蘇教版高中數(shù)學(xué)選擇性必修一第4章4.2.3第1課時《等差數(shù)列的前n項和》教案

1、本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來本資料分享自千人教師QQ群483122854 期待你的加入與分享 300G資源等你來4.2.3等差數(shù)列的前n項和第1課時等差數(shù)列的前n項和學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程.2.掌握等差數(shù)列前n項和公式.3.熟練掌握等差數(shù)列的五個量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個求另外兩個導(dǎo)語同學(xué)們，印度有一著名景點泰姬陵，傳說寢陵中有一個三角形圖案，以相同大小的圓寶石鑲嵌而成，共有100層，你知道這個圖案一共花了多少顆寶石嗎？大家通過預(yù)習(xí)可知，聰明的高斯給出了計算方法，這就是我們今天要研究的等差數(shù)列

2、求和一、等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)問題1請同學(xué)們欣賞唐代詩人張南史的花并回答下面的問題：花， 花深淺， 芬葩凝為雪， 錯為霞鶯和蝶到， 苑占宮遮已迷金谷路， 頻駐玉人車芳草欲陵芳樹， 東家半落西家愿得春風(fēng)相伴去， 一攀一折向天涯從數(shù)學(xué)的角度來看，這首詩有什么特點？這首詩的內(nèi)容一共有多少個字？提示詩中文字有對稱性；S24681012142(1234567)，根據(jù)對稱性，可先取其一半來研究其數(shù)的個數(shù)較少，大家很容易求出答案問題2網(wǎng)絡(luò)時代與唐代不同的是，寶塔詩的句數(shù)不受限制，如圖，從第1行到第n行一共有多少個字？提示方法一對項數(shù)分奇數(shù)、偶數(shù)討論，認清當(dāng)項數(shù)為奇數(shù)時，通過“落單”中間一項或最后一項，轉(zhuǎn)

3、化成項數(shù)為偶數(shù)來研究通過計算發(fā)現(xiàn)，無論項數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，結(jié)果都是Seq f(nn1,2)，可見，結(jié)果與項數(shù)的奇偶無關(guān)方法二(如圖)在原式的基礎(chǔ)上，再加一遍123n，即S123n，Sn(n1)(n2)1，避免了分類討論，我們把這種求和的方法稱為“倒序相加法”，其本質(zhì)還是配對，將2n個數(shù)重新分組配對求和問題3對于一般的等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)，如何求其前n項和Sn？設(shè)其首項為a1，公差為d.提示倒序相加法eq blcrc (avs4alco1(Sna1a2a3an，,Snanan1an2a1，)eq blcrc (avs4alco1(Sna1a1da12da1n1d，

4、,Snanandan2dann1d，)兩式相加可得2Snn(a1an)，即Sneq f(na1an,2)，上述過程實際上用到了等差數(shù)列性質(zhì)里面的首末“等距離”的兩項的和相等知識梳理等差數(shù)列的前n項和公式已知量首項，末項與項數(shù)首項，公差與項數(shù)求和公式Sneq f(na1an,2)Snna1eq f(nn1,2)d注意點：(1)公式一反映了等差數(shù)列的性質(zhì)，任意第k項與倒數(shù)第k項的和都等于首末兩項之和；(2)由公式二知d0時，Snna1；d0時，等差數(shù)列的前n項和Sn是關(guān)于n的沒有常數(shù)項的“二次函數(shù)”；(3)公式里的n表示的是所求等差數(shù)列的項數(shù)二、等差數(shù)列中與前n項和有關(guān)的基本運算例1在等差數(shù)列an

5、中：(1)已知a610，S55，求a8和S10；(2)已知a14，S8172，求a8和d.解(1)eq blcrc (avs4alco1(S55a1f(54,2)d5，,a6a15d10，)解得eq blcrc (avs4alco1(a15，,d3.)a8a62d102316，S1010a1eq f(109,2)d10(5)59385.(2)由已知得S8eq f(8a1a8,2)eq f(84a8,2)172，解得a839，又a84(81)d39，d5.a839，d5.反思感悟等差數(shù)列中的基本計算(1)利用基本量求值：等差數(shù)列的通項公式和前n項和公式中有五個量a1，d，n，an和Sn，這五個量

6、可以“知三求二”一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問題解題時注意整體代換的思想(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若mnpq(m，n，p，qN*)，則amanapaq，常與求和公式Sneq f(na1an,2)結(jié)合使用跟蹤訓(xùn)練1在等差數(shù)列an中：(1)a11，a47，求S9；(2)a3a1540，求S17；(3)a1eq f(5,6)，aneq f(3,2)，Sn5，求n和d.解(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d，則a4a13d13d7，所以d2.故S99a1eq f(98,2)d9eq f(98,2)281.(2)S17eq f(17a1a17,2)e

7、q f(17a3a15,2)eq f(1740,2)340.(3)由題意得，Sneq f(na1an,2)eq f(nblc(rc)(avs4alco1(f(5,6)f(3,2),2)5，解得n15.又a15eq f(5,6)(151)deq f(3,2)，所以deq f(1,6)，所以n15，deq f(1,6).三、利用等差數(shù)列前n項和公式判斷等差數(shù)列問題4等差數(shù)列前n項和Snna1eq f(nn1,2)d是關(guān)于n的二次函數(shù)，它可以寫成什么形式？提示Sneq f(d,2)n2eq blc(rc)(avs4alco1(a1f(d,2)n.例2若數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)

8、的前n項和Sn2n23n，求數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的通項公式，并判斷數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)是否是等差數(shù)列，若是，請證明；若不是，請說明理由解當(dāng)n1時，S1a11；當(dāng)n2時，anSnSn12n23n2(n1)23(n1)4n5，經(jīng)檢驗，當(dāng)n1時，a11滿足上式，故an4n5.數(shù)列an是等差數(shù)列，證明如下：因為an1an4(n1)54n54，所以數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)是等差數(shù)列延伸探究若數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的前n項和Sn2n23n1，求數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的通項公式

9、，并判斷數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)是否是等差數(shù)列若是，請證明；若不是，請說明理由解Sn2n23n1，當(dāng)n1時，S1a12312，當(dāng)n2時，Sn12eq blc(rc)(avs4alco1(n1)23eq blc(rc)(avs4alco1(n1)1，得anSnSn12n23n12eq blc(rc)(avs4alco1(n1)23eq blc(rc)(avs4alco1(n1)14n5，經(jīng)檢驗當(dāng)n1時，an4n5不成立，故aneq blcrc (avs4alco1(2，n1，,4n5，n2.)故數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)不是等差數(shù)列，數(shù)列eq blc

10、rc(avs4alco1(an)是從第二項起以4為公差的等差數(shù)列反思感悟由Sn求通項公式an的步驟(1)令n1，則a1S1，求得a1.(2)令n2，則anSnSn1.(3)驗證a1與an的關(guān)系：若a1適合an，則anSnSn1，若a1不適合an，則aneq blcrc (avs4alco1(S1，n1，,SnSn1，n2.)跟蹤訓(xùn)練2已知數(shù)列an的前n項和為Snn2n1，求數(shù)列an的通項公式，并判斷它是不是等差數(shù)列解當(dāng)n1時，a1S11，當(dāng)n2時，anSnSn1(n2n1)(n1)2(n1)12n.又a11不滿足an2n，數(shù)列an的通項公式是aneq blcrc (avs4alco1(1，n1

11、，,2n，n2，nN*.)a2a14132，數(shù)列an中每一項與前一項的差不是同一個常數(shù)，an不是等差數(shù)列，數(shù)列an是從第二項起以2為公差的等差數(shù)列1知識清單：(1)等差數(shù)列前n項和公式的推導(dǎo)過程(2)等差數(shù)列前n項和有關(guān)的基本運算(3)利用等差數(shù)列前n項和公式判斷等差數(shù)列2方法歸納：倒序相加法、公式法、整體代換法3常見誤區(qū)：由Sn求通項公式時忽略對n1的討論1已知數(shù)列an的通項公式為an23n，nN*，則an的前n項和Sn等于()Aeq f(3,2)n2eq f(n,2) Beq f(3,2)n2eq f(n,2)C.eq f(3,2)n2eq f(n,2) D.eq f(3,2)n2eq f

12、(n,2)答案A解析an23n，a1231，Sneq f(n123n,2)eq f(3,2)n2eq f(n,2).2在等差數(shù)列an中，若a2a88，則該數(shù)列的前9項和S9等于()A18 B27 C36 D45答案C解析S9eq f(9,2)(a1a9)eq f(9,2)(a2a8)36.3已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且S36，a34，則公差d為()A1 B.eq f(5,3) C2 D3答案C解析因為S3eq f(a1a33,2)6，而a34，所以a10，所以deq f(a3a1,2)2.4數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的前n項和Snn2n，則它的通項公式是an_.答

13、案an2n2eq blc(rc)(avs4alco1(nN*)解析當(dāng)n1時，a1S1110；當(dāng)n2且nN*時，anSnSn1eq blc(rc)(avs4alco1(n2n)eq blc(rc)(avs4alco1(n1)2eq blc(rc)(avs4alco1(n1)2n2，經(jīng)檢驗，n1也適合該式故an2n2eq blc(rc)(avs4alco1(nN*).課時對點練1已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，若2a6a86，則S7等于()A49 B42 C35 D28答案B解析2a6a8a46，S7eq f(7,2)(a1a7)7a442.2已知等差數(shù)列an的前n項和為Sn，且滿足a1a27，

14、amam173(m3)，Sm2 020，則m的值為()A100 B101 C200 D202答案B解析a1ama2am180，由等差數(shù)列的性質(zhì)可知，a1ama2am1，故a1am40.Smeq f(mblc(rc)(avs4alco1(a1am),2)20m2 020，故m101.3設(shè)an為等差數(shù)列，公差d2，Sn為其前n項和若S10S11，則a1等于()A18 B20 C22 D24答案B解析由S10S11，得a11S11S100，所以a1a11(111)d0(10)(2)20.4等差數(shù)列an滿足a1a2a324，a18a19a2078，則此數(shù)列的前20項和等于()A160 B180C200

15、 D220答案B解析由a1a2a33a224，得a28，由a18a19a203a1978，得a1926，S20eq f(1,2)20(a1a20)10(a2a19)1018180.5在等差數(shù)列an中，已知a112，S130，則使得an0的最小正整數(shù)n為()A7 B8C9 D10答案B解析由S13eq f(13a1a13,2)0，得a1312，則a112d12，得d2，數(shù)列an的通項公式為an12(n1)22n14，由2n140，得n7，即使得an0的最小正整數(shù)n為8.6(多選)在等差數(shù)列an中，d2，an11，Sn35，則a1等于()A1 B3 C5 D7答案AB解析由題意知a1(n1)211

16、，Snna1eq f(nn1,2)235，由解得a13或a11.7設(shè)Sn為等差數(shù)列an的前n項和，若a11，公差d2，Sk2Sk24，則k_.答案5解析因為Sk2Skak1ak2a1kda1(k1)d2a1(2k1)d21(2k1)24k424，所以k5.8在等差數(shù)列an中，S104S5，則eq f(a1,d)_.答案eq f(1,2)解析設(shè)數(shù)列an的公差為d，由題意得10a1eq f(1,2)109d4eq blc(rc)(avs4alco1(5a1f(1,2)54d)，所以10a145d20a140d，所以10a15d，所以eq f(a1,d)eq f(1,2).9在等差數(shù)列an中，a10

17、30，a2050.(1)求數(shù)列的通項公式；(2)若Sn242，求n.解(1)設(shè)數(shù)列an的首項為a1，公差為d.則eq blcrc (avs4alco1(a10a19d30，,a20a119d50，)解得eq blcrc (avs4alco1(a112，,d2，)ana1(n1)d12(n1)2102n.(2)由Snna1eq f(nn1,2)d以及a112，d2，Sn242，得方程24212neq f(nn1,2)2，即n211n2420，解得n11或n22(舍去)故n11.10設(shè)等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的前n項和為Sn，且S5a5a625.(1)求eq blcrc

18、(avs4alco1(an)的通項公式；(2)求等差數(shù)列eq blcrc(avs4alco1(an)的前n項和Sn.解(1)設(shè)公差為d，由S5a5a625，得5a1eq f(54,2)da14da15d25，a11，d3.eq blcrc(avs4alco1(an)的通項公式為an3n4.(2)由(1)知an3n4，得eq blcrc(avs4alco1(an)的前n項和為Sneq f(nblc(rc)(avs4alco1(a1an),2)eq f(nblc(rc)(avs4alco1(13n4),2)eq f(3n25n,2)，則Sneq f(3,2)n2eq f(5,2)n.11在小于10

19、0的自然數(shù)中，所有被7除余2的數(shù)之和為()A765 B665 C763 D663答案B解析a12，d7,2(n1)7100，n1，nN*)個點，相應(yīng)的圖案中總的點數(shù)記為an，則a2a3a4an等于()A.eq f(3n2,2) B.eq f(nn1,2)C.eq f(3nn1,2) D.eq f(nn1,2)答案C解析由圖案的點數(shù)可知a23，a36，a49，a512，所以an3n3，n2，所以a2a3a4aneq f(n133n3,2)eq f(3nn1,2).14把形如Mmn(m，nN*)的正整數(shù)表示為各項都是整數(shù)、公差為2的等差數(shù)列的前m項和，稱作“對M的m項劃分”例如：932135，稱作“對9的3項劃分”；把64表示成644313151719，稱作“對64的4項劃分”據(jù)此，對324的18項劃分中最大的數(shù)是_答案35解析設(shè)對324的18項劃分中最小數(shù)為a1，最大數(shù)為a18，則由eq blcrc (avs4alco1(a18a1blc(rc)(avs4alco1(18