全等三角形典型例題培優(yōu)版(含詳解)絕對經(jīng)典

1、6全等三角形典型例題培優(yōu)版-I【例題精選】例1：已知：如圖，過AABC的頂點(diǎn)A,作AF丄AB且AF=AB,作AH丄AC，使AH=AC,連結(jié)BH、CF,且BH與CF交于D點(diǎn)。求證：（1）BH=CF（2）BH丄CF分析：從圖中可觀察分析，若證BH=CF，顯然，若能證出AABHAAFC，問題就能解決。從已知看，已經(jīng)知道AF=AB，AC=AH。這兩個(gè)三角形已經(jīng)具備兩條邊對應(yīng)相等了。還要證明第三條邊相等，顯然不可能用“邊邊邊”公理了。只能尋求兩對應(yīng)邊的夾角了。從已知看,ZBAF和ZHAC都是直角。而圖中的ZBAC顯然是公共角，根據(jù)等式性質(zhì)，問題可以順利解決。證明:（1）VAFAB，AHAC:.ZBAF=

2、ZHAC=90AZBAF+ZBAC=ZHAC+ZBAC.即ZFAC=ZBAH在AABH和AAFC中/AB=AF（已知）vZBAH=ZFAC（已證）AH=AC（已知）:.AABHAAFC（邊角邊）:.BH=FC（全等三角形對應(yīng)邊相等）（2）設(shè)AC與BH交于點(diǎn)P在AAPH中?ZHAP=90.Z2+Z3=90。（直角三角形中兩個(gè)銳角互余）使BP=AC，CQ=AB。不難發(fā)現(xiàn)，已經(jīng)有BP=AC、CQ=AB，也就是這兩個(gè)三角形中VZ1=Z2（全等三角形對應(yīng)角相等）Z3=Z4AZ1+Z4=Z2+Z3=90在APDC中VZ1+Z4=90AZHDC=90.BH丄CF例2：已知，如圖：BD、CE是AABC的高，分

3、別在高上取點(diǎn)P與Q,求證：AQ=AP分析：從要證的結(jié)論AQ=AP，只有在AABP和AQCA中找對應(yīng)原素,已經(jīng)有兩條對應(yīng)邊相等。也只有找到其中夾角相等，全等就可以了，問題的關(guān)鍵在于如何找出Z1=Z2?再分析已知條件，不難看出，既然BD、CE都是高，就有ZBDA=ZCEA=90，這樣就可看出Z1和Z2都是ZBAC的余角了。根據(jù)同角的余角相等這條性質(zhì)得到Z1=Z2,這樣問題就可以迎刃而解了。證明：VBDXAC于DCE丄AB于E:.ZBDA=ZCEA=90AZ1+ZBAC=Z2+ZBAC=90AZ1=Z2在AABP和APCA中/AB=CQ（已知）Z1=Z2（已證）BP=AC（已知）:.AABPAQCA

4、（邊角邊）:.AQ=AP（全等三角形對應(yīng)邊相等）例3：已知：如圖，OA=OB、OC=OD求證：AE=BE分析：從要證明的結(jié)論AE=EB看，我們不難看出，應(yīng)當(dāng)在AADE和KBCE中去尋找答案，而要證明AADEABCE，比較明顯的有一組對頂角相等，即ZAED=ZBEC,另外可以通過等式性質(zhì)得到，OAOD=OBOC，即AD=BC，那么這兩個(gè)三角的全等條件仍然差一個(gè)，從證明的結(jié)論AE=BE上分析，不可能再尋找邊的對應(yīng)相等了，那么只有找一組對應(yīng)角是否相等就可以了，如能否證出ZA=ZB（或ZADE=ZBCE），ZA=ZB除了是AADE和ABCE的對應(yīng)角外，它們還是AAOC和ABOD的對應(yīng)角，只要AAOC竺

5、ABOD，那么就可以推出ZA=ZB，這樣問題便迎刃而解了，同學(xué)們自己分析一下AAOC和ABOD全等條件夠嗎？證明：在AAOC和ABOD中0A=OB（已知）ZO=ZO（公共角）OC=OD（已知）:.AAOCABOD（邊角邊）AZA=ZB（全等三角形的對應(yīng)角相等）：OA=OB（已知）OC=OD（已知）:.AD=BC（等式性質(zhì)）在AADE和ABCE中ZA=ZB（已證）ZAED=ZBECG寸頂角相等）AD=BC（已證）:.AADEABCE（角角邊）:.AE=BE（全等三角形對應(yīng)邊相等）同學(xué)們自己動(dòng)手試一試，可不可通過證明ZADE=ZBCE來證明AADEABCE呢？例4：已知：如圖，ADBC，AE、BE

6、分別平分ZDAB和ZCBA,DC過點(diǎn)E。求證:AB=AD+BC分析：從要證明的結(jié)論AB=AD+BC上看，顯然是兩條線段的和與另外一條線段相等,可以考慮，能否在長的AB邊上截一段等于AD（或BC），利用角平分線的條件證全等。證明（一）：在AB上截AF=AD，連結(jié)EF在AADE和AAFE中/AD=AF（已作）ZDAE=ZFAE（已知）AE=AE（公共邊）:.AADEAAFE:.ZD=ZAFE（全等三角形對應(yīng)角相等）：ADBC（已知）AZD+ZC=180（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）又.ZD=ZAFE（已證）:./BFE=/C（等角的補(bǔ)角相等）在ABFE和NBCE中ZBFE=ZC（已證）ZFBE=ZC

7、BE（已知）BE=BE（公共邊）:.ABFEABCE（角角邊）：.BF=BC:.AB=AD+BC證明（二）：延長AE、BC交于點(diǎn)F。AE、BE分別是ZDAB和ZCBA的平分線。又VAD#BC：.Z1+Z2+Z3+Z4=18O。（兩直線平等，同旁內(nèi)角互補(bǔ)）：.Z2+Z3=90。：.ZAEB=90：.ZBEF=90。在AABE和AFBE中Z3=Z4（已知）BE=BE（公共邊）ZAEB=ZBEF=90（已證）：.AABE竺AFBE（角邊角）：.AB=BFAE=EF在AAED和AFEC中Z1=ZF（兩直線平等，內(nèi)錯(cuò)角相等）AE=EF（已證）ZAED=ZFEcG寸頂角相等）：.AAED竺AFEC：.AD

8、=FC：.AB=AD+BC（等量代換）a例5：已知：如圖，在四邊形ABCD中，AC平分ZBAD、CE丄AB于E,且ZB+ZD=180o求證：AE=AD+BE分析：從上面例題，可以看出，有時(shí)為了證明某兩條線段和等于另一條線段，可以考慮“截長補(bǔ)短”的添加輔助線，本題是否仍可考慮這樣“截長補(bǔ)短”的方法呢？由于AC是角平分線，所以在AE上截AF=AD，連結(jié)FC，可證出AADCAAFC，問題就可以得到解決。證明（一）：在AE上截取AF=AD，連結(jié)FCo在AAFC和AADC中/AF=AD（已作）Z1=Z2（已知）AC=AC（公共邊）：.AAFC竺AADC（邊角邊）:.ZAFC=ZD（全等三角形對應(yīng)角相等）

9、VZB+ZD=180（已知）./B=/EFC（等角的補(bǔ)角相等）在ACEB和ACEF中ZB=ZEFC（已證）ZCEB=ZCEF=90（已知）CE=CE（公共邊）AACEBACEF（角角邊）:.BE=EF.AE=AF+EF:.AE=AD+BE（等量代換）證明（二）：在線段EA上截EF=BE，連結(jié)FC（如右圖）。同樣也可以證明，同學(xué)們自己試一試，證明過程是怎樣的，看一看，當(dāng)推導(dǎo)過程不通時(shí)，想一想，還有哪些已知條件沒有充分考慮到，或是還有哪些定理，性質(zhì)用的不熟，自己找一找思維障礙是什么？小結(jié)：在幾何證明過程中，如果現(xiàn)成的三角形不可以證明，則需要我們選出所需要的三角形，這就需要我們恰到好處的添加輔助線。

10、如例：已知：AABC中，AD是BC邊上的中線分析：求證AD2（ab+AC），求證：AD2（ab+AC）即可變形為2ADAB+AC，其結(jié)構(gòu)恰好為中線的2倍。小于原三角形的兩邊之和，如而另一邊正好為AD的2倍，問題就迎刃而果添加輔助線，造出一個(gè)三角形，使其兩邊恰與AB、AC相等,解了。證明：延長AD至E，使DE=AD，連結(jié)BE。在AADC和AEDB中/AD=DE（所作）ZADC=ZEDbG寸頂角相等）CD=BD（中線定義）.AADC竺AEDB（邊角邊）.AC=BE（全等三角形對應(yīng)邊相等）在AABE中AEAB+BE（三角形中，兩邊之和大于第三邊）.ADEF分析：從要證的結(jié)論BF+CEEF來看，它們沒

11、構(gòu)成一個(gè)三角形，不能利用我們學(xué)習(xí)過的三角形三邊的關(guān)系加以證明，d是中點(diǎn)，可考慮延長，又考慮到ZEDF是直角，所以可以達(dá)到把EF用EG代換，而BF可以用CG代換，問題可以得到解決。證明：延長FD到G，使DG=FD，連結(jié)EG、CG。在AEFD和AEGD中FD=DG2ZEDF=ZEDG=90。ED=ED:.AEFDAEGD（邊角邊）：.EF=EG（全等三角形對應(yīng)邊相等）在ABDF和ACDG中BD=CD（已知）ZBDF=ZCDgG寸頂角相等）FD=GD（已作）AABDFACDG（邊角邊）CG=BF在CEG中CE+CGEG.BF+CEEF【專項(xiàng)訓(xùn)練】已知：1、2、已知:如圖，AD/BC,AD=BC,3、

12、已知:如圖，AC=BD,AE=DF,4、已知:如圖，AB=AC,AD=AE,5、已知:6、已知:如圖，AD/BC,AD=BC。求證：AB=DCAE=CF。求證:ZB=ZDZ1=Z2o求證：CE=BD如圖，ZA=ZD,ZB=ZC,BE=CFo求證：AB=DCAEAD于A,DFAD于F求證:如圖，ABBD于B,ED丄BD于D,AB=CD,BC=DEo求證：AC丄CE8、已知：如圖，AC=BD,ZBAC=ZABD求證：AD=BC；ZCAD=ZDBC7、已知：如圖，AE=AD,Z1=Z2o求證:ZB=ZC求證：BE=CF9、已知：如圖，AB丄AC,ADLAE,AB=AC,AD=AEo求證：(1)BE=DC(2)BE丄DC10、已知：如圖，AD是ABC的中線，BE丄AD交延長線于E,CFAD于F。11、已知：求證:如圖，厶CE=