中國(guó)礦業(yè)大學(xué)徐海學(xué)院高等數(shù)學(xué)-方法上3

1、 2-1 計(jì)算導(dǎo)數(shù)的方法與技巧一. 方法指導(dǎo)1. 利用導(dǎo)數(shù)定義求導(dǎo) ( P45 中 3(1) )2. 用導(dǎo)數(shù)公式和求導(dǎo)法則求導(dǎo) ( P46 中 3(2) )復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則隱函數(shù)求導(dǎo)法則參數(shù)方程求導(dǎo)法則3. 特殊求導(dǎo)方法對(duì)數(shù)求導(dǎo)法利用一階微分形式不變性( P49 中 4(3)14、高階導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則都有 n 階導(dǎo)數(shù) , 則(C為常數(shù))萊布尼茲(Leibniz) 公式及設(shè)函數(shù)25. 高階導(dǎo)數(shù)的求法 ( P49 中4 )(1) 遞推歸納求出(2) 利用萊布尼茲公式(3) 轉(zhuǎn)化間接求出(4) 參數(shù)方程求高階導(dǎo)數(shù)6. 初等函數(shù)在定義區(qū)間內(nèi)可導(dǎo) ;界點(diǎn)處按左、右導(dǎo)數(shù)定義討論 .若 f (x) 在界點(diǎn)處左

2、 連續(xù), 左 近旁可導(dǎo),這是因?yàn)? 參考P86 例15 )分段函數(shù)分段求導(dǎo) , (右)存在 , (右)3二. 實(shí)例分析例1. 求下列函數(shù)在指定點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù) :求求且對(duì)任意 x 有設(shè)求解: (1)4(2)求 且對(duì)任意 x 有設(shè)求(3)5(4) 設(shè)其中n為正整數(shù)，（）；解 因?yàn)?012考研A、B、C、D、62、設(shè)是由方程的隱函數(shù)，則 ；解 將代入方程得 方程兩邊對(duì)x求導(dǎo)得則再求導(dǎo)得 ，即所確定2012考研73、設(shè)函數(shù) ；解 由的表達(dá)式可知，則2012考研8例2. 設(shè)試確定常數(shù) a , b 使 f ( x ) 處處可導(dǎo), 并求( P53 例3 )解:時(shí)時(shí)9利用在處可導(dǎo) ,即思考:必有是否為連續(xù)函數(shù) ?

3、10例3. 設(shè)求復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù) , 并討論的連續(xù)性 .解:1112例4 設(shè)函數(shù)解(2005 考研），則在內(nèi)（ ）；A、處處可導(dǎo)； B、恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；C、恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)； D、至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。在顯然可導(dǎo)，13例4 設(shè)函數(shù)解(2005 考研），則在內(nèi)（ ）；A、處處可導(dǎo)； B、恰有一個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)；C、恰有兩個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)； D、至少有三個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。在分段點(diǎn)處，所以為不可導(dǎo)點(diǎn)；則共有2個(gè)不可導(dǎo)點(diǎn)。C處，所以在分段點(diǎn)為不可導(dǎo)點(diǎn)；14例5 設(shè)函數(shù)解(2005 考研）連續(xù)，求極限令原式由積分中值定理 或原式15例6. 設(shè)有求解: 在中, 令得令 x = 1 ,得 C = 0 ,故16例7. 設(shè)函數(shù)的反

4、函數(shù)及均存在 , 且求解:及172. 試從 導(dǎo)出解：同樣可求(見 P103 題4 )18例7. 設(shè)函數(shù)的反函數(shù)及均存在 , 且求及19例8、求的值，使函數(shù)在處可導(dǎo)，并求 解 函數(shù)在x = 0處連續(xù)有則函數(shù)在x = 0處可導(dǎo)有20例9. 設(shè)曲線方程為求解: 已知曲線的參數(shù)方程為則21例10.設(shè)函數(shù)(2005 考研）是由參數(shù)方程在處的法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo).解 時(shí)，解得由于的定義域?yàn)?，所以，該處法線的斜率為法線方程，令，得為法線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)。求曲線確定，22例11. 求下列函數(shù)的 n 階導(dǎo)數(shù) :解:(1)23例12 設(shè)解得，求 由公式 和萊布尼茨公式24例13 試確定常數(shù)的值解 根據(jù)題設(shè)和洛

5、必達(dá)法則，由于得解得 使得(2006 考研）252-2 微分中值定理的理解及其應(yīng)用方法 (P65)一. 方法指導(dǎo)1. 微分中值定理的理解及它們之間的關(guān)系(1) 幾個(gè)中值定理的關(guān)系 ( P71 圖2-4 )26羅爾定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒中值定理27(2) 中值定理的條件是充分的, 但非必要.可適當(dāng)減弱. 因此例如, 設(shè)在內(nèi)可導(dǎo),且則至少存在一點(diǎn)使證: 設(shè)輔助函數(shù)顯然在上連續(xù),在內(nèi)可導(dǎo),由羅爾定理可知 , 存在一點(diǎn)使即閱讀 P85 例13 , 例1428二. 實(shí)例分析例1. 當(dāng) 時(shí), 試證(P76 例2)證: 設(shè)當(dāng) 時(shí),在上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件, 因此有解出, 則時(shí)29又因及在單調(diào)遞

6、增 , 于是 說(shuō)明: 中值定理只告訴位于區(qū)間內(nèi)的中值存在 , 一般不能確定其值 , 此例也只給出一個(gè)最好的上下界 .302、(1)證明拉格朗日中值定理，若函數(shù)(2009考研）證明（1） 令在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，則存在使得由題意可知在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，根據(jù)羅爾定理可得，存在使得且即存在使得，31第三講 導(dǎo)數(shù)的計(jì)算方法 及微分中值定理 的應(yīng)用322、 (2)證明：若函數(shù)(2009考研）證明（2）對(duì)于任意的在處連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，且,則存在，且，函數(shù)在上連續(xù)，在內(nèi)可導(dǎo)，由右導(dǎo)數(shù)定義及拉格朗日中由于 , 故 存在，且 值定理有33例2. 設(shè)函數(shù)在內(nèi)可導(dǎo), 且證明在內(nèi)有界. (P77 例3)證: 取點(diǎn)再取異于

7、的點(diǎn)對(duì)在以為端點(diǎn)的區(qū)間上用拉氏中值定理得( 界于 與 之間)令則對(duì)任意即在內(nèi)有界.34例3. 設(shè)在上連續(xù), 在證明存在內(nèi)可導(dǎo),且使證:因?yàn)樗C結(jié)論左邊為設(shè)輔助函數(shù)由于上滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,且易推出所證結(jié)論成立 .在35例4. 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo), 且證明至少存在一點(diǎn)使分析: 在結(jié)論中將換為得積分證: 設(shè)輔助函數(shù)因在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,所以存在因此在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,故必存在使即有使36例5. 設(shè)函數(shù)在上連續(xù), 在但當(dāng)時(shí)內(nèi)可導(dǎo),且求證對(duì)任意自然數(shù) n , 必有使分析: 在結(jié)論中換 為得積分因所以證: 設(shè)輔助函數(shù)顯然在上滿足羅爾定理?xiàng)l件,因此必有使即37例6. 設(shè)在上連續(xù), 在證明存在內(nèi)可導(dǎo),

8、且使證:轉(zhuǎn)化為證設(shè)輔助函數(shù)由于它在滿足拉氏中值定理?xiàng)l件,(P118 題8)即證因此存在使38再對(duì)轉(zhuǎn)化為證在上用拉氏中值定理 ,則存在使因此39例7（1）證明方程在內(nèi)有且僅有一個(gè)實(shí)根。（2）記上式方，證明存在，并求此極限。則 在 上連續(xù)，且由閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的零點(diǎn)定理知，方程在內(nèi)至少有一個(gè)實(shí)根。當(dāng)時(shí)，故 在內(nèi)單調(diào)增加。綜上所述，方程2012考研程的實(shí)根為證 （1）令40綜上所述，方程在內(nèi)僅有一個(gè)實(shí)根。知數(shù)列有界，又 因?yàn)?所以，,于是有 即 單調(diào)減少。綜上所述，數(shù)列單調(diào)有界，故收斂，記 ，由于 令 ，并注意到，則有解得 ，即 （2） 解 由41例8. 已知函數(shù)內(nèi)可導(dǎo), 且證: (1) 令故存在使

9、 即(2005 考研）42內(nèi)可導(dǎo), 且(2) 根據(jù)拉格朗日中值定理, 存在使3. 已知函數(shù)43二階導(dǎo)數(shù), 且存在相等的最大值, 并滿足例9. 設(shè)函數(shù)證:據(jù)泰勒定理, 存在使 由此得即有(2007 考研）情形1.則有內(nèi)具有44階導(dǎo)數(shù), 且存在相等的最大值, 并滿足情形2.因此據(jù)零點(diǎn)定理, 存在即有則有12. 設(shè)函數(shù)應(yīng)用羅爾定理得內(nèi)具有二45例10. 設(shè)函數(shù)在上三階可導(dǎo), 且設(shè)使證: 因因因此試證存在利用二階泰勒公式 , 得46例11. 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo),且證明(P78 例5)證:由泰勒公式得兩式相減 , 得47例12. 設(shè)函數(shù)在上二階可導(dǎo), 且證明方程內(nèi)有且僅有一根 . (P80 例9)證: 在在上由泰勒公式可知因所以又因利用的單調(diào)性及連續(xù)函數(shù)零點(diǎn)定理 , 可知在內(nèi)有且僅有一根 .48例13.設(shè)函數(shù)上具有二階導(dǎo)數(shù)，且滿足證明序列發(fā)散. 證：故序列發(fā)散. (2007 考研）49例14設(shè)上可導(dǎo)，且 證明在內(nèi)必有唯一的