4拉普拉斯變換、連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的s域分析【課件】

1、4.1引言以傅里葉變換為根底的頻域分析方法的優(yōu)點(diǎn)和缺乏：可解決不符合狄氏條件信號(hào)的分析優(yōu)點(diǎn)：求解比較簡(jiǎn)單，特別是對(duì)系統(tǒng)的微分方程進(jìn)行變換時(shí)，初始條件被自動(dòng)計(jì)入。缺點(diǎn)：物理概念不如傅氏變換那樣清楚。拉氏變換法的優(yōu)點(diǎn)和缺乏：有清楚的物理意義只能處理符合狄利克雷條件的信號(hào)-絕對(duì)可積條件：本章主要內(nèi)容：傅氏變換拉氏變換、拉氏變換的性質(zhì)、以拉氏變換為工具對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行復(fù)頻域分析、系統(tǒng)函數(shù)以及H(s)零極點(diǎn)及分布對(duì)系統(tǒng)的影響。運(yùn)用傅里葉反變換對(duì)頻率進(jìn)行的無(wú)窮積分求解困難 4.2 拉普拉斯變換的定義、收斂域拉普拉斯正變換拉普拉斯反變換從傅里葉變換到拉普拉斯變換:收斂域：使F(s)存在的s的區(qū)域稱(chēng)為收斂域。ROC

2、( region of convergence)實(shí)際上就是拉氏變換存在的條件:拉氏變換的收斂域p177-178：F(s)的收斂域與f(t)的形式有關(guān):一般求函數(shù)的單邊拉氏變換可以不加注其收斂范圍。1.階躍函數(shù):2.指數(shù)函數(shù):(全s域平面收斂) 3.單位沖激信號(hào):一些常用函數(shù)的(單邊)拉氏變換:P181表4-14tnu(t): 4.3 拉普拉斯變換的根本性質(zhì)一線性二原函數(shù)微分三原函數(shù)的積分四延時(shí)時(shí)域平移五s域平移六尺度變換七初值定理P187八終值定理P188九卷積十對(duì)s微分十一對(duì)s積分原函數(shù)微分性質(zhì)證明:原函數(shù)的積分性質(zhì)證明: 4.4 拉普拉斯逆變換(一)局部分式法(二)利用留數(shù)定理圍線積分法(

3、三)數(shù)值計(jì)算方法利用計(jì)算機(jī)拉氏逆變換的過(guò)程：局部分式法拉氏逆變換的方法：1.第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)2. 第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)3. 第三種情況：有重根存在局部分式法:非真分式 化為真分式多項(xiàng)式4. F(s)兩種特殊情況:(1)找極點(diǎn)(2)展成局部分式(3)逆變換求系數(shù):第一種情況：?jiǎn)坞A實(shí)數(shù)極點(diǎn)第二種情況：極點(diǎn)為共軛復(fù)數(shù)3. 第三種情況：有重根存在例:非真分式 化為真分式多項(xiàng)式F(s)兩種特殊情況: 4.5 用拉普拉斯變換法分析電路、s域元件模型列s域方程可以從兩方面入手 列時(shí)域微分方程，用微積分性質(zhì)求拉氏變換； 直接按電路的s域模型建立代數(shù)方程。求解s域方程。，得到時(shí)域解答。一. 用拉氏

4、變換法分析電路的步驟二微分方程的拉氏變換三利用元件的s域模型分析電路1.電路元件的s域模型 2.電路定理的推廣 線性穩(wěn)態(tài)電路分析的各種方法都適用。3.求響應(yīng)的步驟 畫(huà)0-等效電路，求起始狀態(tài);畫(huà)s域等效模型；列s域方程代數(shù)方程；解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；拉氏反變換求v(t)或i(t)。電阻元件的s域模型：電感元件的s域模型：電容元件的s域模型:sC1()-01Cvs()sIC+-()sVC只要知道了電路0-時(shí)刻的值即起始狀態(tài)，就可以求出元件的s域模型。解：例4-14:p1981)畫(huà)0-等效電路， 求起始狀態(tài):2)畫(huà)s域等效模型:3)列s域方程代數(shù)方程:4)解s域方程，求

5、出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；5)拉氏反變換求v(t)或i(t)。4)解s域方程，求出響應(yīng)的拉氏變換V(s)或I(s)；5)拉氏反變換求v(t)或i(t)。6)分析(圖4-10)7)波形:1.定義1)籌劃點(diǎn)函數(shù)：鼓勵(lì)與響應(yīng)在同一端口時(shí)籌劃點(diǎn)導(dǎo)納籌劃點(diǎn)阻抗轉(zhuǎn)移導(dǎo)納轉(zhuǎn)移阻抗電壓比電流比2)轉(zhuǎn)移函數(shù)：鼓勵(lì)和響應(yīng)不在同一端口2.H(s)的幾種情況4.應(yīng)用：求系統(tǒng)的響應(yīng)r(t)利用網(wǎng)絡(luò)的s域元件模型圖，列s域方程微分方程兩端取拉氏變換3求H(s)的方法二LTIS互聯(lián)的系統(tǒng)函數(shù)1LTI系統(tǒng)的并聯(lián)2LTI系統(tǒng)的級(jí)聯(lián)3LTI系統(tǒng)的反響連接4結(jié)論在s域可進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算：例4-6-1(1)求H(s)和h(t)

6、(2)求rzs(t)所以所以所以4.7 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定時(shí)域特性一序言 沖激響應(yīng)h(t)與系統(tǒng)函數(shù)H(s) 從時(shí)域和變換域兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性。 在s域分析中，借助系統(tǒng)函數(shù)在s平面零點(diǎn)與極點(diǎn)分布的研究，可以簡(jiǎn)明、直觀地給出系統(tǒng)響應(yīng)的許多規(guī)律。系統(tǒng)的時(shí)域、頻域特性集中地以其系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)分布表現(xiàn)出來(lái)。 主要優(yōu)點(diǎn)：1可以預(yù)言系統(tǒng)的時(shí)域特性；2便于劃分系統(tǒng)的各個(gè)分量 自由強(qiáng)迫，瞬態(tài)穩(wěn)態(tài)；3可以用來(lái)說(shuō)明系統(tǒng)的正弦穩(wěn)態(tài)特性。二H(s)零、極點(diǎn)與h(t)波形特征的對(duì)應(yīng)在s平面上，可畫(huà)出H(s)的零極點(diǎn)圖： 極點(diǎn)：用表示，零點(diǎn)：用表示1系統(tǒng)函數(shù)的零、極點(diǎn)2H(s)極點(diǎn)分布與原函數(shù)的對(duì)應(yīng)關(guān)

7、系p210-212有實(shí)際物理意義的物理系統(tǒng)都是因果系統(tǒng)，即隨t,h(t)0,H(s)的極點(diǎn)位于左半平面，由此可知，收斂域包括虛軸，F(xiàn)(s)和F(j)均存在，兩者可通用，只需將 sj即可。零點(diǎn)只影響幅度和相位，不影響h(t)的波形形式 。 鼓勵(lì)：系統(tǒng)函數(shù)：響應(yīng)：自由響應(yīng)分量 強(qiáng)制響應(yīng)分量三H(s) 、E(s)的極點(diǎn)分布與自由響應(yīng)、強(qiáng)迫響應(yīng)特性的對(duì)應(yīng)幾點(diǎn)說(shuō)明:自由響應(yīng)的極點(diǎn)只由系統(tǒng)本身的特性所決定，與鼓勵(lì)函數(shù)的形式無(wú)關(guān)，然而系數(shù) 都有關(guān)。響應(yīng)函數(shù)r(t)由兩局部組成：系統(tǒng)函數(shù)的極點(diǎn)自由響應(yīng)分量；鼓勵(lì)函數(shù)的極點(diǎn)強(qiáng)迫響應(yīng)分量。定義系統(tǒng)行列式特征方程的根為系統(tǒng)的固有頻率或稱(chēng)“自然頻率、“自由頻率。 H(

8、s)的極點(diǎn)都是系統(tǒng)的固有頻率； H(s)零、極點(diǎn)相消時(shí)，某些固有頻率將喪失。瞬態(tài)響應(yīng)是指鼓勵(lì)信號(hào)接入以后，完全響應(yīng)中瞬時(shí)出現(xiàn)的有關(guān)成分，隨著t增大，將消失。穩(wěn)態(tài)響應(yīng)完全響應(yīng)瞬態(tài)響應(yīng)左半平面的極點(diǎn)產(chǎn)生的函數(shù)項(xiàng)和瞬態(tài)響應(yīng)對(duì)應(yīng)。極點(diǎn)：零點(diǎn)：畫(huà)出零極點(diǎn)圖：例4-7-1畫(huà)出下面系統(tǒng)函數(shù)的零極點(diǎn)分配圖。swj1-給定系統(tǒng)微分方程試分別求它們的完全響應(yīng)，并指出其零輸入響應(yīng)，零狀態(tài)響應(yīng)，自由響應(yīng)，強(qiáng)迫響應(yīng)各分量，暫態(tài)響應(yīng)分量和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)分量。解：1)方程兩端取拉氏變換例4-7-2，教材習(xí)題2-6(1)2)零輸入響應(yīng):3)零狀態(tài)響應(yīng):4)完全響應(yīng):5)暫態(tài)響應(yīng)/穩(wěn)態(tài)響應(yīng)、自由響應(yīng)/強(qiáng)迫響應(yīng)極點(diǎn)位于虛軸E(s)的極

9、點(diǎn)極點(diǎn)位于s左半平面H(s)的極點(diǎn)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng) 4.8 由系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)分布決定頻響特性所謂“頻響特性是指系統(tǒng)在正弦信號(hào)鼓勵(lì)下穩(wěn)態(tài)響應(yīng)隨頻率的變化情況。 一定義穩(wěn)態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)強(qiáng)迫響應(yīng)暫態(tài)響應(yīng)自由響應(yīng)在頻率為0的正弦鼓勵(lì)信號(hào)作用下，系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)仍為同頻率的正弦信號(hào)，但幅度乘以系數(shù)H0，相位移動(dòng)0。 二幾種常見(jiàn)的濾波器三根據(jù)H(s)零極點(diǎn)圖繪制系統(tǒng)的頻響特性曲線O例4-20 確定圖4-26所示系統(tǒng)的頻響特性。相當(dāng)于低通與高通級(jí)聯(lián)構(gòu)成的帶通系統(tǒng)。 解：低通濾波器高通濾波器4.10 全通函數(shù)與最小相移函數(shù)的零、極點(diǎn)分布所謂全通是指它的幅頻特性為常數(shù)，對(duì)

10、于全部頻率的正弦信號(hào)都能按同樣的幅度傳輸系數(shù)通過(guò)。 極點(diǎn)位于左半平面，零點(diǎn)位于右半平面，零點(diǎn)與極點(diǎn)對(duì)于虛軸互為鏡像。一全通網(wǎng)絡(luò)幅頻特性常數(shù) 相頻特性不受約束全通網(wǎng)絡(luò)可以保證不影響待傳送信號(hào)的幅度頻譜特性，只改變信號(hào)的相位頻譜特性，在傳輸系統(tǒng)中常用來(lái)進(jìn)行相位校正，例如，作相位均衡器或移相器。假設(shè)網(wǎng)絡(luò)函數(shù)在右半平面有一個(gè)或多個(gè)零點(diǎn)，就稱(chēng)為“非最小相移函數(shù)，這類(lèi)網(wǎng)絡(luò)稱(chēng)為“非最小相移網(wǎng)絡(luò)。 二最小相移網(wǎng)絡(luò)非最小相移網(wǎng)絡(luò)可代之以最小相移網(wǎng)絡(luò)與全通網(wǎng)絡(luò)的級(jí)聯(lián)。 非最小相移網(wǎng)絡(luò)最小相移網(wǎng)絡(luò)全通網(wǎng)絡(luò)三級(jí)聯(lián)4.11 線性系統(tǒng)的穩(wěn)定性某連續(xù)時(shí)間系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù): 當(dāng)輸入為u(t)時(shí)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)的象函數(shù)為 t很

11、大時(shí)，這個(gè)正指數(shù)項(xiàng)超過(guò)其他項(xiàng)并隨著t 的增大而不斷增大 一引言 實(shí)際的系統(tǒng)不會(huì)是完全線性的，這樣，很大的信號(hào)將使設(shè)備工作在非線性局部，放大器的晶體管會(huì)飽和或截止，一個(gè)機(jī)械系統(tǒng)可能停車(chē)或發(fā)生故障等。這不僅使系統(tǒng)不能正常工作，有時(shí)還會(huì)發(fā)生損壞危險(xiǎn)，如燒毀設(shè)備等。 穩(wěn)定性是系統(tǒng)自身的性質(zhì)之一，系統(tǒng)是否穩(wěn)定與鼓勵(lì)信號(hào)的情況無(wú)關(guān)。沖激響應(yīng)和h(t)、H(s)系統(tǒng)函數(shù)從兩方面表征了同一系統(tǒng)的本性，所以能從兩個(gè)方面確定系統(tǒng)的穩(wěn)定性。 一個(gè)系統(tǒng)，如果對(duì)任意的有界輸入，其零狀態(tài)響應(yīng)也是有界的，那么稱(chēng)該系統(tǒng)為有界輸入有界輸出BIBO穩(wěn)定系統(tǒng)，簡(jiǎn)稱(chēng)穩(wěn)定系統(tǒng)。對(duì)所有的鼓勵(lì)信號(hào)e(t):其響應(yīng)r(t)滿(mǎn)足:二定義BIB

12、O穩(wěn)定系統(tǒng)的充分必要條件是絕對(duì)可積條件：系統(tǒng)是穩(wěn)定的式中Me、Mr為有界正值充分性:三證明對(duì)任意有界輸入e(t)，系統(tǒng)的零狀態(tài)響應(yīng)為：必要性:1穩(wěn)定系統(tǒng) 假設(shè)H(s)的全部極點(diǎn)位于s平面的左半平面不包括虛軸，那么可滿(mǎn)足系統(tǒng)是穩(wěn)定的例如:系統(tǒng)穩(wěn)定系統(tǒng)穩(wěn)定(例4-14)四由H(s)的極點(diǎn)位置判斷系統(tǒng)穩(wěn)定性 如果H(s)的極點(diǎn)位于s右半平面，或在虛軸上有二階或以上極點(diǎn)系統(tǒng)是不穩(wěn)定的2不穩(wěn)定系統(tǒng) 3臨界穩(wěn)定系統(tǒng) 如果H(s)極點(diǎn)位于s平面虛軸上，且只有一階。t,h(t) 為非零數(shù)值或等幅振蕩。從頻域看要求H(s)的極點(diǎn)：右半平面不能有極點(diǎn)(穩(wěn)定) 虛軸上極點(diǎn)是單階的(臨界穩(wěn)定)。4系統(tǒng)穩(wěn)定性的判定例題：如下圖反響系統(tǒng)，子系統(tǒng)的系統(tǒng)函數(shù)。當(dāng)常數(shù)k滿(mǎn)足什么條件時(shí)，系統(tǒng)是穩(wěn)定的？ 加法器輸出端的信號(hào)：輸出信號(hào)：為使極點(diǎn)均在s