，這樣AA的函數(shù)就是從 A 到 R 的轉(zhuǎn)換。同樣，雙函數(shù)是二維空間的子集 A（A到 R）的變換。元函數(shù)是二維空間的子集A到 R的變換。這個概念也可以擴展到功能組它是從維空間的子集A到二維空間的變換。函數(shù)群是從多維空間到多維空間的變換，它把點變換為。1. 函數(shù)行列式（Jacobian determinant）：有一個由元函數(shù)組成的元函數(shù)組：(1)特點與記憶方法.公式記為： ( , if ( I =1,2, ; j=1,2,n) 都存在，則稱為行列式：函數(shù)群 (1) (的函數(shù)行列式記為as: (or ) = ，請觀察函數(shù)行列式的結(jié)構(gòu)當(dāng)然，函數(shù)行列式的結(jié)果仍然是一個函數(shù)，而當(dāng)移動

47、點為已知點時，函數(shù)行列式： =是一個數(shù)字。示例：求函數(shù)組的行列式和解： =2z(-3=前面我們介紹過，一個n+1元的方程可以確定一個元函數(shù)：其實，一個隱函數(shù)群也可以由一個方程組來確定，那么這個隱函數(shù)群的連續(xù)性和可導(dǎo)性呢？讓我們討論一下這個問題。首先，我們將討論四元方程組的情況：定理 3：給定一個四元方程組：如果函數(shù)在點), ) 的 G 鄰域滿足以下條件：1)函數(shù) 和 的所有偏導(dǎo)數(shù)在 G 中是連續(xù)的（因此也是連續(xù)的）。2) ; 3) 行列式那么有一個點的鄰域V，并且在V中存在一組具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的唯一隱函數(shù)：和討論：1）這樣，確定隱函數(shù)是哪兩個變量（確定隱函數(shù)）2) 該定理有幾個條件和幾個結(jié)論。3

48、）在這個隱函數(shù)組下，平面上的點映射到平面上的點。這個定理只告訴我們隱函數(shù)群的存在，那么如何求隱函數(shù)群的偏導(dǎo)數(shù)呢？只需要在方程組兩邊求自變量的偏導(dǎo)數(shù)，隱函數(shù)可以看成中間變量。 （見本書第225頁）, ,其實在求解問題時，可以不使用公式直接計算，只需將隱函數(shù)作為中間變量，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的推導(dǎo)規(guī)則即可。例子：為了驗證方程組，在一個點的鄰域內(nèi)滿足定理 3 的條件，使得在一個點的某個鄰域內(nèi)只有一組具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)，求。解：（為了驗證定理3的條件成立，先求偏導(dǎo)數(shù)） , , , , ,在點的某個鄰域內(nèi)是連續(xù)的： ; , , 所以從定理 3:在點 的某個鄰域內(nèi)只有一組具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù),（同時對方程組兩邊

49、求導(dǎo)，求導(dǎo)時把隱函數(shù)作為中間變量，應(yīng)用復(fù)合函數(shù)的求導(dǎo)法則計算）同時對方程組兩邊求導(dǎo)時間例子：為了驗證方程組，定理的條件在點的鄰域內(nèi)滿足，并且在該點的鄰域內(nèi)存在唯一的一組具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)，并且并找到.分析：方程組確定的隱函數(shù)群是一元函數(shù)，所以使用導(dǎo)數(shù)符號。解： =2z在點(1,-2,1)的鄰域是連續(xù)的，方程組的鄰域只有一個偏導(dǎo)數(shù)的隱函數(shù)群： .作業(yè)：第 229 冊第 5.8 頁。2. 功能決定因素的性質(zhì)前面我們介紹了函數(shù)行列式的概念：)，下面介紹函數(shù)行列式的性質(zhì)。我們看到一元函數(shù)的導(dǎo)數(shù)在函數(shù)性質(zhì)的研究中起著重要的作用，雅可比行列式在函數(shù)群效應(yīng)的研究中也有類似的作用。在復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)規(guī)則中：如果

50、，則復(fù)合函數(shù)對自變量:的導(dǎo)數(shù)，類似：2. 定理1若函數(shù)群具有連續(xù)偏導(dǎo)和連續(xù)偏導(dǎo)，則： 。即復(fù)合函數(shù)群對自變量群的雅可比等于函數(shù)群對中間變量的雅可比乘以中間變量對自變量的雅可比。反函數(shù)的導(dǎo)數(shù)等于其正函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的倒數(shù)： ，類似于：3. 定理2：存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)， ， ，則反函數(shù)群也有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)， ， 。4. 功能行列式的幾何性質(zhì)一元函數(shù)實際上是一個變換：取，給一個變化量，對應(yīng)的圖像點也有一個變化量，線段的比例稱為映射到的平均膨脹系數(shù)（變化率） 。如果極限存在，則稱為極限值。稱為該點映射的膨脹系數(shù)， （即：導(dǎo)數(shù)值的絕對值：稱為該點映射的膨脹系數(shù)）這就是導(dǎo)數(shù)的幾何性質(zhì)。二元函數(shù)的雅可比也有類似的含義

51、。假設(shè)二元函數(shù)群在開域有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，這個函數(shù)群是飛機的開放區(qū)域點：今天：考慮一個不動點作為邊長的微方，其面積為，稱為平面上的面積微元，變換上空域的中點變換為平面上空域的中點，變換下：（是對應(yīng)的面積元素），那么變換下的答案是否定的！事實上：在transformation: 下，它的形狀和大小都會發(fā)生變化。但它們的面積微元之比是一個常數(shù)，等于： ，即：這就是雅可比的幾何意義。函數(shù)行列式的幾何意義：在變換下，平面上的面積元與平面上的面積元之比為，這是：5、條件極值：前面學(xué)過的函數(shù)的極值表示和是相互獨立的（和沒有關(guān)系），沒有條件限制。例如，函數(shù)的極值意味著與沒有條件限制。我們來看一個問題：示例 3.給

52、定一個半徑為 的圓的連通三角形，連通三角形的最大面積是多少？設(shè)面積為，三個中心角為。那么，三個自變量之間存在條件限制：（他們不是獨立的?。?1)條件極值的概念：函數(shù)處于一組條件約束下：( )稱為條件極值。其中，方程組（1）稱為約束條件（或約束條件）。當(dāng)約束比較簡單時，可以將條件極值轉(zhuǎn)化為無條件極值計算：代入函數(shù)： ，從而將求條件極值的問題轉(zhuǎn)化為求無條件極值的問題。但一般情況下，將條件極值轉(zhuǎn)換為普通極值計算是不可能的，因此有必要研究條件極值的計算方法。(2) 拉格朗日乘子規(guī)則：設(shè)置函數(shù),連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，則( )在約束條件下的條件極值點必定是方程組的確定點： ，（即： ） 。其中+ （稱為拉格朗日函

53、數(shù)）注：上述定理：指出約束條件（拉格朗日函數(shù)）。這其實就是指出了求條件極值點的方法：函數(shù)的所有條件極值點只有找到拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點，然后一一判別才能找到。給定一個半徑為 的連通三角形，什么樣的連通三角形面積最大？三邊所對的圓心角為： ，面積為。, 和, 得到;拉格朗日函數(shù)：所以： ，由所以： , 有一個實際意義上的最大值，所以該點就是函數(shù)的最大值點。所以在那個時候，當(dāng)它是一個等邊三角形時，它的面積是最大的。討論：找到條件極值需要多少步驟？ （三步：構(gòu)造拉格朗日函數(shù)；求拉格朗日函數(shù)的穩(wěn)定點；求函數(shù)的極值點。）課堂作業(yè)：示例。求拋物線和直線之間的距離。解析：距離是指拋物線到直線上任意兩點的最小距

54、離。在拋物線和直線上的任意一點上的AND ，讓（問題是最低要求?。┳尣⑶?，讓，然后： , , , .求解這個方程組給出：，所以函數(shù)在點取最小值： 。例子。證明不定式： .分析：設(shè)，則不定式為，所以問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在條件為的最小值。解：讓, , , 讓, 求解方程組, 的穩(wěn)定點因為函數(shù)域是一個閉合三角形因為邊界上的值總和: ,，所以函數(shù)取最小值，所以.隱函數(shù)存在的幾何 Th空間曲線的切面和法線平面首先復(fù)習(xí)空間正切的兩點公式。假設(shè)空間曲線L(P 1 P 2 )上有兩個已知點P 1 (x 1, y 1, z 1 )和P 2 (x 2, y 2, z 2 )，則L的方程為：或, 其中 T=(a, b, c) 3 是直線的方向向量?，F(xiàn)在我們來討論空間曲線的切面和法線平面1、設(shè)空間曲線C的參數(shù)方程為：讓它們在區(qū)間 I 內(nèi)可微，并且有請閱讀 P 238 ) 那么如何