線性空間的性質(zhì)

1、學(xué)號(hào)：20115034038信潺的懿孝盼學(xué)年論文（本科）學(xué) 院專 業(yè)信息與計(jì)算科學(xué)年 級(jí)2011 級(jí)姓 名魏 云論文題目線性空間的性質(zhì)指導(dǎo)教師 韓英波 職稱 副教授成 績2013年3月16日學(xué)年論文成績?cè)u(píng)定表 TOC o 1-5 h z 摘要1關(guān)鍵字1Abstract1Key words1前言11線性空間的概念2 HYPERLINK l bookmark33 o Current Document 2線性空間的相關(guān)理論32.1線性空間的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)32.2向量的線性關(guān)系32.3基、維數(shù)、坐標(biāo)6 HYPERLINK l bookmark95 o Current Document 3兩個(gè)特殊的子空間

2、73.1歐幾里得空間的定義與性質(zhì)73.2酉空間的介紹8 HYPERLINK l bookmark103 o Current Document 4線性空間的同構(gòu)84.1同構(gòu)映射與線性空間同構(gòu)的定義8104.2同構(gòu)映射的性質(zhì)9 參考文獻(xiàn)線性空間的性質(zhì)摘要：本文首先介紹了與線性空間相關(guān)的一系列基本概念，然后歸納總結(jié)了線 性空間的一些相關(guān)性質(zhì)，包括線性空間的維數(shù)、基及坐標(biāo)；同構(gòu)映射以及性質(zhì)等， 還包括了向量的線性關(guān)系，同時(shí)介紹了一些特殊的線性空間，以及它們的簡(jiǎn)單性質(zhì).關(guān)鍵詞：線性空間；基；維數(shù)；同構(gòu)The properties of linear vector spaceAbstract： In th

3、esis, we introduce a series of basic concepts of the linear vector space firstly, and then summarized some properties of the linear space, including linear vector space definition, linear vector space, the nature of the linear vector space dimension, base and coordinates, isomorphism mapping and jud

4、gments. The thesis also includes linear vector space relationship, some special linear spaces and their simple properties.Key words: Linear space; Base ; Dimension; Isomorphism前言：線性空間是線性代數(shù)最基本的數(shù)學(xué)概念之一，是線性代數(shù)的主要研究對(duì)象， 它用公理化的方法引入了一個(gè)代數(shù)系統(tǒng).同時(shí)線性空間與線性變換也是學(xué)習(xí)現(xiàn)代 矩陣論時(shí)經(jīng)常用到的兩個(gè)極其重要的概念，線性空間的理論和方法在自然科學(xué)和 工程技術(shù)領(lǐng)域中都有廣泛的應(yīng)用.

5、下面我們主要研究線性空間及、向量的線性關(guān) 系、基、維數(shù)、坐標(biāo)、特殊的線性空間以及線性空間的同構(gòu)問題.1.線性空間的概念定義：設(shè)V是非空集合，F(xiàn)是某一個(gè)數(shù)域：V上定義了一個(gè)加法運(yùn)算(也就是說， 給出了一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，按照這個(gè)法則，V中任意兩個(gè)元素a與p，在V中都有一個(gè) 確定的元素Y與只對(duì)應(yīng)，稱為a與p的和，記法y = a + p)，同時(shí)也定義了一個(gè)用F 上的數(shù)乘以V中元素，乘積保持為V中元素的數(shù)乘運(yùn)算(也就是說，給出了這樣 一個(gè)對(duì)應(yīng)法則，對(duì)于F上的任意一個(gè)數(shù)人與V中任意一個(gè)元素a，按照這個(gè)法則， V中總有一個(gè)確定的元素8與之對(duì)應(yīng)，稱為人乘a的數(shù)乘積，記法8 =人a)有關(guān) 這兩個(gè)運(yùn)算還滿足以下八條運(yùn)

6、算律：設(shè) a, p, y g V,人,g Fa + p = p+a；(a + p)+y =a + (p+y);V中存在零元素，記它為0，對(duì)任何V中元素a，都有a +0= a成立；對(duì)V中的任何元素a，V中一定還存在a的負(fù)元素，記為-a，使得a + (-a) =0；1 a = a ;人(pa) = X(pa)；(X + p)a=Xa + pa；X (a + p) = Xa + Xp.這時(shí)便稱V是數(shù)域F上的一個(gè)線性空間.注：實(shí)數(shù)域R上的線性空間稱為是線性空間；復(fù)數(shù)域C上的線性空間稱為復(fù)線性 空間.2線性空間的相關(guān)理論2.1線性空間的一些簡(jiǎn)單性質(zhì)（1）零元素唯一；（2）a的負(fù)元素唯一；（3）ka =

7、0 o k = 0 或 a = 0 ；（4）- （-a） = a ；（5）（ka） = （k ）a= k （-a）;（6）k（a-p） = ka kp;（7）Va,p e V,存在唯一的y e V,使得a+p =y.2.2向量的線性關(guān)系2.2.1線性組合與線性表示（1）設(shè)a,., a是線性空間V中的向量組，k，,k e F,稱1n1nka + k a . + k a1 12 2n n為a.,an的一個(gè)線性組合；（2）零向量可由任一向量組線性表示；（3）一個(gè)向量組中的每一個(gè)向量都可由這個(gè)向量組線性表示；（4）如果向量a可由p，,p線性表示，而每個(gè)p 乂可由a,., a線性表示，則a1ni1n可由

8、,.,a線性表示.2.2.2線性相關(guān)與線性無關(guān)設(shè),.,氣 是線性空間V中的向量組，若有F中不全為0的數(shù),.,kn，使 得ka + k a . + k a =0，1 12 2n n則稱a，,a線性相關(guān)；否則，稱a，,a線性無關(guān)，即若1n1nka + k a . + k a =0，1122nn則 k = k =. = k = 0.若氣,.,氣中有一零向量，則此向量必線性相關(guān).單個(gè)零向量線性相關(guān)，一個(gè)非零向量線性無關(guān).Fn的m個(gè)向量a=(七,氣，,a(i = 1,.,m)線性相關(guān)的充要條件是其次線性方程AX=0有非零解，其中A= (a ) 即r(A) 2 ）線性相關(guān)的充要條件是其中某向量是其余向量的

9、線性組合.（10）設(shè)A g E，則對(duì)A施行初等行變換不改變A的列向量線性關(guān)系.2.2.3向量組的等價(jià)（1）I和II是線性空間V中的兩個(gè)向量組，若I的每個(gè)向量都可由II線性表示，II 中的每個(gè)向量都可由I線性表出，即I與II可以相互線性表出，就說I與II等價(jià).（2）向量組的等價(jià)關(guān)系具有反身性、傳遞性和對(duì)稱性.（3）（Steinitz替換定理）設(shè)向量組（I）:a1,氣,.,a線性無關(guān)，并且可由向量 組（II）： P1,.,P線性表示，則（i）i s，則a ,a，,a線性相12m1s12m關(guān).推論2等價(jià)的線性無關(guān)的向量組含有相同個(gè)數(shù)的向量.2.2.4極大線性無關(guān)組（1）向量組a,.,a中的部分向量P

10、，,P稱為一個(gè)極大線性無關(guān)組（簡(jiǎn)稱為極1n1r大無關(guān)組），如果（i）中,*線性無關(guān)；（ii）a,.,a中的任一向量都可由P ,., P線性表示.1n1r（2）每一個(gè)不全由零向量組成的向量組都有極大無關(guān)組.（3）等價(jià)向量組的極大無關(guān)組含有相同個(gè)數(shù)的向量.特別地，一個(gè)向量組的任意 兩個(gè)極大無關(guān)組都含有相同個(gè)數(shù)的向量.（4）一個(gè)向量組的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為該向量組的秩.（5）秩為r的向量組中的任何r個(gè)線性無關(guān)的向量為其一極大無關(guān)組，并且任何 兩個(gè)極大無關(guān)組都等價(jià).（6）兩個(gè)向量組等價(jià)必等秩，但反之不真.（7）設(shè)兩個(gè)向量組a,., a與P，P的秩都為r，并且a，,a可由P，P線1S 1t1S1

11、t性表示，則這兩個(gè)向量組等價(jià).2.3基、維數(shù)、坐標(biāo)定義：數(shù)域F上的線性空間V中的向量組a1,a2,.,氣稱為V的一個(gè)基，如果（1）aa2,.,a線性無關(guān)；（2）Va e V，a可由aa2,.,a線性表示.V的一個(gè)基所含向量的個(gè)數(shù)稱為V的維數(shù)，記為dim V.注：（1）線性空間V的一個(gè)基實(shí)際上就是V中全體向量的一個(gè)極大無關(guān)組.（2）基向量是有序的，如果調(diào)換基中向量的次序，就會(huì)得到V中的另一個(gè)基.（3）若找到V中的一個(gè)基，則稱V為有限維的；否則，稱為無限維的.定義：設(shè)V是數(shù)域F上的n維線性空間，氣,氣,.,氣為V的一個(gè)基，對(duì)Vae V有以二 ka + k a +. + k a ,1 12 2n n

12、稱（k ,k ,.,k）為a在a ,a，,a下的坐標(biāo)，其中12 n12nk e F, i = 1,., n .坐標(biāo)有時(shí)也可以寫成列向量的形式.兩個(gè)特殊的線性空間3.1歐幾里得空間的定義與性質(zhì).3.1.1定義：設(shè)V是實(shí)數(shù)域R上的線性空間，對(duì)于V中任二向量x與y，按某規(guī)則定義一個(gè)實(shí)數(shù)，用（x,y）表示.則稱該實(shí)數(shù)為x與y的內(nèi)積，它滿足下列四個(gè)條件：（1）交換律(x,y)=(y,x);(2)分配律(x,y+z)=(x,y) + (x,z);(3)其次性(kx,y)=k(x,y), Vk e R（4）非負(fù)性（x,x） 0,當(dāng)且僅當(dāng) x=0時(shí) 才有，（x,x）=0則稱V為歐幾里得空間，簡(jiǎn)稱歐式空間或?qū)崈?nèi)

13、積空間.3.1.2基本性質(zhì)：(1)(x,ky)=k(x,y);(x,0) = (0,x)=0;（3） （E& x ,E門 y ） = &門（x , y ）i i i ii j i ji =1j=1i, j=13.2酉空間介紹定義：設(shè)V是負(fù)數(shù)域C上的線性空間，對(duì)于V中任意兩個(gè)向量x,y,按照規(guī)則有一復(fù)數(shù)（%y）與之對(duì)應(yīng)，并稱其為內(nèi)積，它滿足下列四個(gè)條件（1）交換律（x,y）= （y,x）這里（y,x）是（x,y）的共軛復(fù)數(shù)；(2)分配律 (x,y+z)=(x,y) + (x,z);(3)其次性(kx,y)=k(x,y), Vk g C ；（4）非負(fù)性（x,x） 0,當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)才有，實(shí)數(shù)（x

14、,x）=0則稱V為一酉空間（或酉交空間，復(fù)內(nèi)積空間）.線性空間的同構(gòu)4.1同構(gòu)映射與線性空間同構(gòu)的定義定義1設(shè)V,匕是數(shù)域F上的兩個(gè)線性空間，若V到匕有一個(gè)雙射b滿足（1）b（a + P） =b（以）=b（P）;（2）b （ka） = kb （a）,其中a, P為V中的任意向量，k為F中的任意數(shù)，則稱b為V到V的一個(gè)同構(gòu)映射.1若V與V之間有一個(gè)同構(gòu)映射，則稱V與V同構(gòu)，記為V蘭V .1 1 1定義：設(shè)V與V都是歐式空間，若V與V存在同構(gòu)映射b，并且Va, Pg V有(b (以)q (p)=(以，p),則稱歐式空間V與V同構(gòu).1注：若b為由V與V的同構(gòu)映射，則稱V有一個(gè)自同構(gòu).4.2同構(gòu)映射的

15、性質(zhì) 設(shè)b為V到V的一個(gè)同構(gòu)映射，則1(1)b (0) = 0,b (-a) = b (以)；(2)b(ka + k a +. + k a ) = kb(a ) +. + k b(a )；112 2r r 11r r（3）V中的向量組a1，a2,.,a線性相關(guān)的充要條件是b（%）,.（a,）線性相關(guān).（4）b-1是V到V的一個(gè)同構(gòu)映射;1（5）數(shù)域F上的兩個(gè)有限維線性空間V，V同構(gòu)的充要條件是它們的維數(shù)相同;1（6）若b : V r V,b : V r V都是同構(gòu)映射，則112122氣：V r匕也是同構(gòu)映射，并且(b b )-1 =b -1b -1;（7）同構(gòu)的線性空間具有反身性、對(duì)稱性和傳遞性，因而數(shù)域F上的任意兩個(gè)n 維線性空間都同構(gòu)；（8）V與V是兩個(gè)有限維歐式空間，則V與V同構(gòu)當(dāng)且僅當(dāng) 1212dimV =dimV .參考文獻(xiàn)：楊茂信，陳璞華,庚鏡波.線性代數(shù)（第