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1、第二章分離變量法例函數(shù)系叫做基本的三角函數(shù)系.它們具有的性質(zhì)：具有相同的周期2對(duì)于任意整數(shù)n0有1 正交函數(shù)系第二章分離變量法1 正交函數(shù)系對(duì)于任意整數(shù)n和 m,有對(duì)于任意整數(shù)nm,有一個(gè)周期函數(shù)f(t)，周期 ，滿足狄里赫利條件，即函數(shù)在一個(gè)周期內(nèi)有有限個(gè)極值點(diǎn)和第一類(lèi)間斷點(diǎn)，則f(t)可展開(kāi)成三角函數(shù)系數(shù)為第二章分離變量法1 正交函數(shù)系第二章分離變量法1 正交函數(shù)系定義：如果函數(shù)系yn(x), n=1,2,3 具有那么稱該函數(shù)系為正交函數(shù)系。如果對(duì)于在a,b區(qū)間上，任意函數(shù)f(x)可表示為稱該函數(shù)系為完備正交函數(shù)系。第二章分離變量法1 正交函數(shù)系指數(shù)形式的傅里葉級(jí)數(shù)其中代入方程：令代入邊界

2、條件例1 求兩端固定的弦自由振動(dòng)的規(guī)律令(4)(6)(7)（5）2 齊次方程齊次邊界條件的定解問(wèn)題本征（固有）值問(wèn)題：含有待定常數(shù)常微分方程在一定條 件下的求解問(wèn)題本征（固有）值：使方程有非零解的常數(shù)值本征（固有）函數(shù)：和特征值相對(duì)應(yīng)的非零解分情況討論：1）2）3） 令 ， 為非零實(shí)數(shù) （8）（9）把（8）式代入（6）式，得（10）其中Cn和Dn是任意常數(shù)。將(9)(10)代入(4)式，得(11)式滿足方程(1)和邊界條件(2)，但一般不滿足初始條件(3)。為了滿足(3)式，按照解的疊加原理，將(11)式對(duì)n求和，即（11）（12）將(12)式代入(3)式，得到故定解問(wèn)題的解為其中分離變量求特征值和特征函數(shù)求另一個(gè)函數(shù)求通解確定常數(shù)分離變量法可以求解具有齊次邊界條件的齊次偏微分方程。 解的性質(zhì) x=x0時(shí)：其中：駐波法 t=t0時(shí)：解：例2求下列定解問(wèn)題(1)分離變量(2)求本征值和本征函數(shù)(3)求另一個(gè)微分方程(4)求通解初始條件(5)確定常量令帶入方程：令例3 求下列定解問(wèn)題解：例4 求下列定解問(wèn)題解：若 則u為多少？為什么會(huì)出現(xiàn)這樣的現(xiàn)象？思考例5 拉普拉斯方程的定解問(wèn)題解：例6 求下列定解問(wèn)題解：例7

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