2022年新教材高考數(shù)學一輪復習規(guī)范答題增分專項5高考中的解析幾何含解析新人教

1、PAGE PAGE 9規(guī)范答題增分專項五高考中的解析幾何1.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,短軸長為2.(1)求橢圓C的標準方程;(2)設直線l:y=kx+m與橢圓C交于M,N兩點,O為坐標原點,若kOMkON=54,求證:點(m,k)在定圓上.2.已知拋物線C:y2=2px(p0)的焦點F為橢圓x24+y23=1的一個焦點.(1)求拋物線C的方程;(2)設P,M,N為拋物線C上不同的三點,點P(1,2),且PMPN.求證:直線MN過定點.3.如圖,已知圓G:(x-2)2+y2=49為橢圓T:x216+y2b2=1(0bb0)的兩個焦點為F1,F2,點P(2,1)在

2、橢圓C上,且|PF1|+|PF2|=4.(1)求橢圓C的方程;(2)設點P關于x軸的對稱點為Q,M為橢圓C上一點,直線MP和MQ與x軸分別相交于點E,F,O為原點.證明:|OE|OF|為定值.5.已知橢圓C:x2a2+y2b2=1(ab0)的離心率為32,直線y=x交橢圓C于A,B兩點,橢圓C的右頂點為P,且滿足|PA+PB|=4.(1)求橢圓C的方程;(2)若直線y=kx+m(k0,m0)與橢圓C交于不同兩點M,N,且定點Q0,-12滿足|MQ|=|NQ|,求實數(shù)m的取值范圍.6.已知點A(-2,0),B(2,0),直線PA的斜率為k1,直線PB的斜率為k2,且k1k2=-34.(1)求點P

3、的軌跡C的方程;(2)設點F1(-1,0),F2(1,0),連接PF1并延長,與軌跡C交于另一點Q,R為PF2的中點,O為坐標原點,記QF1O與PF1R的面積之和為S,求S的最大值.7.已知動點P到定點F(1,0)和直線l:x=2的距離之比為22,設動點P的軌跡為曲線E,過點F作垂直于x軸的直線與曲線E相交于A,B兩點,直線l:y=mx+n與曲線E交于C,D兩點,與線段AB相交于一點(與A,B不重合).(1)求曲線E的方程.(2)當直線l與圓x2+y2=1相切時,四邊形ACBD的面積是否有最大值?若有,求出其最大值及對應的直線l的方程;若沒有,請說明理由.8.已知拋物線E:y2=2px(p0)

4、的頂點在坐標原點O,過拋物線E的焦點F的直線l與該拋物線交于M,N兩點,MON面積的最小值為2.(1)求拋物線E的標準方程.(2)試問是否存在定點D,過點D的直線n與拋物線E交于B,C兩點,當A,B,C三點不共線時,使得以BC為直徑的圓必過點Ap2,-p?若存在,求出所有符合條件的定點D;若不存在,請說明理由.規(guī)范答題增分專項五高考中的解析幾何1.(1)解設焦距為2c,e=ca=32,2b=2,a2=b2+c2,b=1,a=2,橢圓C的標準方程為x24+y2=1.(2)證明設點M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,

5、依題意,=(8km)2-4(4k2+1)(4m2-4)0,化簡得m24k2+1,x1+x2=-8km4k2+1,x1x2=4m2-44k2+1,y1y2=(kx1+m)(kx2+m)=k2x1x2+km(x1+x2)+m2.若kOMkON=54,則y1y2x1x2=54,即4y1y2=5x1x2,則4k2x1x2+4km(x1+x2)+4m2=5x1x2,所以(4k2-5)4(m2-1)4k2+1+4km-8km4k2+1+4m2=0,即(4k2-5)(m2-1)-8k2m2+m2(4k2+1)=0,化簡得m2+k2=54.由得0m265,1200)的焦點F為橢圓x24+y23=1的一個焦點,

6、可得p2=1,所以p=2.所以拋物線C的方程為y2=4x.(2)證明設點M(x1,y1),N(x2,y2),直線MN的方程為x=my+n,由x=my+n,y2=4x,得y2-4my-4n=0,則=16m2+16m0,y1y2=-4n,y1+y2=4m.所以x1x2=(my1+n)(my2+n)=m2y1y2+mn(y1+y2)+n2=n2,x1+x2=m(y1+y2)+2n=4m2+2n.由PMPN,得PMPN=0,即(x1-1,y1-2)(x2-1,y2-2)=0.化簡得n2-6n-4m2-8m+5=0,解得n=2m+5或n=-2m+1(舍).所以直線MN:x=my+2m+5過定點(5,-2

7、).3.解(1)由題意可設點B83,y0,y00,如圖,設AB與圓G相切于點D,BC交x軸于點H,連接DG,由|DG|AG|=|HB|AB|,得236=y04009+y02,解得y02=59.又點B83,y0在橢圓T上,所以64916+y02b2=49+59b2=1,解得b2=1.故橢圓T的標準方程為x216+y2=1.(2)設過點M(0,1)與圓G:(x-2)2+y2=49相切的直線方程為y-1=kx,則23=|2k+1|1+k2,即32k2+36k+5=0.設MF,ME的斜率分別為k1,k2,則k1+k2=-98,k1k2=532.將y-1=kx代入x216+y2=1,得(16k2+1)x

8、2+32kx=0,解得x=-32k16k2+1或x=0.設點F(x1,k1x1+1),E(x2,k2x2+1),則x1=-32k116k12+1,x2=-32k216k22+1,所以直線EF的斜率為kEF=k2x2-k1x1x2-x1=k2+k11-16k1k2=34,所以直線EF的斜率為y+32k1216k12+1-1=34x+32k116k12+1.將k12=-98k1-532代入上式化簡,得y=34x-73,則圓心(2,0)到直線EF的距離為d=32-731+916=23,故直線EF與圓G相切.4.(1)解由橢圓的定義,得|PF1|+|PF2|=2a=4,即a=2.將點P(2,1)的坐標

9、代入x24+y2b2=1,得24+1b2=1,解得b=2.故橢圓C的方程為x24+y22=1.(2)證明由題意可知點Q(2,-1).設點M(x0,y0),則有x02+2y02=4,x02,y01.直線MP的方程為y-1=y0-1x0-2(x-2),令y=0,得x=2y0-x0y0-1,所以|OE|=2y0-x0y0-1.直線MQ的方程為y+1=y0+1x0-2(x-2),令y=0,得x=2y0+x0y0+1,所以|OF|=2y0+x0y0+1.所以|OE|OF|=2y0-x0y0-12y0+x0y0+1=2y02-x02y02-1=2y02-(4-2y02)y02-1=4.故|OE|OF|為定

10、值4.5.解(1)由題意易知PA+PB=2PO,則|PA+PB|=2|PO|=4,即a=2.由e=ca=32,得c=3,所以b=1.故橢圓C的方程為x24+y2=1.(2)設點M(x1,y1),N(x2,y2),由y=kx+m,x24+y2=1,得(4k2+1)x2+8kmx+4m2-4=0,則=64k2m2-4(4k2+1)(4m2-4)0,即4k2m2-1,x1+x2=-8km4k2+1.設MN中點D的坐標為(xD,yD),因為|MQ|=|NQ|,所以DQMN,即yD+12xD=-1k.又xD=x1+x22=-4km4k2+1,yD=kxD+m=m4k2+1,所以6m-1=4k2,所以6m

11、-10,且6m-1m2-1,解得16m0,得x1+x2=-8k23+4k2,x1x2=4k2-123+4k2,故|PQ|=1+k2|x1-x2|=1+k2(x1+x2)2-4x1x2=12(1+k2)3+4k2.點O到直線PQ的距離d=|k|1+k2,則S=12|PQ|d=6k2(k2+1)(3+4k2)2.令u=3+4k2(3,+),則S=6u-34u+14u2=32-3u2-2u+10,32.故S的最大值為32.7.解(1)設點P(x,y),由題意可得(x-1)2+y2|x-2|=22,整理可得x22+y2=1.所以曲線E的方程為x22+y2=1.(2)設點C(x1,y1),D(x2,y2

12、),由已知可得|AB|=2.當m=0時,不符合題意.當m0時,由直線l與圓x2+y2=1相切,可得|n|m2+1=1,即m2+1=n2,由y=mx+n,x22+y2=1,消去y,得m2+12x2+2mnx+n2-1=0.則=4m2n2-4m2+12(n2-1)=2m20,x1+x2=-4mn2m2+1,x1x2=2n2-22m2+1,所以S四邊形ACBD=12|AB|x2-x1|=2|m|2m2+1=22|m|+1|m|22.當且僅當2|m|=1|m|,即m=22時,等號成立,此時n=62.經(jīng)檢驗可知,直線y=22x-62和直線y=-22x+62符合題意.故四邊形ACBD的面積有最大值,最大值

13、為22,此時直線l的方程為y=22x-62或y=-22x+62.8.解(1)若直線l的斜率不存在,則直線l的方程為x=p2,代入拋物線E的方程,得y=p,所以|MN|=2p,所以SMON=12p22p=p22.若直線l的斜率存在,則設直線l的方程為y=kx-p2(k0),由y=kx-p2,y2=2px,得k2x2-(pk2+2p)x+k2p24=0,則|MN|=pk2+2pk2+p=2p+2pk2.又點O到直線MN的距離d=kp2k2+1=kp2k2+1,所以SMON=122p+2pk2kp2k2+1=p221+1k2p22.所以MON面積的最小值為p22=2,又p0,故p=2.故拋物線E的標準方程為y2=4x.(2)假設符合題意的定點D存在.因為直線n與拋物線E交于B,C兩點,所以設直線n的方程為x=ay+b,點B(x1,y1),C(x2,y2).由x=ay+b,y2=4x,得y2-4ay-4b=0.又=16a2+16b0,所以y1+y2=4a,y1y2=-4b,所以x1+x2=a(y1+y2)+2b=4a2+2b,x1x2=a2y1y2+ab(y1+