冬第三周作業(yè)根軌跡-參考答案

1、Chapter 6Root Locus Problems冬學(xué)期第三周作業(yè)1（化工版 A-4-25） 試?yán)L如圖 4-51 所示的時(shí)滯系統(tǒng)的根軌跡， 并求出系統(tǒng)穩(wěn)定的 K 的范圍。假設(shè)時(shí)滯時(shí)間 =1s.（提示：采用 Pode 多項(xiàng)式近似純滯后）解：根據(jù) Pode 多項(xiàng)式近似 s 2 =1s. e ss 2G(s) K (s 2) (s 1)(s 2)（1） Ge (s) 中開(kāi)環(huán)極點(diǎn)： S1 1S2 2 ；開(kāi)環(huán)零點(diǎn)為： S3 2（2）根軌跡關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱(chēng)，實(shí)軸上的根軌跡區(qū)間為(2, 1) (2, )（3）：漸進(jìn)線(xiàn)于實(shí)軸交點(diǎn)： p1 p2 p3 52 1漸近線(xiàn)傾角為： 360 l 180 180l 90

2、即有：22701902 1s 1 18011（4）：出射角： 0s 222（5）：與虛軸的交點(diǎn)有其特征方程：把j0帶入 s (3 K)s 2 K 02 02+2K-2： 2 2；K=3O有實(shí)部虛部分別相等(3 K ) 0OO（6）可能的分離點(diǎn)：b(s) da(s) a(s) db(s) 0dsds已知： a(s) s2 3s 2 ， b(s) s-2代入解得： s1,2 2 2 3經(jīng)相位條件檢驗(yàn)可知： s1,2 滿(mǎn)足條件。所以分離點(diǎn)為： s1,2 2 23綜上所述，根軌跡草圖為：系統(tǒng)穩(wěn)定0 K 3P168，4-16）設(shè)反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)為： G(s) K (1 s) ，試?yán)L2（s(s

3、2)制其根軌跡圖，并求出使系統(tǒng)產(chǎn)生重實(shí)根和純虛根的 K 值。K (1 s) K (s 1)G(s) , (K 0)解：1) 當(dāng)s(s 2)s(s 2)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：z1=1，開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p1=0，p2=-2因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪的系數(shù)為負(fù)，所以其根軌跡圖為零度根軌跡。（1）（2）（3）實(shí)軸上的根軌跡：-2 0，1 漸近線(xiàn)夾角：0根軌跡的分離點(diǎn) d： 1 11d 1 3d 2.732 d 0.73212d 1dd 2分離角： 2根軌跡與虛軸的交點(diǎn)：閉環(huán)系統(tǒng)特征方程：s 2 (2 K )s K 0 ，將 s j 代入閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程，得：（4） 0 2K 2(2 K ) 0K 0K 2所以系統(tǒng)

4、產(chǎn)生純虛根的 K 為：K*=2系統(tǒng)產(chǎn)生重實(shí)根的 K 為： K1 0.536 K 2 7.464d 2d 2 2d1 1d1d1 2d1 1K0 時(shí)：Root Locus10-1-20246K (1 s) K (s 1)G(s) , (K 0)s(s 2)s(s 2)開(kāi)環(huán)零點(diǎn)：z1=1，開(kāi)環(huán)極點(diǎn) p1=0，p2=-2因?yàn)殚_(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)分子的最高次冪的系數(shù)為正，所以其根軌跡圖為負(fù)反饋根軌跡（1） 實(shí)軸上的根軌跡：0，1，2，容易得到根軌跡如圖示。顯然，當(dāng) K0 時(shí)，系統(tǒng)始終不穩(wěn)定。K0-1-23（P.680. 7.7）A unity-feedback control system has the t

5、ransfer functionKG(s) (s 1)(s 7)(s 2 8s 25)(a) Sketch the root locus foritive and negative value of K. (b) For what value of K does thesysteme unstable? (c) Determine the value of K for which all the roots is equal. (d)Determine the value of K from the root locust makes the closed-loop systemrfect o

6、scillator (Let =0.707).Solution: For K0(a)(1)Open-loop poles: n=4, p1= -1, p2= -7, p3= -4 +3j, p4= -4 -3j, Open-loop zeros: w=0Four branches.Real axis root locus: -1, -7(2) (2h 1) , 344Asymptotes of root locus:(3)44Re( pi ) i1 44 0Imag Axis2）當(dāng) K0 時(shí):(4)Breakaway poon the real axis:1111 0 d 4 (4th ord

7、oles)d 1d 7d 4 3 jd 4 3 jdKds 0 4s 3 48s 2 192s 256 0 d 4orDeparture angle: 3 180 135 45 90 90(5) 4 90Imaginary-axis crossing po:(6)1 G(s)H (s) (s 1)(s 7)(s 2 8s 25) K s 4 Rouths array:s 4s3s 2K1 8080 256 16(175 K )s80175 Ks 0175 K 80 16 K 1105From the row of s, it is gottenSo, when K=1105, the root

8、 locus have imaginary-axis crossing poobtained from the s-2 row is. The auxiliary equation80s 2 175 K 0 s 2 16 , and the roots are j4s1,2ImK1=1105-10-7Re-4For K0)-4jK1=1105 (2) Asymptotes of root locus: 0,42(3) Departure angle: 3 360 135 45 90 90=cos-1 4 90Imaginary-axis crossing po:From the root lo

9、cus when w=0, root locus has an imaginary-axis crossing po.Where K 2 The root locus is sketched as Fig.4jImK2=-175K2= -K2=0-10-7Re-4-4j(b) When K1105, the systemes unstable.(c) From the root locus (K0), only d= -4 is a 4th order roots, where the value of K can be found by magnitude condition.K1 3 3 3 3 81(d) From the root locus, when =0.707, =cos-1=45.According to magnitu